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  • 2021-05-14 发布

高考数学第一轮复习精练检测试题立体几何

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高三数学一轮复习精练:立体几何 一、选择题 ‎1.在三棱柱中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点是侧面的中心,则与平面所成角的大小是 ( )‎ A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎2.若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60°角,‎ 则到底面的距离为 ( )‎ ‎ A. B.‎1 C. D.‎ ‎3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 侧(左)视图 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ ‎2 ‎ 正(主)视图 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 俯视图 ‎ ‎4.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎5.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎6.已知二面角α-l-β为 ,动点P、Q分别在面α、β内,P到β的距离为,Q到α的距离为,则P、Q两点之间距离的最小值为( )‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)4 ‎ ‎7.已知正四棱柱中,为中点,则异面直线与所成的角的余弦值为 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.如图,正方体的棱线长为1,线段上有两个动点E,F,且,则下列结论中错误的是 ‎ ‎(A)‎ ‎(B)‎ ‎(C)三棱锥的体积为定值 ‎(D)异面直线所成的角为定值 ‎9.平面六面体中,既与共面也与共面的棱的条数为( )‎ A.3 B.‎4 C.5 D.6 ‎ ‎10.如图,已知六棱锥的底面是正六边形,,则下列结论正确的是 A.   ‎ B.平面 ‎ C. 直线∥平面 D.‎ ‎11.如图,在半径为3的球面上有三点,,球心到平面的距离是,则两点的球面距离是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.在正四棱柱中,顶点到对角线和到平面的距离分别为和,则下列命题中正确的是( )‎ A.若侧棱的长小于底面的变长,则的取值范围为 B.若侧棱的长小于底面的变长,则的取值范围为 C.若侧棱的长大于底面的变长,则的取值范围为 D.若侧棱的长大于底面的变长,则的取值范围为 二、填空题 ‎13.如图,在长方形中,,,为的中点,为线段(端点除外)上一动点.现将沿折起,使平面平面.在平面内过点作,为垂足.设,则的取值范围是 .‎ ‎14.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是________。‎ ‎15.如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧 棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 。 ‎ ‎16.已知三个球的半径,,满足,则它们的表面积,,,满足的等量关系是___________. ‎ 三、解答题 ‎17.(本题满分12分)如图,平面平面,‎ 是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,‎ ‎,的中点,,.‎ ‎ (I)设是的中点,证明:平面;‎ ‎ (II)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离.‎ ‎18.(本小题共14分)‎ 如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面; ‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.‎ ‎19.(本小题共14分)‎ ‎ 如图,在三棱锥中,底面,‎ 点,分别在棱上,且 ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)当为的中点时,求与平面所成的角的大小;‎ ‎(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,.以的中点为球心、为直径的球面交于点.‎ ‎(1)求证:平面⊥平面;‎ ‎(2)求直线与平面所成的角;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(3)求点到平面的距离.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图,正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△‎ 是等腰直角三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)设线段、的中点分别为、,求证: ∥‎ ‎(III)求二面角的大小。‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,四棱锥S=ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=a(0<≦1). ‎ ‎(Ⅰ)求证:对任意的(0、1),都有AC⊥BE:‎ ‎(Ⅱ)若二面角C-AE-D的大小为‎600C,求的值。‎ 参考答案 ‎1.【答案】:C ‎ ‎【解析】:取BC的中点E,则面,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎,因此与平面所成角即为,设,则,,即有.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、‎ 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念(第4题解答图)‎ 属于基础知识、基本运算的考查.‎ ‎ 依题意,,如图,‎ ‎,故选D.‎ ‎3.【答案】:C ‎【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面边长为,高为,所以体积为 所以该几何体的体积为.