高考真题文科数学汇编数列 18页

‎2012高考文科试题解析分类汇编：数列 一、选择题 ‎1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{} 的各项都是正数，且 =16，则=‎ ‎（A） 1 （B）2 （C） 4 （D）8‎ ‎【答案】A ‎ 2.【2012高考全国文6】已知数列的前项和为，，，,则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 【答案】B ‎【命题意图】本试题主要考查了数列中由递推公式求通项公式和数列求和的综合运用。‎ ‎【解析】由可知，当时得 当时，有 ① ②‎ ‎①－②可得即，故该数列是从第二项起以为首项，以为公比的等比数列，故数列通项公式为，‎ 故当时，‎ 当时，，故选答案B ‎3.【2012高考新课标文12】数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为 ‎（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830‎ ‎【答案】D ‎【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题.‎ ‎【解析】【法1】有题设知 ‎=1，① =3 ② =5 ③ =7，=9，‎ ‎=11，=13，=15，=17，=19，，‎ ‎……‎ ‎∴②－①得=2，③+②得=8，同理可得=2，=24，=2，=40，…，‎ ‎∴，，，…，是各项均为2的常数列，，，，…是首项为8，公差为16的等差数列，‎ ‎∴{}的前60项和为=1830.‎ ‎【法2】可证明：‎ ‎ ‎ ‎4.【2012高考辽宁文4】在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=‎ ‎(A) 12 (B) 16 (C) 20 (D)24‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，故选B ‎【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力，属于容易题。‎ ‎5.【2012高考湖北文7】定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x²；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。‎ 则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④‎ ‎【答案】C ‎ ‎6.【2012高考四川文12】设函数，数列是公差不为0的等差数列，，则（ ）‎ A、0 B、‎7 C、14 D、21‎ ‎ 【答案】D.‎ ‎[解析]∵是公差不为0的等差数列，且 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎[点评]本小题考查的知识点较为综合，既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用，解决此类问题必须要敢于尝试，并需要认真观察其特点.‎ ‎7.【2102高考福建文11】数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，则S2012等于 ‎ A.1006 B‎.2012 C.503 D.0‎ ‎【答案】A．‎ 考点：数列和三角函数的周期性。‎ 难度：中。‎ 分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。‎ 解答： ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ 所以。‎ 即。‎ ‎8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是 ‎（A）a1+a3≥‎2a2 （B） （C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2‎ ‎【答案】B ‎ 【解析】当时，可知，所以A选项错误；当时，C选项错误；当时，，与D选项矛盾。因此根据均值定理可知B选项正确。‎ ‎【考点定位】本小题主要考查的是等比数列的基本概念，其中还涉及了均值不等式的知识，如果对于等比数列的基本概念（公比的符号问题）理解不清，也容易错选，当然最好选择题用排除法来做。‎ ‎9.【2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为 ‎（A）5（B）7（C）9（D）11‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。‎ ‎【考点定位】 本小题知识点考查很灵活，要根据图像识别看出变化趋势，判断变化速度可以用导数来解，当然此题若利用数学估计过于复杂，最好从感觉出发，由于目的是使平均产量最高，就需要随着的增大，变化超过平均值的加入，随着增大，变化不足平均值，故舍去。‎ 二、填空题 ‎10.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和 ‎ ‎ 【答案】15‎ ‎【解析】：‎ ‎【考点定位】本题考查等比数列的前n项和公式 ‎11.【2012高考新课标文14】等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______‎ ‎【答案】‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列n项和公式，是简单题.‎ ‎【解析】当=1时，=，=，由S3+3S2=0得，=0，∴=0与{}是等比数列矛盾，故≠1，由S3+3S2=0得，，解得=－2.‎ ‎12.【2012高考江西文13】等比数列{an}的前n项和为Sn，公比不为1。若a1=1，且对任意的都有an＋2＋an＋1-2an=0，则S5=_________________。‎ ‎ 【答案】11‎ ‎【解析】由已知可得公比q=-2，则a1=1可得S5。‎ ‎13.【2012高考上海文7】有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为，则 ‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】由正方体的棱长组成以为首项，为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，为公比的等比数列，因此， .‎ ‎【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.‎ ‎14.【2012高考上海文14】已知，各项均为正数的数列满足，，若，则的值是 ‎ ‎【答案】。‎ ‎【解析】据题，并且，得到，，，，得到，解得（负值舍去）.依次往前推得到 ‎ .