高考文科数学天津卷word解析 8页

‎2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学 文史类(天津卷)‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．(2013天津，文1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝(　　)．‎ A．(－∞，2] B．[1,2]‎ C．[－2,2] D．[－2,1]‎ 答案：D 解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}，A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故选D.‎ ‎2．(2013天津，文2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)．‎ A．－7 B．－4‎ C．1 D．2‎ 答案：A 解析：作约束条件所表示的可行域，如图所示，z＝y－2x可化为y＝2x＋z，z表示直线在y轴上的截距，截距越大z越大，作直线l0：y＝2x，平移l0，当l0过点A(5,3)时，z取最小值，且为－7，选A.‎ ‎3．(2013天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为(　　)．‎ A．7 B．6‎ C．5 D．4‎ 答案：D 解析：由程序框图可知，n＝1时，S＝－1；n＝2时，S＝1；n＝3时，S＝－2；n＝4时，S＝2≥2，输出n的值为4，故选D.‎ ‎4．(2013天津，文4)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜‎0”‎是“a＜b”的(　　)．‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：因为a2≥0，而(a－b)a2＜0，所以a－b＜0，即a＜b；由a＜b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0可以为0，所以“(a－b)a2＜‎0”‎是“a＜b”的充分而不必要条件．‎ ‎5．(2013天津，文5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(　　)．‎ A． B．‎1 C．2 D．‎ 答案：C 解析：由题意知点P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，设切线的斜率为k，则＝－1，解得，直线ax－y＋1＝0的斜率为a，其与切线垂直，所以＝－1，解得a＝2，故选C.‎ ‎6．(2013天津，文6)函数在区间上的最小值为(　　)．‎ A．－1 B． C． D．0‎ 答案：B 解析：因为x∈，所以，当，即x＝0时，f(x)取得最小值.‎ ‎7．(2013天津，文7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log‎2a)＋≤‎2f(1)，则a的取值范围是(　　)．‎ A．[1,2] B．‎ C． D．(0,2]‎ 答案：C 解析：因为＝－log‎2a，所以f(log‎2a)＋＝f(log‎2a)＋f(－log‎2a)＝‎2f(log‎2a)，原不等式变为‎2f(log‎2a)≤‎2f(1)，即f(log‎2a)≤f(1)．‎ 又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，‎ 所以|log‎2a|≤1，即－1≤log‎2a≤1，‎ 解得≤a≤2，故选C.‎ ‎8．(2013天津，文8)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)．‎ A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a)‎ C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0‎ 答案：A 解析：由f(a)＝ea＋a－2＝0得0＜a＜1.‎ 由g(b)＝ln b＋b2－3＝0得1＜b＜2.‎ 因为g(a)＝ln a＋a2－3＜0，‎ f(b)＝eb＋b－2＞0，‎ 所以f(b)＞0＞g(a)，故选A.‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．‎ ‎2．本卷共12小题，共110分．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9．(2013天津，文9)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.‎ 答案：5－5i 解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.‎ ‎10．(2013天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为__________．‎ 答案：‎ 解析：由题意知，.设正方体的棱长为a，则＝2R，a＝，所以正方体的棱长为.‎ ‎11．(2013天津，文11)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．‎ 答案 解析：抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c＝2，离心率e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为.‎ ‎12．(2013天津，文12)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为__________．‎ 答案：‎ 解析：取平面的一组基底{，}，则 ‎＝＋，＝＋＝＋，‎ ‎·＝(＋)·＝||2＋||2＋·＝||2＋||＋1＝1，解方程得||＝(舍去||＝0)，所以线段AB的长为.‎ ‎13．(2013天津，文13)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点 E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为__________．‎ 答案：‎ 解析：因为在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，所以AD＝BC，∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABE＝∠BCD.‎ 所以∠BAD＋∠ABE＝180°.‎ 又因为AE为圆的切线，‎ 所以AE2＝BE·EC＝4×9＝36，故AE＝6.‎ 在△ABE中，由余弦定理得 cos∠ABE＝，‎ cos∠BAD＝cos(180°－∠ABE)＝－cos∠ABE＝，‎ 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝，所以BD＝.‎ ‎14．(2013天津，文14)设a＋b＝2，b＞0，则的最小值为__________．‎ 答案：‎ 解析：因为a＋b＝2，‎ 所以＝1，‎ ‎＝≥，，当且仅当b＝2|a|时，等号成立．‎ 当a＞0时，，故；‎ 当a＜0时，，.‎ 综上可得最小值为.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．(2013天津，文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标 ‎(x，y，z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,1)‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标 ‎(x，y，z)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,1)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(2,1,2)‎ ‎(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎①用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于‎4”‎，求事件B发生的概率．