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- 2021-05-14 发布
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高考数学题难题巧解思路与方法
一、定义法求解
所谓定义法,就是直接用数学定义解题。选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查,凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题,用圆锥曲线的第一和第二定义解题,是一种重要的解题策略。
【例1】(2008年,山东卷,理10)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( )
(A) (B)
(C) (D)
【巧解】由题意椭圆的半焦距为,双曲线上的点满足 ∴点的轨迹是双曲线,其中,,∴,故双曲线方程为,∴选(A)
巧练一:(2008年,陕西卷)双曲线的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
巧练二:(2008年,辽宁卷)已知点P是抛物线上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
(A) (B)3 (C) (D)
【例2】(2009年高考福建卷,理13)过抛物线的焦点F作倾斜角为450的直线交抛物线于A、B两点,线段AB的长为8,则 .
【巧解】依题意直线的方程为,由消去得:
,设,,∴,根据抛物线的定义。
,,∴,∴,
故本题应填2。
二、代入法求解
若动点依赖于另一动点而运动,而点的轨迹方程已知(也可能易于求得)且可建立关系式,,于是将这个点的坐标表达式代入已知(或求得)曲线的方程,化简后即得点的轨迹方程,这种方法称为代入法,又称转移法或相关点法。
【例1】(2009年高考广东卷)已知曲线:与直线:交于两点和,且,记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D.设点是L上的任一点,且点P与点A和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点,试求线段PQ的中点M的轨迹方程;
【巧解】联立与得,则中点,
设线段 的中点坐标为,则,
即,又点在曲线上,
∴化简可得,又点是上的任一点,
且不与点和点重合,则,即,
∴中点的轨迹方程为().
【例2】(2008年,江西卷)设 在直线上,过点作双曲线的两条切线、,切点为、,定点M。 过点A作直线的垂线,垂足为N,试求的重心G所在的曲线方程。
【巧解】设,由已知得到,且,,(1)垂线的方程为:,
由得垂足,设重心
所以 解得
由 可得
即为重心所在曲线方程
巧练一:(2005年,江西卷)如图,设抛物线的焦点为F,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.,求△APB的重心G的轨迹方程.
巧练二:(2006年,全国I卷)在平面直角坐标系中,有一个以和为焦点、离心率为的椭圆,设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P
处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量,求点M的轨迹方程
三、直接求解法
直接从题设的条件出发,利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论,从而确定选择支的方法叫直接法。从近几年全国各地的高考数学试题来看,绝大大部分选择题的解答用的是此法。但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题,一边计算,一边对选项进行分析、验证,或在选项中取值带入题设计算,验证、筛选而迅速确定答案。
【例1】(2009年高考全国II卷)已知双曲线的右焦点为F,过F且斜率为的直线交C于A、B两点。若,则C的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
【巧解】设,,,由,得
∴,设过点斜率为的直线方程为,
由消去得:,
∴ , 将 代入得化简得
,∴,
化简得:,∴,,即。
故本题选(A)
【例2】(2008年,四川卷)设定义在上的函数满足,若
,则( )
(A)13 (B)2 (C) (D)
【巧解】∵,∴
∴函数为周期函数,且,∴
故选(C)
巧练一:(2008年,湖北卷)若上是减函数,则b的取值范围是( )
A. B. C. D.
巧练二:(2008年,湖南卷)长方体ABCD—A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是( )
A. B. C. D.
四、向量坐标法
向量坐标法是一种重要的数学思想方法,通过坐标化,把长度之间的关系转化成坐标之间的关系,使问题易于解决,并从一定程度上揭示了问题的数学本质。在解题实践中若能做到多用、巧用和活用,则可源源不断地开发出自己的解题智慧,必能收到事半功倍的效果。
【例1】(2008年,广东卷)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F. 若=a,=b,则=( )
A
x
y
O
B
D
C
E
A.a +b B.a +b C.a +b D.a +b
【巧解】如图所示,选取边长为2的正方形
则,,,,,
∴直线的方程为,联立得
∴,设,则
∴解之得,,∴,故本题选B
【例2】已知点为内一点,且0,则、、的面积之比等于 ( )
A.9:4:1 B.1:4:9 C.3:2:1 D.1:2:3
A
B
C
x
y
O
【巧解】不妨设为等腰三角形,
,建立如图所示的直角坐标系,则点
,,设,
∵0,即
∴解之得,,即,又直线的方程为,则点到直线的距离,∵,因此,,,故选C
巧练一:(2008年,湖南卷)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,且( )
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
巧练二:设是内部一点,且,则与面积之比是 .
