北京市高考数学联考试题分类大汇编数列试题解析 12页

北京市2012年高考数学最新联考试题分类大汇编 一、选择题：‎ ‎（2）（2012年4月北京市海淀区高三一模理科）在等比数列中，，则=‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【答案】B ‎7．(北京市西城区2012年4月高三第一次模拟文)设等比数列的前项和为．则“”是“”的（ C ）‎ ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分又不必要条件 ‎【答案】C ‎7．(2012年3月北京市丰台区高三一模文科)设为等比数列的前项和，若a1=1，且，，成等差数列，则数列的前5项和为 ‎(A) 341‎ ‎(B) ‎ ‎(C) 1023‎ ‎(D) 1024‎ ‎【答案】A 二、填空题：‎ ‎（12）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）在等差数列中，若 ‎，则数列的公差等于 ； ‎ ‎ 其前项和的最大值为 ．‎ ‎【答案】57‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ 8 个．‎ 三、解答题：‎ ‎（16）(北京市东城区2012年1月高三考试文科）（本小题共13分）‎ 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且， ．‎ ‎（Ⅰ）求与；‎ ‎（Ⅱ）数列满足，求的前项和．‎ 法”.特征二：，数列的通项公式能够分解成等差数列和等比数列的乘积，一般用“错位相减法”.特征三：，数列的通项公式是一个分式结构，一般采用“裂项相消法”.特征四：，数列的通项公式是一个组合数和等差数列通项公式组成，一般采用“倒序相加法”.本题第二问采用裂项相消法求和。‎ 解：（Ⅰ）设的公差为，‎ 因为所以 ‎ 解得 或（舍），．‎ ‎ 故 ，． ……………6分 ‎20. (北京市西城区2012年1月高三期末考试理科)（本小题满分13分）‎ 已知数列.如果数列满足，，‎ 其中，则称为的“衍生数列”.‎ ‎（Ⅰ）若数列的“衍生数列”是，求；‎ ‎（Ⅱ）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：的“衍生数列”是；‎ ‎（Ⅲ）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，….依次将数列，，，…的第项取出，构成数列.‎ 证明：是等差数列.‎ 因此，猜想. ………………4分 ‎① 当时，，猜想成立；‎ ‎② 假设时，.‎ 故当时猜想也成立.‎ 由 ①、② 可知，对于任意正整数，有. ………………7分 设数列的“衍生数列”为，则由以上结论可知 ‎，其中.‎ 由于为偶数，所以，‎ 所以 ，其中.‎ 因此，数列即是数列. ………………9分 证法二：‎ 因为 ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎，‎ ‎ 根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. ………………9分 ‎（Ⅲ）证法一：‎ 证明：设数列,,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. ……10分 由（Ⅱ）中结论可知 ，‎ 所以，，即成等差数列，‎ 所以是等差数列. ………………13分 证法二：‎ 因为 ，‎ 所以 .‎ ‎ 由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，‎ 相加得 ‎ 即.‎ ‎20. (2012年3月北京市朝阳区高三一模文科)（本题满分13分）‎ 已知各项均为非负整数的数列（），满足，．若存在最小的正整数，使得，则可定义变换，变换将数列变为．设，．‎ ‎（Ⅰ）若数列，试写出数列；若数列，试写出数列 ‎；‎ ‎（Ⅱ）证明存在数列，经过有限次变换，可将数列变为数列；‎ 若，则 ； ； ； ． .……….………………4分 ‎ （Ⅱ）若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：．易知和是互逆变换．‎ 对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得 ‎，‎ 变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，‎ ‎，‎ 所以为整数，于是，，‎ 所以为除以后所得的余数，即．………13分 若对于正整数,表示的最大奇数因数，例如，.设． ‎ ‎（Ⅰ）求,的值；‎ ‎（Ⅱ）求，，的值； ．‎ ‎ …………6分 ‎(Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对， 有． …………8分 ‎ ‎ ‎ …………11分 于是，．‎ 所以 ‎ ‎，． …………13分 ‎ 又，满足上式，‎ ‎ 所以对，． ………14分 请说明理由．‎ ‎ ‎ 即． ‎ 所以 是首项为=1，公差为2的等差数列． ‎ 所以 ，‎ 所以 ． ……………………9分 ‎（Ⅲ）存在常数使得不等式恒成立．‎ 因为 ①‎ 所以 ‎ 所以当=1时，的最大值为 ，所以只需；‎ ‎（2）当为偶数时，，‎ 所以 ，‎ 所以当=2时，的最小值为 ，所以只需；‎ 由（1）（2）可知存在，使得不等式恒成立．‎ ‎……………………13分 ‎；‎ ‎（III）设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式．‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 当时，‎ ‎ ‎