‎ ‎【点评】本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解条件是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.‎ ‎15.【2012高考辽宁文14】已知等比数列｛an｝为递增数列.若a1>0,且2（a n+a n+2）=‎5a n+1 ,则数列｛an｝的公比q = _____________________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。‎ ‎【解析】‎ 因为数列为递增数列，且 ‎ 16.【2102高考北京文10】已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若，S2=a3，则a2=______，Sn=_______。‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】，所以，。‎ ‎【考点定位】 本小题主要考查等差数列的基本运算，考查通项公式和前项和公式的计算。‎ ‎17.【2012高考广东文10】若等比数列满足，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎18.【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=，n∈N﹡，数列{bn}满足an=4log2bn＋3，n∈N﹡.‎ ‎（1）求an，bn；‎ ‎（2）求数列{an·bn}的前n项和Tn.‎ ‎【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的概念，通项公式以及求和公式等基础知识，同时考查了学生的综合分析问题能力和运算求解能力。‎ ‎【解析】‎ （1） 由Sn=，得 当n=1时，；‎ 当n2时，，n∈N﹡.‎ 由an=4log2bn＋3，得，n∈N﹡.‎ ‎（2）由（1）知，n∈N﹡‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，n∈N﹡.‎ ‎19.【2012高考江苏20】（16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，‎ ‎（1）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，，且是等比数列，求和的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵，∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎∴ 。‎ ‎ ∴数列是以1 为公差的等差数列。‎ ‎（2）∵，∴。‎ ‎ ∴。（﹡）‎ 设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明 ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ 若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。‎ ‎ ‎ ‎∴综上所述，。∴，∴。‎ ‎ ‎ ‎ 又∵，∴是公比是的等比数列。‎ ‎ 若，则，于是。‎ 又由即，得。‎ ‎ ∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。‎ ‎【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。‎ ‎ （2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。‎ 从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。‎ ‎20．【2012高考四川文20】(本小题满分12分) ‎ 已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，当为何值时，数列的前项和最大？‎ ‎[解析]取n=1,得 ‎ 若a1=0,则s1=0, 当n ‎ 若a1, 当n 上述两个式子相减得：an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上，若a1 = 0, ‎ ‎ 若a1 …………………………………………7分 ‎（2）当a1>0,且 所以，{bn}单调递减的等差数列（公差为-lg2）‎ 则 b1>b2>b3>…>b6=‎ 当n≥7时，bn≤b7=‎ 故数列{lg}的前6项的和最大. …………………………12分 ‎[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.‎ ‎21.【2012高考湖南文20】（本小题满分13分）‎ 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出与an的关系式；‎ ‎（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ‎.‎ 整理得　‎ ‎.‎ 由题意，‎ 解得.‎ 故该企业每年上缴资金的值为缴时，经过年企业的剩余资金为４０００元.‎ ‎【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出与an的关系式，第二问，只要把第一问中的迭代，即可以解决.‎ ‎22.【2012高考重庆文16】（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分））‎ 已知为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，若成等比数列，求正整数的值。‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 因 成等比数列，所以 从而 ，即 ‎ 解得 或（舍去），因此 。‎ ‎23.【2012高考陕西文16】已知等比数列的公比为q=-.‎ ‎（1）若=，求数列的前n项和；‎ ‎（Ⅱ）证明：对任意，，，成等差数列。‎ ‎【答案】：（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】：：（Ⅰ）设数列 的公差为d,由题意知 解得 所以 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 因 ‎ 成等比数列，所以 从而 ，即 ‎ 解得 或（舍去），因此 。‎ ‎24.【2012高考湖北文20】（本小题满分13分）‎ 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.‎ ‎（Ⅰ）求等差数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，‎ 由题意得 解得或 ‎ 所以由等差数列通项公式可得 ‎，或.