全国高考理科数学试题及答案湖南 13页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。‎ 参考公式：（1），其中为两个事件，且，‎ ‎ （2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高。‎ ‎ （3）球的体积公式，其中为求的半径。‎ 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。‎ ‎1.若，为虚数单位，且，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 答案：D 解析：‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 正视图 侧视图 俯视图 图1‎ 因，根据复数相等的条件可知。‎ ‎2.设，，则“”是“”则（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎ 答案：A 解析：因“”，即，满足“”，反之“”，则，或，不一定有“”。‎ ‎3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 答案：B 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积。‎ ‎4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 男 女 总计 爱好 ‎40‎ ‎20‎ ‎60‎ 不爱好 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎60‎ ‎50‎ ‎110‎ 由算得 附表：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确结论是（ ）‎ A．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” ‎ 答案：C 解析：由，而，故由独立性检验的意义可知选C.‎ ‎5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为（ ）‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ 答案：C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。‎ ‎6. 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B．‎1 C． D．‎ 答案：D 解析：由定积分知识可得，故选D。‎ ‎7. 设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 解析：画出可行域，可知在点取最大值，由解得。‎ ‎8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ 答案：D 解析：由题，不妨令，则，令解得，因时，，当时，，所以当时，达到最小。即。‎ ‎ ‎ 二填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。‎ 一、选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）‎ ‎9.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 。 ‎ 答案：2‎ 解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.‎ ‎10.设,则的最小值为 。‎ 答案：9‎ 解析：由柯西不等式可知。‎ ‎11.如图2，是半圆周上的两个三等分点，直径，‎ ‎,垂足为D, 与相交与点F，则的长为 。‎ 答案：‎ 解析：由题可知，，,得,，‎ 又，所以.‎ 二、必做题（12~16题）‎ ‎12、设是等差数列的前项和，且，则 答案：25‎ 解析：由可得，所以。‎ ‎13、若执行如图3所示的框图，输入，则输出的数等于 。‎ 答案：‎ 解析：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，‎ 则。‎ ‎14、在边长为1的正三角形中，设，则。‎ 答案：‎ 解析：由题，，‎ 所以。‎ ‎15、如图4， 是以为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形内”，B表示事件“豆子落在扇形（阴影部分）内”，则 ‎（1）；（2）‎ 答案：（1）；（2）‎ 解析：（1）由几何概型概率计算公式可得；‎ ‎（2）由条件概率的计算公式可得。‎ ‎16、对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则 ‎（1） （2）‎ 答案：（1）2；（2）‎ 解析：（1）因，故；‎ ‎（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有个，……有个0的有个，……有个0的有个。故对所有2进制为位数的数，在所求式中的的和为：‎ ‎。‎ 又恰为2进制的最大7位数，所以。‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，且满足.‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．‎ 解析：（I）由正弦定理得 因为所以 ‎（II）由（I）知于是 ‎ ‎ 取最大值2．‎ 综上所述，的最大值为2，此时 ‎18. 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。‎ ‎(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；‎ ‎（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。‎ 解析：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量1件”）=。‎ ‎（II）由题意知，的可能取值为2，3.‎ ‎；‎ 故的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ 的数学期望为。‎ ‎19.（本题满分12分）如图5，在圆锥中，已知的直径的中点．‎ ‎（I）证明：‎ ‎（II）求二面角的余弦值．‎ 解：（I）连接，因为,为的中点，所以.‎ 又因为内的两条相交直线，所以而，所以。‎ ‎（II）在平面中，过作于，由（I）知，,所以又所以.‎ 在平面中，过作连接,则有，‎ 从而，所以是二面角的平面角．‎ 在 在 在 在,所以。‎ 故二面角的余弦值为。‎ ‎20. 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。‎ ‎（Ⅰ）写出的表达式 ‎（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。‎ 解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，‎ 故.‎ ‎（II）由(I)知，当时，‎ 当时，‎ 故。‎ ‎(1)当时，是关于的减函数.故当时，。‎ ‎(2) 当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。‎ A. ‎(本小题满分13分）‎ ‎ 如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。‎ ‎（Ⅰ）求，的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.‎ ‎（i）证明：；‎ ‎(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?‎ 请说明理由。‎ 解析：（I）由题意知，从而，又，解得。‎ 故，的方程分别为。‎ ‎（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.‎ 由得，‎ 设，则是上述方程的两个实根，于是。‎ 又点的坐标为，所以 故，即。‎ ‎（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为 又直线的斜率为 ，同理可得点B的坐标为.‎ 于是 由得，‎ 解得或，则点的坐标为；‎ 又直线的斜率为，同理可得点的坐标 于是 因此 由题意知，解得 或。‎ 又由点的坐标可知，，所以 故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。‎ ‎22.（本小题满分13分）‎ ‎ 已知函数() =，g ()=+。‎ ‎ （Ⅰ）求函数h ()=()-g ()的零点个数，并说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）设数列满足，，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有≤ .‎ 解析：（I）由知，，而，且，则为的一个零点，且在内有零点，因此至少有两个零点 解法1：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。又因为，则在内有零点，所以在内有且只有一个零点。记此零点为，则当时，‎ ‎；当时，；‎ 所以，‎ 当时，单调递减，而，则在内无零点；‎ 当时，单调递增，则在内至多只有一个零点；‎ 从而在内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。‎ 解法2：，记，则。‎ 当时，，因此在上单调递增，则在内至多只有一个零点。因此在内也至多只有一个零点，‎ 综上所述，有且只有两个零点。‎ ‎（II）记的正零点为，即。‎ ‎（1）当时，由，即.而，因此，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ ‎（2）当时，由（1）知，在上单调递增。则，即。从而，即，由此猜测：。下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，显然成立；‎ ‎②假设当时，有成立，则当时，由 知，，因此，当时，成立。‎ 故对任意的，成立。‎ 综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.‎