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- 2021-05-14 发布
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2007年高考数学试题汇编——立体几何(二)
二、填空题
19.(全国Ⅰ?理?16题)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 。
【解答】一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,已知正三棱柱的底面边长为AB=2,则该三角形的斜边EF上的中线DG=,∴ 斜边EF的长为2。
20.(全国Ⅱ?理?15题)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm2。
【解答】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径,现正四棱柱底面边长为1cm,设正四棱柱的高为h,∴ 2R=2=,解得h=,那么该棱柱的表面积为2+4cm2.
21.(安徽?理?15题)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号)。
①矩形;②不是矩形的平行四边形;③
有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体。
【解答】在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是①矩形如ACC1A1;. ③有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体,如A-A1BD;④每个面都是等边三角形的四面体,如ACB1D1;⑤每个面都是直角三角形
的四面体,如AA1DC,所以填①③④⑤。
22.(江苏?理?14题)正三棱锥高为2,侧棱与底面所成角为,则点到侧面的距离是 .
【解答】设P在 底面ABC上的射影为O,则PO=2,且O是三角形ABC的中心,设底面边长为a,则 设侧棱为b则 斜高 。由面积法求 到侧面的距离
23.(辽宁?理?15题)若一个底面边长为,棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上,则此球的体积为 .
【解答】根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径,由得R=,球体积为
24.(上海?理?10题)平面内两直线有三种位置关系:相交,平行与重合。已知两个相交平面与两直线,又知在内的射影为,在内的射影为。试写出与满足的条件,使之一定能成为是异面直线的充分条件 平行,相交 。
【解答】作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“,并且与相交”或“,并且与相交”。
25.(四川?理?14题)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为,底面三角形的边长为1,则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 .
【解答】,点到平面的距离为,∴,.
26.(天津?理?12题)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 .
【解答】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长,即,由
27.(浙江?理?16题)已知点O在二面角的棱上,点P在内,且。若对于内异于O的任意一点Q,都有,则二面角的大小是________。
【解答】设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只
有作于H, 则面,故为
三、解答题
27.(全国Ⅰ?理?19题)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=。
(Ⅰ)证明:SA⊥BC;
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小;
【解答】解法一:
(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得底面.
因为,所以,
又,故为等腰直角三角形,,
由三垂线定理,得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,依题设,
故,由,,,得
,.
的面积.
连结,得的面积
设到平面的距离为,由于,得
,
解得.
设与平面所成角为,则.
所以,直线与平面所成的我为.
解法二:
(Ⅰ)作,垂足为,连结,由侧面底面,得
平面.
因为,所以.
又,为等腰直角三角形,.如图,以为坐标原点,为轴正向,建立直角坐标系,
,,,,,
,,所以.
(Ⅱ)取中点,,
连结,取中点,连结,.
,,.
,,与平面内两条相交直线,垂直.
所以平面,与的夹角记为,与平面所成的角记为,则与互余.
,.
,,
所以,直线与平面所成的角为.