‎ 解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ S ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.‎ ‎(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．‎ ‎②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝.‎ ‎16．(2013天津，文16)(本小题满分13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsin A＝3csin B，a＝3，cos B＝.‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)求的值．‎ 解：(1)在△ABC中，由，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝3csin B，可得a＝‎3c，‎ 又a＝3，故c＝1.‎ 由b2＝a2＋c2－2accos B，，可得.‎ ‎(2)由，得sin B＝，进而得 cos 2B＝2cos2B－1＝，sin 2B＝2sin Bcos B＝.‎ 所以＝.‎ ‎17．(2013天津，文17)(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC－A1B‎1C1中，侧棱A‎1A⊥底面ABC，且各棱长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A‎1C1的中点．‎ ‎(1)证明EF∥平面A1CD；‎ ‎(2)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1；‎ ‎(3)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．‎ ‎ (1)证明：如图，在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AC∥A‎1C1，且AC＝A‎1C1，连接ED，在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，‎ 所以DE＝且DE∥AC，‎ 又因为F为A‎1C1的中点，可得A‎1F＝DE，且A‎1F∥DE，即四边形A1DEF为平行四边形，‎ 所以EF∥DA1.‎ 又EF⊄平面A1CD，DA1⊂平面A1CD，‎ 所以EF∥平面A1CD.‎ ‎(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，‎ 又由于侧棱A‎1A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，‎ 所以A‎1A⊥CD，‎ 又A‎1A∩AB＝A，‎ 因此CD⊥平面A1ABB1，而CD⊂平面A1CD，‎ 所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.‎ ‎(3)解：在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥A1D交直线A1D于点G，连接CG.‎ 由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线A1D是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，‎ 故BG⊥平面A1CD.‎ 由此得∠BCG为直线BC与平面A1CD所成的角．‎ 设棱长为a，可得A1D＝，‎ 由△A1AD∽△BGD，易得BG＝.‎ 在Rt△BGC中，sin∠BCG＝.‎ 所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.‎ ‎18．(2013天津，文18)(本小题满分13分)设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．‎ 解：(1)设F(－c,0)，由，知.‎ 过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有，解得，‎ 于是，解得b＝，‎ 又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，‎ 由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.‎ 求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为A(，0)，B(，0)，‎ 所以·＋·‎ ‎＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)‎ ‎＝6－2x1x2－2y1y2‎ ‎＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)‎ ‎＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2‎ ‎＝.‎ 由已知得＝8，‎ 解得k＝.‎ ‎19．(2013天津，文19)(本小题满分14分)已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明(n∈N*)．‎ ‎(1)解：设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列，‎ 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得‎2a4＝－a3，于是.‎ 又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为.‎ ‎(2)证明，‎ 当n为奇数时，随n的增大而减小，所以.‎ 当n为偶数时，随n的增大而减小，所以.‎ 故对于n∈N*，有.‎ ‎20．(2013天津，文20)(本小题满分14分)设a∈[－2,0]，已知函数 ‎(1)证明f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；‎ ‎(2)设曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，且x1x2x3≠0.证明x1＋x2＋x3＞.‎ 证明：(1)设函数f1(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f2(x)＝(x≥0)，‎ ‎①f1′(x)＝3x2－(a＋5)，由a∈[－2,0]，从而当－1＜x＜0时，f1′(x)＝3x2－(a＋5)＜3－a－5≤0，所以函数f1(x)在区间(－1,0]内单调递减．‎ ‎②f2′(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)，由于a∈[－2,0]，所以当0＜x＜1时，f2′(x)＜0；当x＞1时，f2′(x)＞0.即函数f2(x)在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．‎ 综合①，②及f1(0)＝f2(0)，可知函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．‎ ‎(2)由(1)知f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增．‎ 因为曲线y＝f(x)在点Pi(xi，f(xi))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x1，x2，x3互不相等，且f′(x1)＝f′(x2)＝f′(x3)．不妨设x1＜0＜x2＜x3，由－(a＋5)＝－(a＋3)x2＋a＝－(a＋3)x3＋a，‎ 可得－(a＋3)(x2－x3)＝0，解得x2＋x3＝，从而0＜x2＜＜x3.‎ 设g(x)＝3x2－(a＋3)x＋a，则＜g(x2)＜g(0)＝a.‎ 由－(a＋5)＝g(x2)＜a，解得＜x1＜0，‎ 所以x1＋x2＋x3＞，‎ 设t＝，则a＝，‎ 因为a∈[－2,0]，所以t∈，‎ 故x1＋x2＋x3＞，即x1＋x2＋x3＞.‎