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- 2021-05-14 发布
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第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系
【2015年高考会这样考】
1.本讲以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力.
2.有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题.
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
【复习指导】
1.掌握平面的基本性质,在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理.
2.异面直线的判定与证明是本部分的难点,定义的理解与运用是关键.
基础梳理
1.平面的基本性质
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
(2)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.
(3)公理3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
2.直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).
②范围:.
3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.
4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
5.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
两种方法
异面直线的判定方法:
(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线.
(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
三个作用
(1)公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.
(2)公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.
(3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线.
双基自测
1.(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是( ).
A.空间中不同三点确定一个平面
B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面
C.一条直线和一个点能确定一个平面
D.梯形一定是平面图形
解析 空间中不共线的三点确定一个平面,A错;空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面,B错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C错;故D正确.
答案 D
2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( ).
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
解析 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾.
答案 C
3.(2011·浙江)下列命题中错误的是( ).
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析 对于D, 若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,甚至可能平行于平面β,其余选项均是正确的.
答案 D
4.(2011·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( ).
A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
解析
如图所示,与AB异面的直线有B1C1;CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线=24(对).
答案 B
5.两个不重合的平面可以把空间分成________部分.
答案 3或4
考向一 平面的基本性质
【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是( ).
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
[审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线.
解析
如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB交于M,连接MR交BB1于E,连接PE、RE为截面的部分外形.
同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD1于F,连接QF,FG.
∴截面为六边形PQFGRE.
答案 D
画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定.作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快的确定交线的位置.
【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是________.
解析
在④图中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P、Q、R、S
四点不共面.可证①中四边形PQRS为梯形;③中可证四边形PQRS为平行四边形;②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形,且PMQNRS为正六边形.
答案 ①②③
考向二 异面直线
【例2】►如图所示,
正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问:
(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;
(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.
[审题视点] 第(1)问,连结MN,AC,证MN∥AC,即AM与CN共面;第(2)问可采用反证法.
解
(1)不是异面直线.理由如下:
连接MN、A1C1、AC.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,
∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C,
∴A1ACC1为平行四边形,
∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,
∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.
(2)是异面直线.证明如下:
∵ABCDA1B1C1D1是正方体,
∴B、C、C1、D1不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线,
则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α,
∴D1,B、C、C1∈α,与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾.
∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.
证明两直线为异面直线的方法
(1)定义法(不易操作).
(2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.
【训练2】 在下图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).
解析 如题干图(1)中,直线GH∥MN;
图(2)中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;
图(3)中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图(4)中,G、M、N共面,但H∉面GMN,
∴GH与MN异面.所以图(2)、(4)中GH与MN异面.
答案 (2)(4)
考向三 异面直线所成的角
【例3】►(2011·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中.
(1)求AC与A1D所成角的大小;
(2)若E、F分别为AB、AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
[审题视点] (1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再计算.(2)可证A1C1与EF垂直.
解
(1)如图所示,连接AB1,B1C,由ABCDA1B1C1D1是正方体,
易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.
∵AB1=AC=B1C,
∴∠B1CA=60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
AC⊥BD,AC∥A1C1,
∵E、F分别为AB、AD的中点,
∴EF∥BD,∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
【训练3】 A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
(1)证明 假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.
(2)解
如图,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.
在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.
考向四 点共线、点共面、线共点的证明
【例4】►正方体
ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面;
(2)CE、D1F、DA三线共点.
[审题视点] (1)由EF∥CD1可得;
(2)先证CE与D1F相交于P,再证P∈AD.
证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点,
∴EF∥BA1.
又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,
∴E、C、D1、F四点共面.
(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,
∴CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,
得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
∴P∈直线DA,∴CE、D1F、DA三线共点.
要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用平面的基本性质3,即证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在此直线上.
【训练4】 如图所示,已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD上的点,且==,求证:三条直线EF、GH、AC交于一点.
证明 ∵E、H分别为边AB、AD的中点,
∴EH綉BD,而==,
∴=,且FG∥BD.
∴四边形EFGH为梯形,从而两腰EF、GH必相交于一点P.
∵P∈直线EF,EF⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.
同理,P∈平面ADC.
∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上,故EF、GH、AC三直线交于一点.
阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误
【问题诊断】
由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.
【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析.
【示例】►(2011·四川)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是
( ).
A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3
B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3
C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面
D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面
错因 受平面几何知识限制,未能全面考虑空间中的情况.
实录 甲同学:A 乙同学:C
丙同学:D.
正解 在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错;两平行线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条直
线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错.
答案 B
【试一试】 (2010·江西)
过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作( ).
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
[尝试解答] 如图,连结体对角线AC1,显然AC1与棱AB、AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的
其他体对角线,如连结BD1,则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等,
∵BB1∥AA1,BC∥AD,
∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.
答案 D
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