全国普通高等学校高考数学五模试卷理科衡水金卷解析版 22页

‎2016年全国普通高等学校高考数学五模试卷（理科）（衡水金卷）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A={﹣1，1，2}，B={1，a2﹣a}，若B⊆A，则实数a的不同取值个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎2．若（1﹣i）2=|1+i|2z（i为虚数单位），则复数z的实部与虚部的和为（　　）‎ A．1 B．0 C．﹣1 D．2‎ ‎3．下列函数中，在定义域内与函数y=x3的单调性，奇偶性都相同的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=x3﹣x C．y=2x D．y=lg（x+）‎ ‎4．与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线，且右焦点F到渐近线的距离为2的双曲线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．阅读如图所示的程序框图，若输入的x值为﹣，则输出的y值是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎6．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（　　）‎ A．96种 B．124种 C．130种 D．150种 ‎7．在各项均为正值的等比数列{an}中，已知a5、a13分别是方程2x2﹣mx+2e4=0的两根，则a7a9a11的值为（　　）‎ A．e6 B． C．e7 D．e5‎ ‎8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）‎ A．2+π+8 B．2+3π+8 C． +π+8 D． +2π+8‎ ‎9．设点M（x，y）满足不等式组，点P（，）（a＞0，b＞0），当•最大时，点M为（　　）‎ A．（0，2） B．（0，0） C．（4，6） D．（2，0）‎ ‎10．已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若2c2﹣c+b2=0，则•的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．函数f（x）=的大致图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．知函数f（x）=ex﹣ax的图象在区间（﹣1，+∞）内与x轴没有交点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，e） B．（﹣，e） C．（﹣，） D．（0，e）‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若（2x﹣）6的展开式中常数项为160，则a的值为　　　　　　．‎ ‎14．观察下列式子：1+＜1+，1++＜1+，1+++＜1+，…，根据上述规律，第n个不等式应该为　　　　　　．‎ ‎15．将一个周长为18的矩形，以一边为侧棱，折成一个正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直），当这个正三棱柱的体积最大时，它的外接球的半径为　　　　　　．‎ ‎16．数列{an}满足a1=1，a2=2，且an+2﹣2an+1+an=1，则++…+的最小值为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．‎ ‎（1）当∥时，求cos2x的值；‎ ‎（2）设函数f（x）=2（+）•，求当0≤x≤时，函数f（x）的最大值及对应的x值．‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面PGB ‎（2）若点E在BC边上，且=，求平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得到如下频数分布表．‎ ‎ 质量指标值分组 ‎[75，85）‎ ‎[85，95）‎ ‎[95，105）‎ ‎[105，115）‎ ‎[115，125]‎ ‎ 频数 ‎ 6‎ ‎ 26‎ ‎ x ‎ 22‎ ‎ 8‎ ‎（1）作出这些数据的频率分布直方图（用阴影表示）；‎ ‎（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2；‎ ‎（3）当质量指标值位于（79.6，120.4）时，认为该产品为合格品．由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2（每组数取中间值）．‎ ‎①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；‎ ‎②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？‎ ‎（提示：≈10.2，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544）‎ ‎20．已知点F1（﹣1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是2，线段MF1的中垂线交线段MF2于点P ‎（1）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；‎ ‎（2）直线l与曲线G相切于点N，过F2作NF2的垂线与直线l相交于点Q，求证：点Q落在一条定直线m上，并求直线m的方程．‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx+2．‎ ‎（1）若f（x）的切线过点P（0，2），求此切线的方程；‎ ‎（2）若方程f（x）=kx+k（k＞0）在区间[1，e]（其中e为自然数的底数）内有实根，求k的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，已知圆上的四点A、B、C、D，CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点．‎ ‎（1）求证：∠CDA=∠EDB ‎（2）若BC=CD=5，DE=7，求线段BE的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知直线l：（t为参数），曲线C：（θ为参数）．‎ ‎（1）分别将直线l和曲线C的参数方程转化为普通方程；‎ ‎（2）求与直线l平行且与曲线C相切的直线l1的方程．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|‎ ‎（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年全国普通高等学校高考数学五模试卷（理科）（衡水金卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．已知集合A={﹣1，1，2}，B={1，a2﹣a}，若B⊆A，则实数a的不同取值个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得：若B⊆A，必有a2﹣a=﹣1或a2﹣a=2，分2种情况讨论可得答案．‎ ‎【解答】解：∵B⊆A，∴a2﹣a=﹣1或a2﹣a=2．‎ ‎①由a2﹣a=﹣1得a2﹣a+1=0，无解．‎ ‎②由a2﹣a=2得a2﹣a﹣2=0，解得a=﹣1或2，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．若（1﹣i）2=|1+i|2z（i为虚数单位），则复数z的实部与虚部的和为（　　）‎ A．1 B．0 C．﹣1 D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由（1﹣i）2=|1+i|2z，得，然后利用复数代数形式的乘除运算和复数求模公式计算得答案．‎ ‎【解答】解：由（1﹣i）2=|1+i|2z，‎ 得=，‎ 则复数z的实部与虚部的和为：﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．下列函数中，在定义域内与函数y=x3的单调性，奇偶性都相同的是（　　）‎ A．y=sinx B．y=x3﹣x C．y=2x D．y=lg（x+）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】函数y=x3的单调递增，为奇函数，分别判断函数的奇偶性和单调性即可．‎ ‎【解答】解：y=sinx是奇函数，在定义域上不是增函数，不满足条件．‎ y=x3﹣x是奇函数，函数的导数f′（x）=3x2﹣1，则f′（x）≥﹣1，则函数在定义域上不是单调递增函数，不满足条件．‎ y=2x是增函数，为非奇非偶函数，不满足条件，‎ 故选：D ‎　‎ ‎4．与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线，且右焦点F到渐近线的距离为2的双曲线方程是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得已知双曲线的渐近线方程，设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），由题意可得=，运用点到直线的距离公式，可得c，由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．‎ ‎【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，‎ 设所求双曲线的方程为﹣=1（a，b＞0），‎ 由题意可得=，‎ 右焦点F（c，0）到渐近线y=±x的距离为2，‎ 可得=2，解得c=2，即a2+b2=12，‎ 解得a=2，b=2，‎ 即有双曲线的方程为﹣=1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．阅读如图所示的程序框图，若输入的x值为﹣，则输出的y值是（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，根据输入x=﹣，执行y=﹣x2+1，即可计算得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值，‎ 由于：x=﹣∈（﹣1，0]，‎ 所以：y=﹣（﹣）2+1=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（　　）‎ A．96种 B．124种 C．130种 D．150种 ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】由题意知五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，可以把5个国家人分成三组，一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有C53A33，当按照1、2、2来分时注意其中包含一个平均分组的问题，不要出错．