五、查字典法
查字典是大家比较熟悉的,我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题,避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误,给人以“神来之法”
的味道。利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”(从最高位到个位),查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况;查前“2”位时只考虑前“2”位中第“2”个数应满足条件的情况;依次逐步讨论,但解题中既要注意数字不能重复,又要有充分的理论准备,如奇、偶问题,3的倍数和5的倍数的特征,0的特性等等。以免考虑不全而出错。
【例1】(2007年,四川卷)用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有( )
(A)288个 (B)240个 (C)144个 (D)126个
【巧解】本题只需查首位,可分3种情况,① 个位为0,即 型,首位是2,3,4,5中的任一个,此时个数为; ②个位为2,即, 此种情况考虑到万位上不为0,则万位上只能排3,4,5,所以个数为;③个位为4, 型,此种特点考虑到万位上不为0,则万位上只能排2,3,5,所以个数为;故共有个。故选(B)
【例2】(2004年全国II卷)在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于43521的数共有( )
A.56个 B.57个 C.58个 D.60个
【巧解】(1)查首位:只考虑首位大于2小于4的数,仅有1种情况:即型,此特点只需其它数进行全排列即可。有种,
(2)查前2位:只考虑前“2”位中比3既大又小的数,有4种情况:
,,,型,而每种情况均有种满足条件,故共有种。
(3)查前3位:只考虑前“3”位中既比1大又小于5的数,有4种情况:
,,,型,而每种情况均有种满足条件,故共有种。
(3)查前4位:只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数,此种情况只有
23154和43512两种情况满足条件。故共有个,故选C
巧练一:用数字可以组成没有重复数字,并且不大于4310的四位偶数共有( )
A.110种 B.109种 C.108种 D.107种
巧练二:(2007年,四川卷)用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比20000大的五位偶数共有( )
(A)48个 (B)36个 (C)24个 (D)18个
六、挡板模型法
挡板模型法是在解决排列组合应用问题中,对一些不易理解且复杂的排列组合问题,当元素相同时,可以通过设计一个挡板模型巧妙解决,否则,如果分类讨论,往往费时费力,同时也难以解决问题。
【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1,2,3的三个箱中,要求每个箱子放球的个数不少于其编号,则不同的放球方法有 ( )
A.8种 B.10种 C.12种 D.16种
【巧解】先在2号盒子里放1个小球,在3号盒子里放2个小球,余下的6个小球排成一排为:,只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板,如:,每一种插法对应着一种放法,故共有不同的放法为种. 故选B
【例2】两个实数集,,若从A到B的映射使得B中每个元素都有原象,且,则这样的映射共有( )个
A. B. C. D.
【巧解】不妨设两个集合中的数都是从小到大排列,将集合的50个数视为50个相同的小球排成一排为:,然后在50个小球的49个空位中插入24块木板,每一种插法对应着一种满足条件对应方法,故共有不同映射共有种. 故选 B
巧练一:两个实数集合A={a1, a2, a3,…, a15}与B={b1, b2, b3,…, b10},若从A到B的是映射f使B中的每一个元素都有原象,且f(a1)≤f(a2) ≤…≤f(a10)1)
C.(x<-1) D. (x>1)
巧练二:(2004年,重庆卷)不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
九、极限化法
极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.
【例1】正三棱锥中,在棱上,在棱上,使,
设为异面直线与所成的角,为异面直线与所成的角,则的值是 ( )
A. B. C. D.
【巧解】当时,,且,从而。因为,排除选择支故选D(或时的情况,同样可排除),所以选D
【例2】若,当>1时,的大小关系是 ( )
A. B. C. D.
【巧解】当时,,,,故,所以选B
巧练一:若的大小关系 ( )
A. B. C. D.与x的取值有关
巧练二:对于任意的锐角,下列不等关系式中正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)
十、整体化法
整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对4个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法.
