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  • 2021-05-14 发布

高考一轮复习空间点直线平面之间的位置关系

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第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎【2015年高考会这样考】‎ ‎1.本讲以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力.‎ ‎2.有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题.‎ ‎3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.‎ ‎【复习指导】‎ ‎1.掌握平面的基本性质,在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理.‎ ‎2.异面直线的判定与证明是本部分的难点,定义的理解与运用是关键.‎ 基础梳理 ‎1.平面的基本性质 ‎(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.‎ ‎(2)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.‎ ‎(3)公理3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.‎ 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.‎ 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.‎ 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.‎ ‎2.直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角).‎ ‎②范围:.‎ ‎3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.‎ ‎4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.‎ ‎5.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.‎ ‎6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.‎ 两种方法 异面直线的判定方法:‎ ‎(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线.‎ ‎(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.‎ 三个作用 ‎(1)公理1的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.‎ ‎(2)公理2的作用:公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.‎ ‎(3)公理3的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线.‎ 双基自测 ‎1.(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是(  ).‎ A.空间中不同三点确定一个平面 B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C.一条直线和一个点能确定一个平面 D.梯形一定是平面图形 解析 空间中不共线的三点确定一个平面,A错;空间中两两相交不交于一点的三条直线确定一个平面,B错;经过直线和直线外一点确定一个平面,C错;故D正确.‎ 答案 D ‎2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b(  ).‎ A.一定是异面直线 B.一定是相交直线 C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线 解析 由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a、b为异面直线相矛盾. ‎ 答案 C ‎3.(2011·浙江)下列命题中错误的是(  ).‎ A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析 对于D, 若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,甚至可能平行于平面β,其余选项均是正确的.‎ 答案 D ‎4.(2011·武汉月考)如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(  ).‎ A.12对 B.24对 C.36对 D.48对 解析 ‎ 如图所示,与AB异面的直线有B1C1;CC1,A1D1,DD1四条,因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱,排除两棱的重复计算,共有异面直线=24(对).‎ 答案 B ‎5.两个不重合的平面可以把空间分成________部分.‎ 答案 3或4‎ ‎  ‎ 考向一 平面的基本性质 ‎【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点,那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是(  ).‎ A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 ‎[审题视点] 过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线.‎ 解析 ‎ 如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB交于M,连接MR交BB1于E,连接PE、RE为截面的部分外形.‎ 同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD1于F,连接QF,FG.‎ ‎∴截面为六边形PQFGRE.‎ 答案 D ‎ 画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定.作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快的确定交线的位置.‎ ‎【训练1】 下列如图所示是正方体和正四面体,P、Q、R、S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是________.‎ 解析 ‎ 在④图中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P、Q、R、S 四点不共面.可证①中四边形PQRS为梯形;③中可证四边形PQRS为平行四边形;②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形,且PMQNRS为正六边形.‎ 答案 ①②③‎ 考向二 异面直线 ‎【例2】►如图所示,‎ 正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问:‎ ‎(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;‎ ‎(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.‎ ‎[审题视点] 第(1)问,连结MN,AC,证MN∥AC,即AM与CN共面;第(2)问可采用反证法.‎ 解 ‎ ‎(1)不是异面直线.理由如下:‎ 连接MN、A1C1、AC.‎ ‎∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,‎ ‎∴MN∥A1C1.