‎ ‎【解答】解：∵五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，‎ ‎∴可以把5个国家人分成三组，‎ 一种是按照1、1、3；另一种是1、2、2‎ 当按照1、1、3来分时共有C53A33=60，‎ 当按照1、2、2来分时共有•A33═90，‎ 根据分类计数原理知共有60+90=150，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．在各项均为正值的等比数列{an}中，已知a5、a13分别是方程2x2﹣mx+2e4=0的两根，则a7a9a11的值为（　　）‎ A．e6 B． C．e7 D．e5‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用根与系数的关系，由已知条件能求出a5•a13=e4，由此利用等比数列的性质能求出a9，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：等比数列{an}中，‎ ‎∵a5、a13分别是方程2x2﹣mx+2e4=0的两根，‎ ‎∴a5•a13=e4，‎ ‎∴a9=e2，‎ ‎∴a7a9a11=a93=e6，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（　　）‎ A．2+π+8 B．2+3π+8 C． +π+8 D． +2π+8‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体为两部分组成，左边是一个圆柱的，右边是一个正三棱柱（底面为正三角形、侧棱与底面垂直）．即可得出．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为两部分组成，左边是一个圆柱的，右边是一个正三棱柱（底面为正三角形、侧棱与底面垂直）．‎ ‎∴该几何体的表面积=π×12+2+2×+2×2×2=2+3π+8，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．设点M（x，y）满足不等式组，点P（，）（a＞0，b＞0），当•最大时，点M为（　　）‎ A．（0，2） B．（0，0） C．（4，6） D．（2，0）‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由题意作平面区域，从而化简•=（，）•（x，y）=+，从而确定最大值时的点即可．‎ ‎【解答】解：由题意作平面区域如下，‎ ‎，‎ ‎•=（，）•（x，y）=+，‎ 故当x，y都有最大值时，‎ 即x=4，y=6时，有最大值；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若2c2﹣c+b2=0，则•的最大值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】由b2=c﹣2c2＞0得出c的范围，用表示出，根据向量的数量级定义得出•关于c的函数．求出此函数的最大值即可．‎ ‎【解答】解：过O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则D，E分别是AB，AC的中点．‎ ‎∴•==﹣=AC•AE﹣AB•AD=．‎ ‎∵2c2﹣c+b2=0，∴b2=c﹣2c2＞0，解得0．‎ ‎∴==﹣（c﹣）2+．‎ ‎∴当c=时， •取得最大值．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．函数f（x）=的大致图象为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】利用导数求得函数的单调性，结合图象，得出结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）==，∴f′（x）==﹣•，‎ 令f′（x）=0，求得x=0或x=2，在（﹣∞，0）、（2，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减，‎ 在（0，2 ）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．知函数f（x）=ex﹣ax的图象在区间（﹣1，+∞）内与x轴没有交点，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．[﹣，e） B．（﹣，e） C．（﹣，） D．（0，e）‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】化简可得函数y=ex与y=ax的图象在区间（﹣1，+∞）内没有交点，从而利用数形结合的方法求解．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ex﹣ax的图象在区间（﹣1，+∞）内与x轴没有交点，‎ ‎∴函数y=ex与y=ax的图象在区间（﹣1，+∞）内没有交点，‎ 作函数y=ex与y=ax的图象在区间（﹣1，+∞）内的图象如右图，‎ 当直线y=ax过点B（﹣1，）时，a=﹣；‎ 当直线y=ax与y=ex相切时，设切点为A（x，ex），‎ 故ex=，解得，x=1；‎ 故点A（1，e），‎ 故a=e；‎ 故实数a的取值范围是[﹣，e），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若（2x﹣）6的展开式中常数项为160，则a的值为　﹣1　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】根据二项式展开式的通项公式求出常数项，再列出方程求a的值．