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- 2021-05-14 发布
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2015年高考仿真模拟卷·江苏
数学卷(三)
注意事项:
1.本试卷由填空题和解答题两部分组成,满分160分,考试时间为120分钟.
2. 答题前,请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3. 答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.(2015·上海市十三校高三第二次联考(理)·2)函数1 的定义域为__________.
2.(2015·上海市闵行区高三一模(理)·1)已知集合A={x||x﹣|>},U=R,则 .
3.(2015·苏锡常镇高三调研一(理)·2)若复数(i为虚数单位)为纯虚数,则实数 .
4.(2015·上海市闵行区高三一模(理)·8)已知集合M={1,3},在M中可重复的依次取出三个数a,b,c,则“以a,b,c为边长恰好构成三角形”的概率是 .
5.(2015·北京市朝阳区高三一模(理)改编·5)某商场每天上午10 点开门,晚上 19 点停止进入.在如图所示的框图中,t表示整点时刻,a(t )表示时间段[t-1,t)内进入商场人次,S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和,为了统计某天进入商场的总人次数,则判断框内可以填 .
6.(2015·上海市闵行区高三一模(理)·6)已知θ∈(,π),sin﹣cos=,则cosθ= .
7.(2015·山东枣庄市高三一模(理)·15)若曲线 与曲线有唯一的公共点,则实数 的值为 .
8.(2015·浙江嘉兴高三下二模(理)改编·4)已知,实数满足:,若的最小值为1,则 .
9.(2015·江苏连云港、南通、扬州高三二模·9) 已知等差数列的首项为4,公差为2,前项和为.若(),则的值为 .
10.(2015·河南郑州市高三第二次质量预测(理)改编·12)已知双曲线的两焦点分别是过的直线交双曲线的右支于,两点,若,且,则双曲线的离心率为 .
11.(2015·浙江温州高三第二次适应性测试(理)·11)已知为正六边形,若向量,则 ; (用坐标表示).
12.(2015·上海市十三校高三第二次联考(理)·14)在平面直角坐标系中有两点,以原点为圆心,r > 0为半径作一个圆,与射线交于点M ,与x轴正半轴交于N ,则当r变化时, |AM |+| BN |的最小值为__________.
13.(2015·浙江温州高三第二次适应性测试(理)·14)若实数满足
,则的范围是 .
14.(2015·山东威海市高三一模(理)·14)已知偶函数f(x)满足f(x+1)=﹣,且当x∈[﹣1,0]时,f(x)=x2,若在区间[﹣1,3]内,函数g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有4个零点,则实数a的取值范围是 .
二、解答题:(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(2015·浙江丽水高三一模(理)·16)(本小题满分14 分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(sinB﹣cosB)(sinC﹣cosC)=4cosBcosC.
(Ⅰ) 求角A的大小;
(Ⅱ) 若sinB=psinC,且△ABC是锐角三角形,求实数p的取值范围.
16.(2015·安徽省“江淮十校”高三4月联考(理)·18)(本小题满分14 分)一个正四棱锥和一个正三棱锥的所有棱长都相等,如下左图,将他们全等的两面重合在一起拼成一个多面体ABCDEF,如下右图
(I)求证:AE//BF;
(II)过A、D、F三点作截面,将此多面体 上下两部分,求上下两部分的体积比.
17.(2015·南京市高三二模·17)(本小题满分14分)右图为某仓库一侧墙面的示意图,其下部是矩形ABCD,上部是圆AB,该圆弧所在的圆心为O,为了调节仓库内的湿度和温度,现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E,F在圆弧AB上,G,H在弦AB上).过O作,交AB 于M,交EF于N,交圆弧AB于P,已知(单位:m),记通风窗EFGH的面积为S(单位:)
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i)设,将S表示成的函数;
(ii)设,将S表示成的函数;
(2)试问通风窗的高度MN为多少时?通风窗EFGH的面积S最大?
18.(2015·重庆市巴蜀中学高三二模(理)·21)(本小题满分16 分)已知椭圆的右顶点、上顶点分别为坐标原点到直线的距离为且
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点,且该椭圆上存在点,使得四边形图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线的方程.
19.(2015·东北三校高三第二次联合考试·21)(本小题满分16 分)
20.(2015·江苏连云港、南通、扬州高三二模·9)(本小题满分16分)设是公差为的等差数列,是公比为()的等比数列.记.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)已知数列的前4项分别为4,10,19,34.
① 求数列和的通项公式;
② 是否存在元素均为正整数的集合,,…,(,),使得数列,,…,为等差数列?证明你的结论.
数学Ⅱ(附加题)
21.[选做题]请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答,如果多做,则按所做的前两题记分.
