解析几何高考名题选萃1 18页

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  • 2021-05-14 发布

解析几何高考名题选萃1

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解析几何·高考名题选萃 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 ‎[ ]‎ ‎2.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 ‎[ ]‎ ‎3.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,‎ ‎[ ]‎ ‎[ ]‎ ‎5.若右图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ‎[ ]‎ A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2‎ C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2‎ ‎6.下列四个命题中的真命题是 ‎[ ]‎ A.经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 D.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示 ‎7.已知集合M={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4} ,那么集合M∩N为 ‎[ ]‎ A.x=3,y=-1‎ B.(3,-1)‎ C.{3,-1}‎ D.{(3,-1)}‎ ‎8.如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,那么系数a=‎ ‎[ ]‎ ‎9.设a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线sinA·x+ay+c=0与bx-sinB·y+sinC=0的位置关系是 ‎[ ]‎ A.平行 B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直 ‎10.如果方程x2+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 ‎[ ]‎ A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)‎ 足∠F1DF2=90°,则△F1DF2的面积是 ‎[ ]‎ ‎12.在直角坐标系xOy中,曲线C的方程是y=cosx,现平移坐标 的方程是 ‎[ ]‎ ‎ ‎ ‎13.双曲线3x2-y2=3的渐近线方程是 ‎[ ]‎ ‎[ ]‎ 椭圆方程是 ‎[ ]‎ 的方程是 ‎[ ]‎ 所表示的曲线是 ‎[ ]‎ A.实轴在y轴上的双曲线 B.实轴在x轴上的双曲线 C.长轴在y轴上的椭圆 D.长轴在x轴上的椭圆 的中点在y轴上,那么|PF1|是|PF2|的 ‎[ ]‎ A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍 ‎[ ]‎ 在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是 ‎[ ]‎ A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④‎ ‎(x-2)2+y2=3的位置关系是 ‎[ ]‎ A.直线过圆心 B.直线与圆相交,但不过圆心 C.直线与圆相切 D.直线与圆没有公共点 ‎22.若椭圆经过原点,且焦点为F1(1,0),F2(3,0),则其离心率为 ‎[ ]‎ ‎[ ]‎ ‎[ ]‎ ‎25.下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中,与方程xy=1所表示的曲线完全一致的是 ‎[ ]‎ 二.填空题 F1PF2为钝角时,点P横坐标的取值范围________.‎ PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为________.‎ ‎28.已知O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且 ‎29.抛物线y2=8-4x的准线方程是________,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是________.‎ ‎31.直线l过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直.若l被抛物线截得的线段长为4,则a=________.‎ ‎32.到点A(-1,0)和直线x=3距离相等的点的轨迹方程是________.‎ ‎33.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p=________.‎ ‎34.平移坐标轴将抛物线4x2-8x+y+5=0化为标准方程x′2=ay′(a≠0),则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是________.‎ ‎35.设圆x2+y2-4x-5=0的弦AB的中点为P(3,1),则直线AB的方程是________.‎ 曲线上,则圆心到双曲线中心的距离是________.‎ F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是________.‎ ‎38.若平移坐标系,将曲线方程y2+4x-4y-4=0化为标准方程,‎ ‎_______.‎ ‎40.极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是________.‎ 线的距离是_________.‎ ‎43.极坐标方程5ρ2cos2θ+ρ2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.‎ 三、解答题 ‎45.已知直线l过坐标原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上,若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.‎ ‎46.设椭圆的中心在原点O,一个焦点为F(0,1),长轴和短轴的长度之比为t.‎ ‎①求椭圆的方程;‎ ‎②设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q,‎ 说明轨迹是什么图形.‎ ‎47.如右图,给出定点A(a,0)(a>0)和直线l:x=-1.B是直线l上的动点,∠BOA的角平分线交AB于C.求点C的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.‎ ‎①用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S.‎ l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点,分别为A1、B1和A2、B2.‎ ‎①求l1的斜率k1的取值范围;‎ ‎50.已知A(-1,2)为抛物线C∶y=2x2上的点,直线l1过点A,且与抛物线C相切,直线l2∶x=a(a≠1)交抛物线C于点B,交直线l1于点D.‎ ‎①求直线l1的方程;‎ ‎②设△ABD的面积为S1,求|BD|及S1的值;‎ ‎③设由抛物线C、直线l1、l2所围成的图形的面积为S2.求证:S1:S2的值为与a无关的常数.‎ ‎0)为圆心、1为半径的圆相切,双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对称.设直线l过点A,斜率为k.‎ ‎①求双曲线S的方程;‎ ‎②当k=1时,在双曲线S的上支上求点B,使其与直线l的距离 ‎③当0≤k<1时,若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l ‎52.设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.