‎ ‎【解答】解：（2x﹣）6展开式的通项公式为 Tr+1=•（2x）6﹣r•=（﹣a）r•26﹣r••x6﹣2r，‎ 令6﹣2r=0，解得r=3；‎ 所以展开式的常数项为 ‎（﹣a）3•23•=160，‎ 化简得a3=﹣1，‎ 解得a=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．观察下列式子：1+＜1+，1++＜1+，1+++＜1+，…，根据上述规律，第n个不等式应该为　1+++…+＜1+　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据规律，不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，由此可得结论．‎ ‎【解答】解：根据规律，‎ 不等式的左边是n+1个自然数倒数的平方的和，‎ 右边分母是以2为首项，1为公差的等差数列，‎ 分子是以3为首项，2为公差的等差数列，‎ 所以第n个不等式应该为1+++…+＜1+．‎ 故答案为：1+++…+＜1+．‎ ‎　‎ ‎15．将一个周长为18的矩形，以一边为侧棱，折成一个正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直），当这个正三棱柱的体积最大时，它的外接球的半径为　　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】正三棱柱的底面边长为x，高为y，则3x+y=9，0＜x＜3，表示正三棱柱的体积，利用基本不等式求最值，能求出正三棱柱的外接球的半径．‎ ‎【解答】解：设正三棱柱的底面边长为x，高为y，则3x+y=9，0＜x＜3，‎ 正三棱柱的体积V==‎ ‎=3‎ ‎≤3•（）3=3，‎ 当且仅当x=2时，等号成立，此时y=3，‎ 可知正三棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，‎ 则半径为r===．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．数列{an}满足a1=1，a2=2，且an+2﹣2an+1+an=1，则++…+的最小值为　1　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】化简an+2﹣2an+1+an=1可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=1，从而可得数列{an+1﹣an}是以1为首项，1为公差的等差数列；从而解得an+1﹣an=1+（n﹣1）1=n，再累加法求其通项公式，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵an+2﹣2an+1+an=1，‎ ‎∴（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=1，‎ 而a2﹣a1=2﹣1=1，‎ ‎∴数列{an+1﹣an}是以1为首项，1为公差的等差数列；‎ ‎∴an+1﹣an=1+（n﹣1）1=n，‎ ‎∴a2﹣a1=1，‎ a3﹣a2=2，‎ ‎…，‎ an﹣an﹣1=n﹣1，‎ ‎∴an=1+2+3+…+（n﹣1）+1=+1，‎ ‎∴an﹣1=，‎ ‎∴==2（﹣）＞0，‎ ‎∴当n=2时， ++…+有最小值，‎ 即=1，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分60分）‎ ‎17．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．‎ ‎（1）当∥时，求cos2x的值；‎ ‎（2）设函数f（x）=2（+）•，求当0≤x≤时，函数f（x）的最大值及对应的x值．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）利用向量平行，求得tanx=﹣，二倍角公式cos2x=cos2x﹣sin2x═，可求得，‎ ‎（2）将f（x）化简得f（x）=sin（2x+）+，根据正弦函数的性质，求得f（x）的最大值及x的取值．‎ ‎【解答】解：（1）当∥时，﹣sinx=，‎ tanx=﹣，‎ cos2x=cos2x﹣sin2x==，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎（2）设函数f（x）=2（+）•=2sinxcosx+2cos2+，‎ ‎=sin2x+cos2x+，‎ ‎=sin（2x+）+，‎ ‎0≤x≤时，≤2x+≤，‎ 当x=时，f（x）的最大值为．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．‎ ‎（1）求证：平面PAD⊥平面PGB ‎（2）若点E在BC边上，且=，求平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）推导出BG⊥AD，从而BG⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PGB．