高考数学解析几何应用题 6页

‎ 专题9.5：解析几何应用题 ‎【拓展探究】‎ ‎1. 某人欲设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”其中是过抛物线焦点且互相垂直的两条弦，该抛物线的对称轴为，通径长为4．记，为锐角．（通径：经过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦）‎ ‎（1）用表示的长；‎ ‎（2）试建立“蝴蝶形图案”的面积关于的 函数关系式，并设计的大小，使“蝴蝶形图案”‎ 的面积最小．‎ ‎【解】（1）由抛物线的定义知，，解得，．‎ ‎（2）据（1）同理可得，‎ ‎，．‎ 所以“蝴蝶形图案”的面积 ‎， 即，． ‎ 令，则，所以当，即时，的最小值为8． ‎ 答：当时，可使“蝴蝶形图案”的面积最小． ‎ ‎2. 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.‎ ‎（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？‎ ‎（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧 道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为）‎ ‎【解】（1）如图建立直角坐标系，则点，椭圆方程为.‎ 将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得此时.因此隧道的拱宽约为33.3米.‎ ‎（2）由椭圆方程，得因为即且所以当取最小值时，有得此时 故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.‎ ‎3. 如图所示，有两条道路与，，现要铺设三条下水管道，，（其中，分别在，上），若下水管道的总长度为，设，．‎ ‎（1）求关于的函数表达式，并指出的取值范围；‎ ‎（2）已知点处有一个污水总管的接口，点到的距离为，到点的距离为，问下水管道能否经过污水总管的接口点？若能，求出的值，若不能，请说明理由．‎ ‎5. 如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求: 新桥BC与河岸AB垂直; 保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于‎80m. 经测量，点A位于点O正北方向‎60m处, 点C位于点O正东方向‎170m处(OC为河岸),‎ ‎.‎ ‎（1）求新桥BC的长；‎ ‎（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？‎ ‎【解法探究】‎ ‎（1）解法1：（两角差的正切）连结，由题意知，则由两角差的正切公式可得：，故 答：新桥的长度为m.‎ 解法2：（解析法）由题意可知；由 可知直线的斜率，则直线所在直线的方程为；又由可知，所在的直线方程为；联立方程组，解得；‎ 即点，那么. 答：新桥的长度为m.‎ 解法3：（初中解法）延长交所在直线于点，‎ 由可得，，，，故 ‎，在中，由 勾股定理得，故 答：新桥的长度为m.‎ ‎（2）解法1：（解析法） 由题意设，圆的方程为，且由题意可知. 又古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m，那么，解得；由函数为区间上的减函数，故当时，半径取到最大值为.‎ 综上可知，当时，圆形保护区的面积最大，且最大值为.‎ 解法2：（初中解法）设与圆切于点，连接 ‎，过点作交于点.‎ 设，则，由古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m，那么，解得. 由，可得，由（1）解法3可得，所以，故即圆的半径的最大值为130，当且仅当时取得半径的最大值. 综上可知，当时，圆形保护区的面积最大. ‎ ‎6. 如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，‎ OA = 10 ，OB = 20 ，C在O的北偏西45° 方向上，CO =．‎ ‎（1）求居民区A与C的距离；‎ ‎ ‎ ‎（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE = θ（0≤θ <），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．‎ ‎① 求w关于θ的函数表达式；‎ ‎② 求w的最小值及此时的值．‎ ‎【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？‎