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- 2021-05-14 发布
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二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用,又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习,深化作用,又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到,题型多为选择题,填空题,偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下,希望能够起到抛砖引玉的作用。
题型一:求二项展开式
1.“”型的展开式
例1.求的展开式;
解:原式==
=
=
=
小结:这类题目一般为容易题目,高考一般不会考到,但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2. “”型的展开式
例2.求的展开式;
分析:解决此题,只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3.二项式展开式的“逆用”
例3.计算;
解:原式=
小结:公式的变形应用,正逆应用,有利于深刻理解数学公式,把握公式本质。
题型二:求二项展开式的特定项
1. 求指定幂的系数或二项式系数
(1)求单一二项式指定幂的系数
例4.(03全国)展开式中的系数是 ;
解:==
令则,从而可以得到的系数为:
,填
(2) 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例5.(02全国)的展开式中,项的系数是 ;
解:在展开式中,的来源有:
① 第一个因式中取出,则第二个因式必出,其系数为;
② 第一个因式中取出1,则第二个因式中必出,其系数为
的系数应为:填。
(3) 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例6.(04安徽改编)的展开式中,常数项是 ;
解:
上述式子展开后常数项只有一项,即
本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后,用二项式定理的知识解决,
考查了变型与转化的数学思想。
2. 求中间项
例7.(00京改编)求(的展开式的中间项;
解:展开式的中间项为
即:。
当为奇数时,的展开式的中间项是和;
当为偶数时,的展开式的中间项是。
1. 求有理项
例8.(00京改编)求的展开式中有理项共有 项;
解:
当时,所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式;
② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数(或说是不可约分数)时,那么这个代数式是无理式。
2. 求系数最大或最小项
(1) 特殊的系数最大或最小问题
例9.(00上海)在二项式的展开式中,系数最小的项的系数是 ;
解:
要使项的系数最小,则必为奇数,且使为最大,由此得,从而可知最小项的系数为
(2) 一般的系数最大或最小问题
例10.求展开式中系数最大的项;
解:记第项系数为,设第项系数最大,则有
又,那么有
即
解得,系数最大的项为第3项和第4项。
(1) 系数绝对值最大的项
例11.在(的展开式中,系数绝对值最大项是 ;
解:求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理,
故此答案为第4项,和第5项。
题型三:利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数,二项式系数和
例12.(99全国)若,
则的值为 ;
解:
令,有,
令,有
故原式=
=
=
例13.(04天津)若,
则 ;
解:,
令,有
令,有
故原式==
在用“赋值法”求值时,要找准待求代数式与已知条件的联系,一般而言:特殊值在解题过程中考虑的比较多。
例14.设,
则 ;
分析:解题过程分两步走;第一步确定所给绝对值符号内的数的符号;第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。
解:
=
=0
题型四:利用二项式定理求近似值
例15.求的近似值,使误差小于;
分析:因为=,故可以用二项式定理展开计算。
解:==
,
且第3项以后的绝对值都小于,
从第3项起,以后的项都可以忽略不计。
==
小结:由,当的绝对值与1相比很小且很大时,等项的绝对值都很小,因此在精确度允许的范围内可以忽略不计,因此可以用近似计算公式:,在使用这个公式时,要注意按问题对精确度的要求,来确定对展开式中各项的取舍,若精确度要求较高,则可以使用更精确的公式:。
利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目,但是按照新课标要求,对高中学生的计算能力是有一定的要求,其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。
题型五:利用二项式定理证明整除问题
例16.(02潍坊模拟)求证:能被7整除。
证明:
=
=
=49P+()
又
=(7+1)
=
=7Q(Q)
能被7整除。
在利用二项式定理处理整除问题时,要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二
项式定理的情境上来,变形要有一定的目的性,要凑 出相关的因数。
二项式定理高考试题的难度一般处于中挡,掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法,无疑对我们后续知识的学习,以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。