又∵A1A綉C1C,‎ ‎∴A1ACC1为平行四边形,‎ ‎∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,‎ ‎∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.‎ ‎(2)是异面直线.证明如下:‎ ‎∵ABCDA1B1C1D1是正方体,‎ ‎∴B、C、C1、D1不共面.‎ 假设D1B与CC1不是异面直线,‎ 则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α,‎ ‎∴D1,B、C、C1∈α,与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾.‎ ‎∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.‎ ‎ 证明两直线为异面直线的方法 ‎(1)定义法(不易操作).‎ ‎(2)反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面.‎ ‎【训练2】 在下图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).‎ 解析 如题干图(1)中,直线GH∥MN;‎ 图(2)中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;‎ 图(3)中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;‎ 图(4)中,G、M、N共面,但H∉面GMN,‎ ‎∴GH与MN异面.所以图(2)、(4)中GH与MN异面.‎ 答案 (2)(4)‎ 考向三 异面直线所成的角 ‎【例3】►(2011·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中.‎ ‎(1)求AC与A1D所成角的大小;‎ ‎(2)若E、F分别为AB、AD的中点,求A‎1C1与EF所成角的大小.‎ ‎[审题视点] (1)平移A1D到B‎1C,找出AC与A1D所成的角,再计算.(2)可证A‎1C1与EF垂直.‎ 解 ‎ ‎(1)如图所示,连接AB1,B‎1C,由ABCDA1B‎1C1D1是正方体,‎ 易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.‎ ‎∵AB1=AC=B1C,‎ ‎∴∠B1CA=60°.‎ 即A1D与AC所成的角为60°.‎ ‎(2)如图所示,连接AC、BD,在正方体ABCDA1B‎1C1D1中,‎ AC⊥BD,AC∥A‎1C1,‎ ‎∵E、F分别为AB、AD的中点,‎ ‎∴EF∥BD,∴EF⊥AC.‎ ‎∴EF⊥A1C1.‎ 即A1C1与EF所成的角为90°.‎ ‎ 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.‎ ‎【训练3】 A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.‎ ‎(1)求证:直线EF与BD是异面直线;‎ ‎(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.‎ ‎(1)证明 假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.‎ ‎(2)解 ‎ 如图,取CD的中点G,连接EG、FG,则EG∥BD,所以相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.‎ 在Rt△EGF中,由EG=FG=AC,求得∠FEG=45°,即异面直线EF与BD所成的角为45°.‎ 考向四 点共线、点共面、线共点的证明 ‎【例4】►正方体 ABCDA1B‎1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的中点.求证:‎ ‎(1)E、C、D1、F四点共面;‎ ‎(2)CE、D‎1F、DA三线共点.‎ ‎[审题视点] (1)由EF∥CD1可得;‎ ‎(2)先证CE与D‎1F相交于P,再证P∈AD.‎ 证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B.‎ ‎∵E、F分别是AB、AA1的中点,‎ ‎∴EF∥BA1.‎ 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1,‎ ‎∴E、C、D1、F四点共面.‎ ‎(2)∵EF∥CD1,EF<CD1,‎ ‎∴CE与D1F必相交,设交点为P,‎ 则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,‎ 得P∈平面ABCD.‎ 同理P∈平面ADD1A1.‎ 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,‎ ‎∴P∈直线DA,∴CE、D1F、DA三线共点.‎ ‎ 要证明点共线或线共点的问题,关键是转化为证明点在直线上,也就是利用平面的基本性质3,即证点在两个平面的交线上.或者选择其中两点确定一直线,然后证明另一点也在此直线上.‎ ‎【训练4】 如图所示,已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD上的点,且==,求证:三条直线EF、GH、AC交于一点.‎ 证明 ∵E、H分别为边AB、AD的中点,‎ ‎∴EH綉BD,而==,‎ ‎∴=,且FG∥BD.‎ ‎∴四边形EFGH为梯形,从而两腰EF、GH必相交于一点P.‎ ‎∵P∈直线EF,EF⊂平面ABC,∴P∈平面ABC.‎ 同理,P∈平面ADC.‎ ‎∴P在平面ABC和平面ADC的交线AC上,故EF、GH、AC三直线交于一点. ‎ 阅卷报告10——点、直线、平面位置关系考虑不全致误 ‎【问题诊断】 ‎ 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.‎ ‎【防范措施】 借助正方体、三棱锥、三棱柱模型来分析.‎ ‎【示例】►(2011·四川)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ‎(  ).‎ A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3‎ B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3‎ C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面 D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面 错因 受平面几何知识限制,未能全面考虑空间中的情况.‎ 实录 甲同学:A 乙同学:C 丙同学:D.‎ 正解 在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错;两平行线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条直 线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错.‎ 答案 B ‎【试一试】 (2010·江西)‎ 过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作(  ).‎ A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎[尝试解答] 如图,连结体对角线AC1,显然AC1与棱AB、AD,AA1所成的角都相等,所成角的正切值都为.联想正方体的 其他体对角线,如连结BD1,则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等,‎ ‎∵BB1∥AA1,BC∥AD,‎ ‎∴体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,同理,体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等,过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意,故这样的直线l可以作4条.‎ 答案 D