A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)
10. (2015·河北省“五个一名校联盟”质量监测(一)(理)·22) (本小题满分10分)如图,四边形ABCD内接于⊙,是⊙的直径,于点,平分.
(Ⅰ)证明:是⊙的切线
(Ⅱ)如果,求.
B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)
(2015·南京市高三二模)已知矩阵 ,A的逆矩阵
(1)求a,b的值; (2)求A的特征值.
C.(本小题满分10分,坐标系与参数方程选讲)
(2015·九江第一次高考模拟(理)·23)(本小题满分10分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程是.
(1)写出直线的极坐标方程与曲线的普通方程;
(2)若点是曲线上的动点,求到直线的距离的最小值,并求出点的坐标.
D.(本小题满分10分,不等式选讲)
(2015·泰州高三二模)已知不等式对于满足条件的任意实数恒成立,求实数的取值范围.
[必做题]第22题,第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(2015·江西八所重点中学4月份联考(理)·19)(本小题满分10分)已知集合,函数的定义域、值域都是,且对于任意,。设、、、是1,2,3,4的任意一个排列,定义数表,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表.
(1)求满足条件的不同的数表的张数;
(2)若(),从所有数表中任意抽取一张,记为表中的个数,求的分布列及期望.
23.(2015·南京市高三二模)(本小题满分10分)已知,定义
记 ,求的值;
(2)记 ,求所有可能值的集合.
2015年高考仿真模拟卷·江苏
数学卷(三)
参考答案与解析
1.(0,1].
【命题立意】 令被开方数大于等于0,然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围,写出集合区间形式即为函数的定义域.
【解析】∴0<x≤1∴函数的定义域为(0,1],故答案为:(0,1].
【举一反三】求解析式已知的函数的定义域应该考虑:开偶次方根的被开方数大于等于0;对数函数的真数大于0底数大于0小于1;分母非0.
2.[﹣1,4]
【命题立意】本题考查补集及其运算.
【解析】由A中不等式变形得:x﹣>或x﹣<﹣,解得:x>4或x<﹣1,即A=(﹣∞,﹣1)∪(4,+∞),∵U=R,∴ [﹣1,4].故答案为:[﹣1,4].
3.-1
【命题立意】本题考查了纯虚数的概念和复数运算.
【解析】∵,∴1+m=0,解得m=-1.
4.
【命题立意】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等可能事件概率计算公式的合理运用.
【解析】集合M={1,3},在M中可重复的依次取出三个数a,b,c,基本事件总数n=23=8,
“以a,b,c为边长恰好构成三角形”包含的基本事件个数m=5,∴“以a,b,c为边长恰好构成三角形”的概率:p=.故答案为:.
5.t≤18
【命题立意】本题考查了算法和程序框图.
【解析】
模拟执行程序,可得
t=10,S=0
满足条件,t=11,S=a(11)
满足条件,t=12,S=a(11)+a(12)…
满足条件,t=18,S=a(11)+a(12)+a(13)+a(14)+a(15)+a(16)+a(17)+a(18)
由题意,晚上 19 点停止进入,此时应该不满足条件,退出循环,输出S的值,
故判断框内可以填:t≤18.
6.
【命题立意】 本题考查二倍角的余弦,解题时要认真审题,仔细解答,注意三角函数的符号的正确选取.
【解析】∵θ∈(,π),sin﹣cos=,∴1﹣sinθ=,∴sinθ=,∵θ∈(,π),∴cosθ=﹣=﹣.故答案为:.
7.
【命题立意】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了方程有根的条件,是中档题.
【解析】函数的导数为,的导数为,
∵函数与有相同的公共切线,设公切线与函数切于点,公切线与函数切于点,
则对应的切线斜率相等即,同时切线斜率,将代入
得,整理得,
则,设,
则函数的导数,则当x>2时,,
当时,,即当时,函数取得极小值,同时也是最小值,
则最小值为,
则,故答案为.
8.
【命题立意】本题旨在考查线性规划的应用.
【解析】作出不等式组表示的平面区域:
由图可得在点处取得最小值1,从而得到,解得.
9.7
【命题立意】本题考查了等差数列的通项公式,前n项和公式.
【解析】根据题意得,,∴,解得k=7.
10.
【命题立意】本题考查双曲线的定义、性质,考查计算能力,难度较大..
【解析】设椭圆的焦距为,则,由椭圆的定义知,,因为,所以,所以,
过点作,垂足为,所以,,
在和中,由勾股定理得,,
所以,因为,
所以,解得或(舍去).
11.
【命题立意】正六边形的性质,平面向量的坐标运算,容易题.
【解析】正六边形中,,则,
,
.
12. .
【命题立意】本题考查两点间距离公式的应用,考查学生转化思想,推理和证明及分析解决问题的能力.
