高考理科数学全国卷附答案 9页

‎12B-SX-0000013 ‎ 学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________‎ - ‎- - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -‎ 绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国I卷 ‎（全卷共10页）‎ ‎(适用地区：福建、广东、安徽、湖北、湖南、江西、山西、河南、河北)‎ 注意事项：‎ 1． 本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。‎ 2． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ 3． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。‎ 4． 考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。‎ 第I卷 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 设集合，,则 ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎2. 设，其中是实数，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3. 已知等差数列前9项的和为27，，则 ‎ ‎（A）100 （B）99 （C）98 （D）97‎ ‎4. 某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 ‎（ A） （B） （C） （D） ‎5. 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎7. 函数在的图像大致为 ‎8. 若,则 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎- 17 - - 18 -‎ ‎12B-SX-0000013 ‎ ‎9. 执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x, y的值满足 ‎（A） ‎ ‎（B） ‎ ‎（C） ‎ ‎（D）‎ ‎10. 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为 ‎(A)2 (B)4 (C)6 (D)8‎ ‎11. 平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,‎ 平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎12. 已知函数 为的零点, 为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为 ‎（A）11         （B）9      （C）7         （D）5‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题都必须作答。第22～24题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本大题共3小题,每小题5分。‎ ‎13. 设向量，，且，则 ．‎ 14. 的展开式中，的系数是 ．（用数字填写答案）‎ 15. 设等比数列满足，，则的最大值为 ．‎ 16. 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg，用5个工时；生产一件B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg，用3个工时.生产一件A产品的利润为2100元，生产一件B产品的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ 17. ‎（本小题满分12分）‎ 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为.求的周长.‎ ‎- 17 - - 18 -‎ ‎12B-SX-0000013 ‎ 14. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是60°.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ 15. ‎（本小题满分12分）‎ 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后被淘汰.机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种三年使用期内更换的易损零件，得下面柱状图：‎ 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的频率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.‎ ‎（Ⅰ）求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若要求，确定的最小值；‎ ‎（Ⅲ）以购买易损零件所需要的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？‎ ‎- 17 - - 18 -‎ ‎12B-SX-0000013 ‎ 14. ‎（本小题满分12分）‎ 设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点.‎ ‎（Ⅰ）证明为定值，并写出点的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.‎ 15. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数有两个零点.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设是的两个零点，证明：.‎ 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 16. ‎（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，是等腰三角形，.以为圆心，为半径作圆.‎ ‎（Ⅰ）证明：直线与⊙相切；‎ ‎（Ⅱ）点在⊙上，且四点共圆，证明：.‎ ‎- 17 - - 18 -‎ ‎12B-SX-0000013 ‎ 14. ‎（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数，).在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.‎ ‎（Ⅰ）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的极坐标方程为，其中满足，若曲线与的公共点都在上，求.‎ 15. ‎（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎（Ⅱ）求不等式的解集.‎ ‎- 17 - - 18 -‎ ‎12B-SX-0000013 ‎ ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 全国I卷 试题答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C B A A D C C B A B 二、填空题 13． ‎-2 14.10 15. 64 16. 216000‎ 三、解答题 ‎17.解： ⑴ ‎ 由正弦定理得：‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∵ ∴‎ ⑵ 由余弦定理得：‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴周长为 ‎18．解：(1) ∵为正方形 ∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴面 面 ‎∴平面平面 ⑵ 由⑴知 ‎∵‎ 平面 平面 ‎∴平面 平面 ‎∵面面 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴四边形为等腰梯形 以为原点，如图建立坐标系，设 ‎ ‎ ‎，，‎ 设面法向量为.‎ ‎- 17 - - 18 -‎ ‎12B-SX-0000013 ‎ ‎，即 ‎ 设面法向量为 ‎.即 ‎ 设二面角的大小为.‎ ‎ ‎ 二面角的余弦值为 ‎19. 解： ⑴ 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11‎ 记事件为第一台机器3年内换掉个零件 记事件为第二台机器3年内换掉个零件 由题知，‎ 设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ⑵ 要令，，‎ 则的最小值为19‎ ⑶ 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用 当时，费用的期望为 当时，费用的期望为 所以应选用 ‎20. (1)圆A整理为，A坐标，如图，‎ ‎，则，由，‎ 则 所以E的轨迹为一个椭圆，方程为，()；‎ ‎- 17 - - 18 -‎ ‎12B-SX-0000013 ‎ ‎⑵ ；设，‎ 因为，设，联立 得；‎ 则；‎ 圆心到距离，‎ 所以，‎ ‎21. （Ⅰ）．‎ ‎（i）设，则，只有一个零点．‎ ‎（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 又，，取满足且，则 ‎，‎ 故存在两个零点．‎ ‎（iii）设，由得或．‎ 若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．‎ 若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．‎ 综上，的取值范围为．‎ 不妨设，由（Ⅰ）知，，， 在上单调递减，所以等价于，即.‎ 由于，而，所以 ‎.‎ 设，则.‎ 所以当时，，而，故当时，.‎ 从而，故.‎ ‎22．⑴ 设圆的半径为，作于 ‎- 17 - - 18 -‎ ‎12B-SX-0000013 ‎ ‎∵‎ ‎∴ ‎ ‎∴与相切 ‎⑵ 方法一：‎ 假设与不平行 与交于 ‎∵四点共圆 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴由①②可知矛盾 ‎∴‎ 方法二：‎ 因为，因为所以为的中垂线上，同理所以的中垂线，所以．‎ ‎23．⑴ （均为参数）‎ ‎∴ ①‎ ‎∴为以为圆心，为半径的圆．方程为 ‎∵ ∴ 即为的极坐标方程 ⑵ ‎ 两边同乘得 ‎ 即 ②‎ ‎：化为普通方程为 由题意：和的公共方程所在直线即为 ‎①—②得：，即为 ‎∴ ∴‎ ‎24．⑴ 如图所示：‎ ‎⑵‎ 当，，解得或 当，，解得或 或 当，，解得或 或 综上，或或 ‎，解集为 ‎- 17 - - 18 -‎