‎ 故，或. ‎ ‎（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；‎ 当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.‎ 故 ‎ 记数列的前项和为.‎ 当时，；当时，；‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎. 当时，满足此式.‎ 综上， ‎ ‎【解析】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式求解；有时需要利用等差数列的定义：（为常数）或等比数列的定义：（为常数，）来判断 该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.‎ ‎25.【2012高考天津文科18】 （本题满分13分）‎ 已知｛｝是等差数列，其前项和为，｛｝是等比数列，且==2,,-=10‎ ‎（I）求数列｛｝与｛｝的通项公式；‎ ‎（II）记=+，（n,n>2）。‎ ‎【解析】(Ⅰ)设数列的公差为，数列的公比为；‎ 则 ‎ ‎ 得：‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎ ‎ ‎ 当时，‎ ‎26.【2012高考山东文20】 (本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前5项和为105，且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.‎ ‎【答案】 (I)由已知得：‎ 解得,‎ 所以通项公式为.‎ ‎(II)由，得，‎ 即.‎ ‎∵，‎ ‎∴是公比为49的等比数列，‎ ‎∴.‎ ‎27.【2012高考全国文18】(本小题满分12分) （注意：在试题卷上作答无效）‎ 已知数列中， ，前项和。‎ ‎（Ⅰ）求，； ‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式。‎ ‎【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式与数列求和相结合的综合运用。‎ 解：（1）由与可得 ‎，‎ 故所求的值分别为。‎ ‎（2）当时，① ②‎ ‎①－②可得即 故有 而，所以的通项公式为 ‎【点评】试题出题比较直接，没有什么隐含的条件，只要充分发挥利用通项公式和前项和的关系式变形就可以得到结论。‎ ‎28.【2012高考安徽文21】（本小题满分13分）‎ 设函数=+的所有正的极小值点从小到大排成的数列为.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设的前项和为，求。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（I），‎ ‎，‎ ‎，‎ 得：当时，取极小值，‎ 得：。‎ ‎（II）由（I）得：。‎ ‎。‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 得： 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，。‎ ‎29．【2012高考上海文23】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5‎ ‎（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的 ‎（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）‎ ‎（3）设，常数，若，是的控制数列，求 ‎[解]（1）数列为：2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3；‎ ‎ 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. ……4分 ‎ （2）因为，，‎ ‎ 所以. ……6分 ‎ 因为，，‎ ‎ 所以，即. ……8分 ‎ 因此，. ……10分 ‎ （3）对，；；‎ ‎ ；.‎ ‎ 比较大小，可得. ……12分 ‎ 因为，所以，即；‎ ‎ ，即.‎ ‎ 又，‎ 从而，，，. ……15分 ‎ 因此 ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ===. ……18分 ‎【点评】本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“控制”数列，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查数列的基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．‎ ‎30．【2012高考广东文19】（本小题满分14分）‎ 设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）当时，。‎ 因为，所以，求得。‎ ‎（2）当时，，‎ ‎ 所以 ①‎ ‎ 所以 ②‎ ‎ ②①得 ，‎ ‎ 所以，即，‎ ‎ 求得，，则。‎ 所以是以3为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 所以，。‎ ‎31．【2102高考福建文17】（本小题满分12分）‎ ‎ 在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1=b1=1，b4=8，{an}的前10项和S10=55.‎ ‎（Ⅰ）求an和bn；‎ ‎（Ⅱ）现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。‎ 考点：等差数列，等比数列，古典概型。‎ 难度：易。‎ 分析：本题考查的知识点为演绎推理，等差等比数列的定义和通项公式，前项和公式和古典概型，直接应用。‎ 解答：‎ ‎（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为 ‎ 则 ‎ ‎ ‎ 得：‎ ‎（Ⅱ），各随机抽取一项写出相应的基本事件有 ‎ 共个 ‎ 符合题意有共个 ‎ 这两项的值相等的概率为 ‎32．【2012高考江西文17】（本小题满分12分）‎ 已知数列|an|的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，a6=‎8a3‎ ‎（1）求an；‎ ‎（2）求数列{nan}的前n项和Tn。‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】(1)当时，‎ 则 ‎，‎ ‎，∴c=2.∵a2=4，即，解得k=2，∴（n）1）‎ 当n=1时，‎ 综上所述 ‎(2) ，则 ‎（1）-（2）得