【解析】由题意,设M(a,﹣a)(a<0),则r=﹣2a,N(﹣2a,0).
∴|AM|+|BN|=+
设2a=x,则|AM|+|BN|=+,
可以理解为(x,0)与(﹣,)和(﹣1,)的距离和,
∴|AM|+|BN|的最小值为(﹣,)和(﹣1,﹣)的距离,即2.
故答案为:2.
13.
【命题立意】考查一元二次方程的根的判别式,容易题.
【解析】令代入得,
由一元二次方程必有解,则,解得,即的范围是.
14.[5,+∞)
【命题立意】本题主要考查函数的周期性的应用,函数的零点与方程的根的关系.
【解析】函数f(x)满足f(x+1)=﹣,故有f(x+2)=f(x),
故f(x)是周期为2的周期函数.
再由f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,
可得当x∈[﹣1,0]时,f(x)=x2,故当x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2 ,当x∈[1,3]时,f(x)=(x﹣2)2.
由于函数g(x)=f(x)﹣loga(x+2)有4个零点,故函数y=f(x)的图象与y=loga(x+2)有4个交点,
所以可得1≥loga(3+2),
∴实数a的取值范围是[5,+∞).
故答案为:[5,+∞).
15. ;
【命题立意】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,考查了正弦定理的应用.
【解析】(Ⅰ) 由题意得
…(4分)
∴…(7分)
(Ⅱ) …(10分)
∵△ABC为锐角三角形,且
∴…(14分)
∴.…(15分)
16.(I)略 (II)1:2
【命题立意】本题旨在考查空间中两直线平行的判定,以及几何体的体积
【解析】证明:(Ⅰ)由题意知,△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形,
取BE的中点O,连AO、FO、CO、AC,则BE⊥AO,BE⊥FO,BE⊥CO,
∴∠AOC、∠FOC分别是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角,…………3分
设AB=2,则AO=FO=CO=,AC=,
在△AOC中,,
在△FOC中,
∴∠AOC+∠FOC=,即二面角A-BE-C与二面角F-BE-C互补,…………………5分
所以ABFE四点共面,又AB=BF=FE=EA,故AE∥BF.………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,四边形ABFE四边形CDEF都是菱形,
所以过三点ADF的截面把多面体分成三棱锥A-DEF和四棱锥F-ABCD,
连BD、FD则=
所以截面把多面体分成上、下两部分的体积比为1:2.…………………………………12分
17.(1)(i)S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中cosθ0=(ii) S=x,0<x<6.5(2)MN=x=4.5m时,通风窗的面积最大
【命题立意】本题旨在考查函数的应用.
【解析】(1)由题意知,OF=OP=10,MP=6.5,故OM=3.5.
(i)在Rt△ONF中,NF=OFsinθ=10sinθ,ON=OFcosθ=10cosθ.
在矩形EFGH中,EF=2MF=20sinθ,FG=ON-OM=10cosθ-3.5,
故S=EF×FG=20sinθ(10cosθ-3.5)=10sinθ(20cosθ-7).
即所求函数关系是S=10sinθ(20cosθ-7),0<θ<θ0,其中cosθ0=.
………… 4分
(ii)因为MN=x,OM=3.5,所以ON=x+3.5.
在Rt△ONF中,NF===.
在矩形EFGH中,EF=2NF=,FG=MN=x,
故S=EF×FG=x.
即所求函数关系是S=x,0<x<6.5. ………… 8分
(2)方法一:选择(i)中的函数模型:
令f(θ)=sinθ(20cosθ-7),
则f ′(θ)=cosθ(20cosθ-7)+sinθ(-20sinθ)=40cos2θ-7cosθ-20.………… 10分
由f ′(θ)=40cos2θ-7cosθ-20=0,解得cosθ=,或cosθ=-.
因为0<θ<θ0,所以cosθ>cosθ0,所以cosθ=.
设cosα=,且α为锐角,
则当θ∈(0,α)时,f ′(θ)>0 ,f(θ)是增函数;当θ∈(α,θ0)时,f ′(θ)<0 ,f(θ)是减函数,
所以当θ=α,即cosθ=时,f(θ)取到最大值,此时S有最大值.
即MN=10cosθ-3.5=4.5m时,通风窗的面积最大. ………… 14分
方法二:选择(ii)中的函数模型:
因为S= ,令f(x)=x2(351-28x-4x2),
则f ′(x)=-2x(2x-9)(4x+39). ……… 10分
因为当0<x<时 ,f ′(x)>0,f(x)单调递增,当<x<时,f ′(x)<0,f(x)单调递减,
所以当x=时,f(x)取到最大值,此时S有最大值.
即MN=x=4.5m时,通风窗的面积最大. ………… 14分
18.(1)(2)
【命题立意】本题考查椭圆的基本概念及直线方程.
