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- 2021-05-14 发布
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1. 在△ABC中,已知AB=4,AC=3,P是边BC的垂直平分线上的一点,则=_____________
【答案】
解析:
A
B
C
P
Q
2. 已知,点在内,.
设,则等于 A
B
O
C
【答案】3
[解析]:法一:建立坐标系,设 则由得
而 故
法二:两边同乘或得
两式相除得
3. 在△ABC中,若,则边的长等于
解析:
4. 已知点G是的重心,点P是内一点,若的取值范围是___________
解析:A
B
C
G
P
G’
P’
(其中)
=
=,则
5. 已知为所在平面内一点,满足
,则点是的 心 垂心
解析:
,可知,其余同理
6. 设点O是△ABC的外心,AB=,AC=,则·的取值
范围
解析:A
B
C
O
7. 在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,
,若,则与的夹角的余弦值等于_____
解析:(2007全国联赛类似38.39题)因为,所以,即。因为,
,,所以,即。设与的夹角为θ,则有,即3cosθ=2,所以
8. 已知向量,,满足,,.若对每一确定的,的最大值和最小值分别为,则对任意,的最小值是
解析:数形结合.A
B
C
D
,,,
,点在以为直径的圆上运动,就是,而(共线时取等号)和9题相同.
9. 已知向量a ,b ,c 满足 | a | = 1,|a - b | = | b |,(a - c) (b - c ) = 0 ,若对每一个确定的b,|c | 的最大值和最小值分别为m,n,则对于任意的向量b ,m + n 的最小值为
_________ .
解析:本题和8完全相同。数形结合,具体参见8
10. 设是夹角为的两个单位向量,已知,,若是以为直角顶点的直角三角形,则实数取值的集合为_____________{1}
解析:画图解即可
11. 如图放置的边长为1的正方形的顶点分别在轴,轴上正半轴上滑动,则的最大值为________2
解析:O
A
B
C
D
x
y
12. 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为。如图所示,点在以为圆心的圆弧上变动,若,其中,则的最大值是___2
解析:
【研究】如果要得到满足的准确条件,则建系,则
,则满足,且
【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,若,其中x、yR,则的最大值为 2
解析:建系,利用坐标法是可以得到最准确的满足条件,如
,点C在以O为圆心的圆弧AB上运动,故满足
13. 在平行四边形已知,点的中点,点在上运动(包括端点),则的取值范围是
解析:分两种情形,结合图形分析。(1)当P在BC上时,,则;同理,当P在CD上时,
14. 在周长为16的中,,则的取值范围是
解析:,因,故,,或者用消元的方法
,当时取等号,故
;同时,当时,故,
另法:本题可以得出P的轨迹是椭圆,得出椭圆方程然后设P坐标来解决
15. 已知且,是钝角,若的最小值为,则的最小值是
O
B
B’
A
C
解析:共线,用几何图形解)的最小值为根据几何意义即为A到OB的距离,易得,要使最小,则,利用面积法可求得
16. 如图,在正方形中,为的中点,为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点,设向量,则的最小值为
解析:坐标法解,
由得
,
,令,,故最小值为,最小值为
17. 已知为边长为1的等边所在平面内一点,且满足,则
=________3
解析:如图P
A
B
C
,=
18. 已知向量M={ | =(1,2)+l(3,4) lÎR}, N={|=(-2,2)+ l(4,5) lÎR },则MÇN=________
解析:
19. 等腰直角三角形中,,,是边上的高,为的中点,点分别为边和边上的点,且关于直线对称,当时,______3
C
A
D
E
B
解析:
20. 如图在三角形ABC中,E为斜边AB的中点,CD⊥AB,AB=1,
则的最大值是
解析:
21. 已知A,B,C是平面上不共线上三点,动点P满足,则P的轨迹一定通过的______________重心
解析:设重心为,
,故三点共线
22. 已知点O为的外心,且,则 6
解析:
23. 设是边延长线上一点,记 ,若关于的方程
在上恰有两解,则实数的取值范围是____
或
解析:令则在上恰有一解,数形结合知或,或者
又
所以或
24. 是锐角ABC所在平面内的一定点,动点P满足:
,,则动点P的轨迹一定通过ABC的______心 内心
解析:设高为,则显然成立
25. 已知为坐标原点,,,,,记、
、中的最大值为M,当取遍一切实数时,M的取值范围是_____
解析:不妨设,即,此时,当取遍一切实数时,点在轴上滑动,而到点的距离等于到轴距离的点的轨迹是以为焦点,轴为准线的抛物线,其方程为C
A
,它交直线于点,显然此时,而为的垂足时最小,即最小是
法2:对于某个固定的,到的最大值显然可以趋向,最小值呢?实际上就是当为外心时,此时的最小值,因为当不是外心时,至少有一个会变大,这样就变大.解得外心坐标为,要使得最小,则圆与坐标轴相切,此时
26. 已知中,为内心,,则的值为 _________ . ,
解析:延长交于点,则
27. 设G是的重心,且,则角B的大小为__________60°
解析:由重心性质知,下面用余弦定理即可求解
28. 平面内两个非零向量,满足,且与的夹角为,则的取值范围是_________
解析:数形结合。
利用正弦定理得,,
29. 在中,,为外接圆的圆心,则____
解析:A
B
C
O
D
E
30. △ABC内接于以O为圆心的圆,且.则 .135
解析:
31. 在△ABC中,AB=8,BC=7,AC=3,以A为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ为圆A
的任意一条直径,记T=,则T的最大值为 .22
解析:A
B
C
P
Q
设的夹角为,注意到由余弦定理知,故
32. 如图,在ΔABC中,,,,则=____________
33. 已知点O为△ABC内一点,且+2+3=,则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于_______________3:2:1
法一:延长OB,OC至B’,C’,使得,,则为重心,然后由面积计算;法二:建立坐标系,设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y),
34.已知A.B.C是△ABC的三个顶点,为_________________三角形. 直角三角形
解:注意到,故
35.平面上的向量满足,且,若向量
,则的最大值为___________
解析:两边平方后知,即重合时.
36.已知在平面直角坐标系中,满足0的最大值为
解析:即已知求最大值问题,线性规划问题.
37、在△中,已知,,,于,为
的中点,若,则 .
解析:,两边同数乘得;两边同数乘得
解方程组得
38. 如图,在和中,是的中点,,,
若,则与的夹角的余弦值等于 _.
解析:39题类似,,下面求
(=
=,解方程得
39. 如图,在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,CA=CB=2,若,则与的夹角等于 ;
解析: 解题思路:在已知等式中,将不知模长的向量作替换转化。
与的夹角与的夹角∵,
∴
而在等腰△ABC中,作底边的高CD,则在Rt△ACD中由已知边长可得,设与的夹角为。
∴,
从而,又,∴。
40. 如图,已知的一条直角边与等腰的斜边重合,若,,,
则 = .-1
解析:两边分别同乘分别得到
41.在中,若是其内一点,满足,求证:为内心
证明:
,注意到是单位向量,则在角平分线上,同理可得是内心.
42. 已知向量满足条件:,且=2,点P是ABC内一动点,则 18 .
43. 如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O 外的点D,若,则的取值范围是 (-1,0)
解析:设
,由于共线
A
B
C
P
44.如图,,点在阴影区域内(不含边界),则
满足的条件是___________,
解析:设与交与点,
,
45. 在△ABC中,,D是BC边上任意一点(D与B、C不重合),且,则等于
解析:
说明AD是BC边中垂线,得AB=AC
46. 在中,,是内切圆圆心,设是⊙
外的三角形区域内的动点,若,则点所在区域的面积为