‎ ‎（2）以G为原点，分别以GB，GD，GP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在菱形ABCD中，∠DAB=60°，‎ G为AD的中点，∴BG⊥AD，‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴BG⊥平面PAD，‎ 又BG⊂平面PGB，‎ ‎∴平面PAD⊥平面PGB．‎ 解：（2）∵BG⊥平面PAD，∴BG⊥AD，BG⊥PG，‎ ‎∵△PAD是等边三角形，且G为AD的中点，∴PG⊥AD，‎ 以G为原点，分别以GB，GD，GP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则G（0，0，0），B（，0，0），P（0，0，），D（0，1，0），‎ C（），设E（，y0，0），‎ ‎∵，∴，即E（），‎ ‎∴=（0，0，），=（），‎ 设平面PDC的一个法向量=（x，y，z），‎ 则，令x=﹣1，得=（﹣1，，1），‎ 设平面PGE的一个法向量=（a，b，c），‎ 则，取a=1，得=（1，﹣2，0），‎ ‎∴|cos＜＞|===，‎ ‎∴平面PDC和平面PGE所成的锐二面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎19．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得到如下频数分布表．‎ ‎ 质量指标值分组 ‎[75，85）‎ ‎[85，95）‎ ‎[95，105）‎ ‎[105，115）‎ ‎[115，125]‎ ‎ 频数 ‎ 6‎ ‎ 26‎ ‎ x ‎ 22‎ ‎ 8‎ ‎（1）作出这些数据的频率分布直方图（用阴影表示）；‎ ‎（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差s2；‎ ‎（3）当质量指标值位于（79.6，120.4）时，认为该产品为合格品．由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2（每组数取中间值）．‎ ‎①利用该正态分布，求从该厂生产的产品中任取一件，该产品为合格品的概率；‎ ‎②该企业每年生产这种产品10万件，生产一件合格品利润10元，生产一件不合格品亏损20元，则该企业的年利润是多少？‎ ‎（提示：≈10.2，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544）‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（1）由已知作出频率分布表，由此能作出作出这些数据的频率分布直方图；‎ ‎（2）求出质量指标值的样本平均数、质量指标值的样本方差；‎ ‎（3）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；‎ ‎①由（2）知Z～N，从而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意运用所给数据；‎ ‎②设这种产品每件利润为随机变量E（X），即可求得EX．‎ ‎【解答】解：（1）由频率分布表作出这些数据的频率分布直方图为：‎ ‎（2）质量指标值的样本平均数为：‎ ‎=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．‎ 质量指标值的样本方差为 S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104．‎ ‎（3）①由（2）知Z～N，从而P（79.6＜Z＜120.4）=P=0.9544；‎ ‎②由①知一件产品的质量指标值位于区间（79.6，120.4）的概率为0.9544，‎ 该企业的年利润是EX=100000[0.9544×10﹣（1﹣0.9544）×20]=863200．‎ ‎　‎ ‎20．已知点F1（﹣1，0），F2（1，0），动点M到点F2的距离是2，线段MF1的中垂线交线段MF2于点P ‎（1）当点M变化时，求动点P的轨迹G的方程；‎ ‎（2）直线l与曲线G相切于点N，过F2作NF2的垂线与直线l相交于点Q，求证：点Q落在一条定直线m上，并求直线m的方程．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）连接PF1，则|PF1|=|PM|，由|PF1|+|PF2|=|MF2|=2＞|F1F2|=2，利用椭圆的标准方程即可得出．‎ ‎（2）当直线l斜率不存在时，不满足题意．当直线l斜率存在时，设N（x0，y0），设直线l：y﹣y0=k（x﹣x0），与椭圆方程=1联立，利用直线与椭圆相切的性质可得：△=0，整理﹣2kx0y0+﹣1=0，又+=1，解得k=﹣．直线l的方程与直线QF2的方程联立消去y即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）连接PF1，则|PF1|=|PM|，∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2＞|F1F2|=2，‎ ‎∴动点P的轨迹G是椭圆，设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0）．‎ 则2a=2，解得a=，又c=1，∴b2=a2﹣c2=1．‎ ‎∴椭圆的标准方程为： =1．‎ ‎（2）当直线l斜率不存在时，不满足题意．‎ 当直线l斜率存在时，设N（x0，y0），则+=1．‎ 设直线l：y﹣y0=k（x﹣x0），与椭圆方程=1联立化为：（1+2k2）x2+4k（y0﹣kx0）x+2﹣2=0，‎ ‎△=16k2﹣4（1+2k2）[2﹣2]=0，整理﹣2kx0y0+﹣1=0，又+=1，‎ ‎∴+kx0y0+=0，∴=0，解得k=﹣．