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- 2021-05-14 发布
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专题4.2 三角恒等变
真题再现
1.【2017课标3,文4】已知,则=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 .
所以选A.
【考点】二倍角正弦公式
【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度
(1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”.
(2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.
(3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.
2. 【2017山东,文4】已知,则
A. B. C. D.
【答案】D
【考点】二倍角公式
【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
3.【2017课标II,文13】函数的最大值为_______ .
【答案】
【解析】
【考点】三角函数有界性
【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征.一般可利用 求最值.
4.【2017江苏,5】 若 则 .
【答案】
【考点】两角和正切公式
5.【2017课标1,文15】已知,tan α=2,则=__________.
【答案】
【解析】
【考点】三角函数求值
【名师点睛】三角函数求值的三种类型
(1)给角求值:关键是正确选用公式,以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值:关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用;
②变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.
(3)给值求角:实质是转化为“给值求值”,先求角的某一函数值,再求角的范围,确定角.
6. 【2016高考新课标Ⅲ文数】若 ,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】.
7. 【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=
,则tan(θ–)= .
【答案】
8.【2015高考广东,文16】已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
【解析】
(1)
(2)
【知识链接】
1.两角和与差的三角函数
;;
.
2.二倍角公式
;;
.
3.降幂公式
;,.
4.辅助角公式
,.
5.有关公式的逆用、变形等
;,
,,,
,,
【方法规律技巧】
1.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路与基本的技巧
基本思路是:一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦”;第三观察代数式的结构特点.
基本的技巧有:
(1)巧变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如,,,,等.
(2)三角函数名互化:切割化弦,弦的齐次结构化成切.
(3)公式变形使用:如,,,
,等
(4)三角函数次数的降升:降幂公式与升幂公式:;,.
(5)式子结构的转化.
(6)常值变换主要指“1”的变换:等.
(7)辅助角公式:(其中角所在的象限由的符号确定,的值由确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角为特殊角的情况即可.
如等.
题型一 两角和与差的三角函数公式的应用
典例1.【安徽省淮北市第一中学2017届高三最后一卷数学(文)】已知, ,则=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】,则, ,所以, ,
,故选B.
典例2.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
典例3.【湖南省2017届高三普通高等学校招生全国统一考试考前演练卷(三)文科】计算的值等于__________.
【答案】
典例4.【辽宁省沈阳市东北育才学校2017届高三第八次模拟考试数学(文)】sin15°+cos15°=__.
【答案】
【解析】
【变式训练】
1.若,且,则实数的值为( )
A.1 B. C.1或 D.1或10
【答案】C
【解析】,所以或,即或,选C.
2.( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】原式等于 ,选D.
3.已知锐角满足,则的值为( )
A. B. C. D. 或
【答案】B
【知识链接】
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α-β):cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
C(α+β):cos(α+β)=cosαcos_β-sinαsinβ;
S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;
S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cosαsinβ;
T(α+β):tan(α+β)=;
T(α-β):tan(α-β)=.
变形公式:
tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tanαtanβ);
.
【变式训练】
1.若, ,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
2.若,且,则的值为( )
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】由题意可知,所以和,所以= ,选C.
3.已知是方程的两个根,且,则的值是
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】由题意得
因为 ,所以,选B.
题型2 二倍角公式及半角公式的的运用
典例1.【河北省保定市2017届高三二模文科数学试题】角的顶点与原点重合,始边与
轴非负半轴重合,终边在直线上,则( )
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得: ,
则: .
本题选择D选项.
典例2.
典例3.【广东省汕头市2017届高三第三次模拟考试数学(文)】已知为锐角,且,则__________.
【答案】
【知识清单】
二倍角的正弦、余弦、正切公式:
S2α:sin 2α=2sin_αcos_α;
C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
T2α:tan 2α=.
变形公式:
cos2α=,sin2α=
1+sin 2α=(sin α+cos α)2 ,1-sin 2α=(sin α-cos α)2
【方法规律技巧】
三角函数式的化简要遵循“三看”原则:
(1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式;
(2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式;
(3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.
【变式训练】
1.【宁夏六盘山高级中学2017届高三第三次模拟考试数学(文)】若是第四象限角,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
2.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
题型3 三角恒等式的证明
典例1.求证:sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β=.
【证明】证法一:(复角→单角,从“角”入手)
左边=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(2cos2α-1)(2cos2β-1)
=sin2αsin2β+cos2αcos2β-(4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1)
=sin2αsin2β-cos2αcos2β+cos2α+cos2β-
=sin2αsin2β+cos2αsin2β+cos2β-
=sin2β+cos2β-=1-=.
典例2. 已知,,且,.