【解析】(1)直线的方程为坐标原点到直线的距离为
又解得故椭圆的方程为
(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为 易知直线的斜率不为0,故可设直线点因为四边形为平行四边形,所以
联立
,因为点在椭圆上,所以
那么直线的方程为
19.(1)(2)略(3)
【命题立意】本题的旨意考查导数的综合应用.
【解析】(1)
依题意得:
解得:
(2)当时:
对成立
即:在上为增函数
又,故对成立
在上为增函数
(2)
由得:
设
设
①当时:对成立
又 故 即:
又 故
②当时:由得
当时:
又 故: 即:
又 故这与已知不符
综上所述:实数的取值范围为
20.(I)略(II)①,②假设不成立,从而不存在满足题意的集合
【命题立意】本题考查了等差数列,等比数列,通项公式等,考查了学生的方程思想.
【解析】(1)证明:依题意,
, …… 3分
从而,又,
所以是首项为,公比为的等比数列. …… 5分
(2)① 法1:由(1)得,等比数列的前3项为,,,
则,
解得,从而, …… 7分
且
解得,,
所以,. …… 10分
法2:依题意,得 …… 7分
消去,得
消去,得
消去,得,
从而可解得,,,,
所以,. …… 10分
② 假设存在满足题意的集合,不妨设,,,,且,,
,成等差数列,
则,
因为,所以, ①
若,则,
结合①得,,
化简得,, ②
因为,,不难知,这与②矛盾,
所以只能,
同理,,
所以,,为数列的连续三项,从而,
即,
故,只能,这与矛盾,
所以假设不成立,从而不存在满足题意的集合. …… 16分
(注:第(2)小问②中,在正确解答①的基础上,写出结论“不存在”,就给1分.)
21.A(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【命题立意】本题考查三角形相似的证明,考查圆的切线的性质,考查弦切角定理,属于基础.
【解析】(Ⅰ)连结OA,则OA=OD,所以∠OAD=∠ODA,
又∠ODA=∠ADE,所以∠ADE=∠OAD,所以OA∥CE.
因为AE⊥CE,所以OA⊥AE.
所以AE是⊙O的切线.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得△ADE∽△BDA,
所以=,即=,则BD=2AD,
所以∠ABD=30°,从而∠DAE=30°,
所以DE=AEtan30°=.
由切割线定理,得AE2=ED·EC,
所以4=(+CD),所以CD=.
21.B(1)a=1,b=- (2)λ1=1,λ2=3
【命题立意】本题旨在考查矩阵.
【解析】(1)因为A A-1= ==.
所以
解得a=1,b=-. …………………… 5分
(2)由(1)得A=,
则A的特征多项式f(λ)==(λ-3)( λ-1).
令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=3. ………………… 10分
21.C(1)ρcosθ﹣ρsinθ=1,y=x2(2),
【命题立意】本题考查了参数方程化为普通方程.极坐标方程化为平面直角坐标方程.点到直线的距离公式,本题难度不大,属于基础题.
【解析】(1)∵,∴x﹣y=1.
∴直线的极坐标方程为:ρcosθ﹣ρsinθ=1.
即,即.
∵,∴,
∴ρcos2θ=sinθ,∴(ρcosθ)2=ρsinθ,即曲线C的普通方程为y=x2.
(2)设P(x0,y0),,
∴P到直线的距离:.
∴当时,,∴此时,
∴当P点为时,P到直线的距离最小,最小值为.
21.D
【命题立意】本题考查了柯西不等式.
【解析】因为,所以,
又对任意实数恒成立, 故,
解得 .
22.(1)216;(2)2。
【命题立意】本题考查排列组合与概率知识。属于中等题。
【解析】(1)∵、、、是1,2,3,4,的任意一个排列,共有种排法;
……2分
又,∴第一个函数值有3种排法,第二个函数值有3种排法,第3、4个函数值只有1种排法; ……4分
∴一共有3×3×=216种排法。 ……5分
(2)P(=1)=,P(=2)=,P(=3) =。 ……9分
因此的分布列如下:
1
2
3
P
E =2。 ……12分
23.(1)63 (2){-1,0}
【命题立意】本题旨在考查新定义及其应用.
【解析】(1)由题意知,fn(m)=
所以am= ………………… 2分
所以a1+a2+…+a12=C+C+…+C=63. ………………… 4分
(2)当n=1时, bm=(-1)mmf1(m)=则b1+b2=-1.………… 6分
当n≥2时,bm=
又mC=m·=n·=nC,
所以b1+b2+…+b2n=n[-C+C-C+C+…+(-1)nC]=0.
所以b1+b2+…+b2n的取值构成的集合为{-1,0}. ………… 10分
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