‎ ‎∴直线l的方程化为：y=﹣（x﹣x0）+y0，①‎ 直线QF2的方程为：（x﹣1），②．‎ ‎①②联立消去y可得： =，与+2=2联立可得：（x0﹣2）（x﹣2）=0．‎ ‎∵，∴x0﹣2≠0，∴x=2．‎ ‎∴交点Q的横坐标为2落在直线x=2上．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=lnx+2．‎ ‎（1）若f（x）的切线过点P（0，2），求此切线的方程；‎ ‎（2）若方程f（x）=kx+k（k＞0）在区间[1，e]（其中e为自然数的底数）内有实根，求k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）设出切点坐标，表示出切线方程，将P（0，2）代入切线，求出切点的坐标，从而求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出k=，（x∈[1，e]），设h（x）=，根据函数的单调性求出h（x）在[1，e]的最值，从而求出k的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）设切点是（x0，lnx0+2），‎ f′（x）=，k=，‎ ‎∴切线方程是y﹣（lnx0+2）=（x﹣x0），‎ 此直线过P（0，2），代入得：lnx0=1，‎ ‎∴x0=e，‎ ‎∴切线方程是y﹣3=（x﹣e），‎ 即y=x+2；‎ ‎（2）由f（x）=kx+k，得k=，（x∈[1，e]），‎ 设h（x）=，h′（x）=，‎ 设p（x）=﹣lnx﹣1，p′（x）=﹣﹣＜0，‎ ‎∴p（x）在[1，e]递减，‎ ‎∴x∈[1，e]时，p（x）≤p（1）=0，‎ ‎∴h′（x）≤0，‎ ‎∴h（x）在[1，e]递减，‎ ‎∴h（x）最小值=h（e）=，‎ h（x）最大值=h（1）=1，‎ ‎∴≤k≤1时，f（x）=kx+k，（k＞0）在[1，e]内有实根，‎ ‎∴k的范围是[，1]．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，已知圆上的四点A、B、C、D，CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点．‎ ‎（1）求证：∠CDA=∠EDB ‎（2）若BC=CD=5，DE=7，求线段BE的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段；弦切角．‎ ‎【分析】（1）利用CD∥AB，过点D的圆的切线DE与BA的延长线交于E点，得出角相等，即可证明：∠CDA=∠EDB；‎ ‎（2）证明△BDC≌△EDA，可得BC=EA，由切割线定理可得DE2=EA•EB，即可求线段BE的长．‎ ‎【解答】（1）证明：∵CD∥AB，‎ ‎∴∠BDC=∠ABD，‎ ‎∵DE是圆的切线，‎ ‎∴∠ADE=∠ABD，‎ ‎∴∠ADE=∠BDC，‎ ‎∴∠CDA=∠EDB；‎ ‎（2）解：在△BCD，△ADE中，‎ ‎∵BC=CD=AD，∠BDC=∠EDA，∠BCD=∠EAD，‎ ‎∴△BDC≌△EDA，‎ ‎∴BC=EA，‎ 由切割线定理可得DE2=EA•EB，‎ ‎∴49=5BE，‎ ‎∴BE=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知直线l：（t为参数），曲线C：（θ为参数）．‎ ‎（1）分别将直线l和曲线C的参数方程转化为普通方程；‎ ‎（2）求与直线l平行且与曲线C相切的直线l1的方程．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）根据直线参数方程的几何意义得出直线的倾斜角和定点，写出点斜式方程即可，利用同角三角函数的关系得出曲线的普通方程；‎ ‎（2）根据直线平行与斜率的关系得出l1斜率为，使用待定系数法求出l1的方程．‎ ‎【解答】解：（1）由参数方程可知直线l的倾斜角为60°，过定点（1，0）．‎ ‎∴直线l的普通方程为y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0．‎ 曲线C的普通方程为x2+y2=1．‎ ‎（2）∵直线l与直线l1平行，‎ ‎∴直线l1的斜率为，‎ 设直线l1的方程为x﹣y+c=0，‎ 则，∴c=±2．‎ ‎∴直线l1的方程为x﹣y+2=0，或x﹣y﹣2=0．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|‎ ‎（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，当（x﹣2）（x+1）≤0时，取等号，由此f（x）的最小值是3．‎ ‎（2）关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，由此能求出实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，‎ 当（x﹣2）（x+1）≤0，即﹣1≤x≤2时，取等号，‎ ‎∴f（x）的最小值是3．‎ ‎（2）∵f（x）=|x﹣a|+|x+1|≥|（x﹣a）﹣（x+1）|=|a+1|，‎ 当（x﹣a）（x+1）≤0时取等号，‎ ‎∴若关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，‎ 只需|a+1|＜2，解得﹣3＜a＜1，‎ ‎∴实数a的取值范围是（﹣3，1）．‎ ‎　‎ ‎2016年8月23日