证明:.
【证明】,即,
,
,
,
又,,
,,,
.
【方法规律技巧】
三角恒等式的证明主要有两种类型:绝对恒等式与条件恒等式.
(1)证明绝对恒等式要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角恒等式变换,使等式的两边化异为同.
(2)条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入法、消元法、两头凑等方法.
【变式训练】
1.求证:=-2cos(α+β).
2.已知,证明:.
【证明】左边
右边.
故原命题成立.
题型4 三角恒等变换与三角函数性质的综合应用
典例1. 12.【湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试数学(文)】已知,将的图象向右平移了个单位,再向上平移1个单位,得到的图象,若对任意实数,都有成立,则( )
A. B. 1 C. D. 0
【答案】B
典例2. 【湖北省黄冈中学2017年高三5月第三次模拟考试文科数学】若函数在上是增函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
, 是函数含原点的递增区间,又因为函数在 上递增,所以 ,所以得不等式组 ,得 ,又 , 的取值范围是,故选B .
【方法规律技巧】
高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为的形式,再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质.
【变式训练】
1.【四川省大教育联盟2017届高中毕业班第三次诊断性考试数学(文)】已知为正整数,若函数在区间内单调递增,则函数最小正周期为( )
A. B. C. D.
【答案】D
2.(1)已知, ,其中, ,求;
(2)已知, ,且,求的值.
【答案】(1)-1;(2).
【知识交汇】
1.【湖南省长沙市一中2017届高三高考模拟试卷(二)数学】若()是偶函数,则有序实数对()可以是( )
A. B. C. (1,1) D. (-1,1)
【答案】D
【解析】
, ,
∵是偶函数,∴只要即可,可以取, ,故选D.
【交汇技巧】
本题主要考查了利用两角和与差的三角函数进行三角函数式的化简,以及三角函数奇偶性的判断,熟练掌握三角函数的性质是关键;已知函数的奇偶性求参数的问题解决的方法主要有三:
(1)奇偶性的定义;
(2)数形结合;
(3)根据基础函数平移伸缩变换得出奇偶性。
2.【2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考数学(文)】已知函数,若为函数的一个零点,则__________.
【答案】
练习检测
1.【广东省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试数学(文)】已知,则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ,选D.
2.【安徽省巢湖市柘皋中学2017届高三最后一次模拟考试数学(文)】若倾斜角为的直线与曲线相切于点,则的值为( )
A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】 ,当 时, 时,则 ,所以 ,故选D.
3.【辽宁省庄河市高级中学2017届高三第四次模拟考试数学(文)】已知 为第二象限角, ,则 的值为 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
4.【广西桂林市第十八中学2017届高三下学期适应性考试数学(文)】已知是第二象限角,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由同角三角函数基本关系可得:
,解得: ,则 .
本题选择C选项.
5.【云南省民族中学2017届高三适应性考试(三)数学(文)】已知,则=( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,即,
,故选A.
6.【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟卷(二) 数学(文)】已知,则
A. B. C. D.
【答案】D
7.【福建省泉州市2017届高三(5月)第二次质量检查数学(文)】已知,则( )
A. B. C. D. -
【答案】C
【解析】因为所以 ,因为,所以,选C.
8.【河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学(文)】已知,则的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
9.【福建省福州第一中学2017届高三5月质检(最后一模)数学(文)试题】已知,则的值( )
A. 2 B. -2 C. 3 D. -3
【答案】C
【解析】
,故选C.
10.【百校大联考全国名校联盟2017届高三联考试卷(六)文科】若,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由齐次式可得: ,故选D.
11.【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三第三次模拟考试数学(文)】已知,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,故选C.
12.【河南省豫北重点中学2017届高三4月联考数学(文)】已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,所以,
,故选D.
13.【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学(文)】的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 由,故选B.
14.【江西省南昌市2017届高三二模测试卷文科数学试题】已知,则_________.
【答案】.
15.【重庆市巴蜀中学2017届高三三诊考试文科数学】已知,则__________.
【答案】
【解析】
16.【湖南省长沙市长郡中学2017届高三5月模拟考试数学(文)试题】在锐角中, , , ,则__________.
【答案】
17.【河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学(文)】将函数的图象向右平移个单位(),若所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值是__________.
【答案】
【解析】 向右平移个单位得
为偶函数,所以,因为,所以
18.【山西省孝义市2017届高三下学期高考考前质量检测三(5月模拟)数学(文)】已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则 ____________.
【答案】
【解析】角的终边与单位圆的交点为,所以, ,
所以.
19.【广东省惠州市2017届高三4月模拟考试数学文试题】已知,则______ .
【答案】