‎ ‎【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力,‎ 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 计算出.几何体的体积.‎ ‎4.【答案】:B.‎ ‎【解析】:由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线,,则,反过来则不一定.所以“”是“”的必要不充分条件 .‎ ‎【命题立意】:本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.‎ ‎5.【答案】:D ‎【解析】:设的中点为D,连结D,AD,易知即为异面直线 与所成的角,由三角余弦定理,‎ 易知.故选D ‎ ‎6.【答案】:C ‎【解析】:如图分别作 ‎ ‎,连 ‎,‎ 又 当且仅当,即重合时取最小值。‎ ‎7.【答案】:C ‎【解析】:令则,连∥ 异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得。‎ ‎8.【答案】:D ‎【解析】:A正确,‎ 易证B显然正确,;C正确,可用等积法求得;D错误。.‎ ‎9.【答案】:C ‎【解析】:如图,用列举法知合要求的棱为:、、、、,‎ ‎10.【答案】:D ‎【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系,基础题。(同文6)‎ 解:由三垂线定理,因AD与AB不相互垂直,排除A;作于,‎ 因面面ABCDEF,而AG在面ABCDEF上的射影在AB上,而AB与BC不相互垂直,故排除B;由,而EF是平面PAE的斜线,故排除C,故选择D。‎ 解析2:设低面正六边形边长为,则,由平面可知,且,所以在中有直线与平面所成的角为 ‎,故应选D。‎ ‎11.【答案】:B ‎【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距,基础题。(同文9)‎ ‎【解析】:由知截面圆的半径 ‎,故,所以两点的球面距离为,故选择B。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解析2:过球心作平面的垂线交平面与,,则在直线上,由于,,所以,由为等腰直角三角形可得,所以为等边三角形,则两点的球面距离是。‎ ‎12.【答案】:C ‎【解析】:设底面边长为1,侧棱长为,过作。‎ 在中,,由三角形面积关系得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 设在正四棱柱中,由于,‎ 所以平面,于是,所以平面,故为点到平面 的距离,在中,又由三角形面积关系得于是,于是当,所以,所以 二、填空题(4题,每题5分)‎ ‎13.【答案】: ‎ ‎ 【解析】此题的破解可采用二个极端位置法,即对于F位于DC的中点时,,随着F点到C点时,因平面,即有,对于 ‎,又,因此有,则有,因此的取值范围是 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎14.【答案】(0,-1,0) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】设由可得故 ‎15.【答案】:。‎ ‎【考点定位】本小题考查异面直线的夹角,基础题。‎ ‎【解析】:不妨设棱长为2,选择基向量,则w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎,故填写。‎ 法2:取BC中点N,连结,则面,∴是在面上的射影,由几何知识知,由三垂线定理得,故填写。‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】,,同理:,即R1=,R2=,R3=,由得 三.解答题(6题,共70分)‎ ‎17.证明:(I)如图,连结OP,以O为坐标原点,分别以OB、OC、OP所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系O,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 则,由题意得,因,因此平面BOE的法向量为 ‎,得,又直线不在平面内,因此有平面 ‎(II)设点M的坐标为,则,因为平面BOE,所以有,因此有,即点M的坐标为,在平面直角坐标系中,的内部区域满足不等式组,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以在内存在一点,使平面,由点M的坐标得点到,的距离为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎18.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.‎ ‎(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,‎ ‎∵,‎ ‎∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接OE,‎ ‎ 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎ ∴O,E分别为DB、PB的中点,‎ ‎ ∴OE//PD,,又∵,‎ ‎ ∴OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,‎ ‎ 在Rt△AOE中,,‎ ‎ ∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎【解法2】如图,以D为原点建立空间直角坐标系,‎ ‎ 设 则,‎ ‎(Ⅰ)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点时,,‎ ‎ 设AC∩BD=O,连接OE, ‎ ‎ 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎ ∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎19.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.‎ ‎(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.‎ 又,∴AC⊥BC.