在满足①、②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.‎ ‎53.如右图,抛物线方程为y2=p(x+1)(p>0),直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.‎ ‎①求证:直线与抛物线总有两个交点.‎ ‎②设直线与抛物线的交点为Q、R,OQ⊥OR,求p关于m的函数f(m)的表达式;‎ ‎③在②的条件下,若m变化,使得原点O到直线QR的距离不大于 ‎54.如右图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=17,|AN|=3,且|BN|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.‎ ‎55.设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴,y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.‎ ‎①写出曲线C1的方程;‎ 标是(0,‎3a),求线段AB的中点M的轨迹C的方程.‎ ‎②过点D(2,0)的直线l交上述轨迹C于P、Q两点,E点坐标是(1,0),若△EPQ的面积为4,求直线l的倾斜角α的值.‎ ‎ ‎ 参考答案提示 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.C 2.C 3.C 4.C 5.D 6.B ‎7.D 8.B 9.C 10.D 11.A 12.B ‎13.C 14.A 15.C 16.A 17.C 18.A ‎19.C 20.D 21.C 22.C 23.B 24.B ‎25.D ‎20.本小题考查直线方程,以及直线与直线,直线与圆,直线与椭圆,双曲线的位置关系.由于P满足|MP|=|NP|,所以点P在线段MN的 所以曲线①与l平行,故点P不能在曲线①上.曲线③为椭圆,将l方程 选项只有选项D成立‎ ‎21.本小题考查直线的斜率和倾斜角以及直线与圆的位置关系.直 ‎24.本小题考查极坐标和圆的知识.解法一:将曲线的极坐标方程 ‎25.本小题考查参数方程化普通方程.A与B中x>0,C中-1≤x≤1,与xy=1中x的范围x∈R且x≠0不符,故选D.‎ 二、填空题 ‎31.4 32.y2=-8x+8 33.2‎ ‎34.(1,-1) 35.x+y-4=0 36.16/3‎ ‎38.(2,2).提示:本小题考查坐标轴的平移.将y2+4x-4y-4=0配方,得(y-2)2=-4(x-2).令y′=y-2,x′=x-2,得y′2=-4x′.故h=2,k=2,新原点的坐标为(2,2).‎ 曲线的几何性质.5ρ2cos2θ+ρ2-24=0,变形为5ρ2(cos2θ 三、解答题 ‎44.本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力.‎ 如图,以AB的垂直平分线为y轴,直线AB为x轴,建立直角坐标系xOy,则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D,且以A,B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.‎ 为双曲线的半焦距,h是梯形的高.‎ 由定比分点坐标公式得 将③式代入②式,整理得 ‎46.①椭圆的方程为t2(t2-1)x2+(t2-1)y2=t2;‎ ‎②点P的轨迹方程为 ‎47.本小题主要考查曲线与方程,直线和圆锥曲线等基础知识,以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.‎ 依题意,记B(-1,b)(b∈R),则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y),则有0≤x<a,由OC平分∠AOB,知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得 依题设,点C在直线AB上,故有 将②式代入①式得 整理得 y2[(1-a)x2-2ax+(1+a)y2]=0,‎ 若y≠0,则(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0<x<a);‎ 若y=0,则b=0,∠AOB=π,点C的坐标为(0,0),满足上式.‎ 综上得点C的轨迹方程为 ‎(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x<a).‎ ‎(i)当a=1时,轨迹方程化为 y2=x(0≤x<1).③‎ 此时,方程③表示抛物线弧段;‎ ‎(ii)当a≠1时,轨迹方程为 所以,当0<a<1时,方程④表示椭圆弧段;‎ 当a>1时,方程④表示双曲线一支的弧段.‎ ‎48.略 ‎50.①l1 的方程为4x+y+2=0;②S1=|a+1|3;‎ ‎③∵当0≤k<1时,双曲线S的上支在直线l的上方,‎ ‎∴点B在直线l的上方.‎ 线l′在直线l的上方.双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的 由方程 y2-x2=2及 y=kx+m,消去y,得 ‎(k2-1)x2+2mkx+m2-2=0.‎ ‎∵ k2≠1‎ ‎∵ 0≤k<1,‎ ‎52.设圆的圆心为P(a,b),半径为r,则P到x轴、y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90°,知圆 又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2=a2+1.‎ 从而有2b2-a2=1.‎ 所以 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab ‎≥a2+4b2-2(a2+b2)‎ ‎=2b2-a2=1.‎ 当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d2=1,从而d取得最小值.‎ 于是,所求圆的方程是 ‎(x-1)2+(y-1)2=2,或(x+1)2+(y+1)2=2‎ 由②知m>-2且m≠0,故m∈〔-1,0)∪(0,1〕.‎ 当m∈[-1,0)时,任取m1、m2,0>m1>m2≥-1,‎ ‎<0,又由m1-m2>0,知f(m1)<f(m2),因而f(m)为减函数,可见,当m∈〔-1,0)时,P∈(0,1〕.同样可证,当m∈〔1,0)时,‎ ‎54.如图,建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.‎ 依题意知:曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为C的端点.‎ 设曲线段C的方程为 y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0),‎ 其中xA、xB分别为A、B的横坐标,p=|MN|.‎ ‎∴ p=4,xA=1.‎ 所以曲线段C的方程为y2=8x(1≤x≤4,y>0)‎ ‎55.①曲线C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s.‎ ‎②在曲线C上任取一点B1(x1,y1),设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点,则有 ‎∴ x1=t-x2,y1=s-y2.‎ 代入曲线C的方程,得x2和y2满足方程:‎ s-y2=(t-x2)3-(t-x2),‎ 即 y2=(x2-t)3-(x2-t)+s.‎ 可知点B2(x2,y2)在曲线C1上.‎ 反过来,同样可以证明,曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上.因此,曲线C与C1关于点A对称.‎ ‎③因为曲线C与C1有且仅有一个公共点,所以方程组 有且仅有一组解.‎ 消去y,整理得 3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0.‎ 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根,所以t≠0并且其根的判别式 Δ=9t4-12t(t3-t-s)=0,‎ ‎56.①轨迹C的方程为y2=4(x-1)(如图);‎ ‎②设直线l的方程为y=k(x-2),因l与抛物线有两个交点,故k≠‎ ‎∴ △EPQ的面积为