‎ ‎∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,‎ ‎∴,‎ 又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,‎ ‎∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,‎ ‎∴△ABP为等腰直角三角形,∴,‎ ‎∴在Rt△ABC中,,∴.‎ ‎∴在Rt△ADE中,,‎ ‎∴与平面所成的角的大小.‎ ‎(Ⅲ)∵AE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,‎ 又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,‎ ‎∴∠AEP为二面角的平面角,‎ ‎∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.‎ ‎∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时,‎ 故存在点E使得二面角是直二面角.‎ ‎【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系,‎ ‎ 设,由已知可得 ‎ .‎ ‎ (Ⅰ)∵, ∴,∴BC⊥AP.‎ 又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.‎ ‎(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,‎ ‎∴,‎ ‎∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎∴与平面所成的角的大小. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(Ⅲ)同解法1.‎ ‎20.解:方法(一):‎ ‎(1)证:依题设,M在以BD为直径的球面上,则BM⊥PD.‎ 因为PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB,又AB⊥AD,‎ 所以AB⊥平面PAD,则AB⊥PD,因此有PD⊥平面ABM,所以平面ABM⊥平面PCD.‎ ‎(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB∥CD,所以AB∥平面PCD,则AB∥MN∥CD,‎ 由(1)知,PD⊥平面ABM,则MN是PN在平面ABM上的射影,‎ 所以 就是与平面所成的角,‎ 且 ‎ 所求角为 ‎(3)因为O是BD的中点,则O点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半,由(1)知,PD⊥平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.‎ 因为在Rt△PAD中,,,所以为中点,,则O点到平面ABM的距离等于。‎ 方法二:‎ ‎(1)同方法一;‎ ‎(2)如图所示,建立空间直角坐标系,则,,, ,,,‎ 设平面的一个法向量,由可得:,令,则,即.设所求角为,则,‎ 所求角的大小为. ‎ ‎(3)设所求距离为,由,得:‎ ‎21.【解析】解法一:‎ 因为平面ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以BC⊥平面ABEF.‎ 所以BC⊥EF.‎ 因为⊿ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以∠AEB=45°,‎ 又因为∠AEF=45,‎ 所以∠FEB=90°,即EF⊥BE.‎ 因为BC平面ABCD, BE平面BCE, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ BC∩BE=B 所以…………………6分 ‎(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNPC ‎∴ PMNC为平行四边形,所以PM∥CN.‎ ‎∵ CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎∴ PM∥平面BCE. …………………………………………8分 ‎(III)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知EA⊥平面ABCD.‎ 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA.从而FG⊥平面ABCD,‎ 作GH⊥BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD⊥FH.‎ ‎∴ ∠FHG为二面角F-BD-A的平面角.‎ ‎∵ FA=FE,∠AEF=45°,‎ ‎∠AEF=90°, ∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=,则 在Rt⊿BGH中, ∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎, ‎ 在Rt⊿FGH中, ,‎ ‎∴ 二面角的大小为……………………………12分 ‎ 解法二: 因等腰直角三角形,,所以 又因为平面,所以⊥平面,‎ 所以 即两两垂直;如图建立空间直角坐标系,‎ ‎ (I) 设,则,‎ ‎∵,∴,‎ 从而 ‎ ‎,‎ 于是,‎ ‎ ∴⊥,⊥‎ ‎ ∵平面,平面, ∴‎ ‎(II),从而 ‎ 于是 ‎ ∴⊥,又⊥平面,直线不在平面内,‎ ‎ 故∥平面 ‎(III)设平面的一个法向量为,并设=(‎ ‎ ‎ ‎ 即 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 取,则,,从而=(1,1,3)‎ 取平面D的一个法向量为 ‎ ,故二面角的大小为 ‎22.本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。(满分12分)‎ ‎ (Ⅰ)证发1:连接BD,由底面是正方形可得ACBD。‎ ‎ SD平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,‎ 由三垂线定理得ACBE.‎ ‎(II)解法1:SD平面ABCD,CD平面ABCD, SDCD. ‎ 又底面ABCD是正方形, CDAD,又SDAD=D,CD平面SAD。‎ 过点D在平面SAD内做DFAE于F,连接CF,则CFAE, ‎ 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角,即CFD=60°‎ 在Rt△ADE中,AD=, DE= , AE= 。‎ 于是,DF=‎ 在Rt△CDF中,由cot60°=‎ 得, 即=3 ‎ ‎, 解得=‎