【例1】已知是锐角,那么下列各值中,可能取到的值是( )
A. B. C. D.
【巧解】∵,又是锐角,∴
,∴,即,故选B
【例2】(2002年,全国卷)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上一年增长7.3%.”如果“十·五”期间(2001-2005年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十·五”末,我国国内生产总值约为( )
20080523
(A)115000亿元 (B)120000亿元
(C) 127000亿元 (D)135000亿元
【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001年国内生产总值达到亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元,即后三位都是0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节.
把亿元近似地视为亿元,又把近似地视为,这样一来,就有
20080523
O
x
y
2
巧练一: 如图所示为三角函数,(的图象的一部分,则此函数的周期可能是( )
A. B.
C. D.
巧练二:(全国卷)如图,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF,EF与面AC的距离为2,则该多面体的体积为( )
(A) (B)5
(C)6 (D)
十一、参数法
在解题过程中,适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量,使得原式中仅含有这些新变量,以此作为媒介,在进行分析和综合,然后对新变量求出结果,从而解决问题的方法叫参数法。
【例1】(2008年,安徽卷)设椭圆过点,且左焦点为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交于两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上。
【巧解】(1)由题意: ,解得,所求椭圆方程为
(2) 由得:设点Q、A、B的坐标分别为。由题设知均不为零,记,则且,又A,P,B,Q四点共线,从而,
于是 , , ,
从而 ,① ,②
又点A、B在椭圆C上,即
③ ④
①②并结合③,④得,即点总在定直线上。
【例2】(2004年,辽宁卷)设椭圆方程为,过点M(0,1)的直线l交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足,点N的坐标为,当l绕点M旋转时,求动点P的轨迹方程;
【巧解】直线l过点M(0,1)设其斜率为k,则l的方程为
记、由题设可得点A、B的坐标、是方程组
②
①
的解.
将①代入②并化简得,,所以
于是
设点P的坐标为则
消去参数k得 ③
当k不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为
巧练一:(2008年,全国I卷)直线通过点,则有 ( )
A. B. C. D.
巧练二: 如图,已知直线l与抛物线相切于点P(2,1),且与x轴交于点A,O为坐标原点,定点B的坐标为(2,0).
(I)若动点M满足,求点M的轨迹C;
(II)若过点B的直线l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹C交于不同的两点E、F(E在B、F之间),试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.
十二、交轨法
如果所求轨迹是两条动曲线(包括直线)的交点所得,其一般方法是恰当地引进一个参数,写出两条动曲线的方程,消去参数,即得所求的轨迹方程,所以交轨法是参数法的一种特殊情况。
【例1】已知椭圆C: ,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线经过椭圆的焦点F交椭圆C交于A、B两点,分别过A、B作椭圆的两条切线,A、B为切点,求两条切线的交点的轨迹方程。
【巧解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为,依题意解之得
,所求椭圆方程为.
(Ⅱ)由(I)知,设,,,对椭圆
求导:,即,则过A点的切线方程为 整理得 ① 同理过B点的切线方程为 ②,又在两切线、上,∴
,因此,,两点在均在直线上,
又∵在直线上,∴,即为交点的轨迹方程
【例2】过抛物线C:上两点M,N的直线交y轴于点P(0,b).
(Ⅰ)若∠MON是钝角(O为坐标原点),求实数b的取值范围;
(Ⅱ)若b=2,曲线C在点M,N处的切线的交点为Q.证明:点Q必在一条定直线上
运动.
【巧解】(Ⅰ)设点M,N坐标分别为由题意可设直线方程为y=kx+b,
(Ⅱ)当b=2时,由(Ⅰ)知
∵函数y=x2的导数y′=2x,
抛物线在两点处切线的斜率分别为∴在点M,N处的切线方程分别为
巧练一:已知定点A(1,0)和定直线上的两个动点E、F,满足,动点P满足(其中O为坐标原点).
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设直线经过点与轨迹C交于A、B两点,分别过A、B作轨迹C的两条切线,A、B为切点,求两条切线的交点的轨迹方程。
巧练二:如图,在以点O为圆心,|AB|=4为直径的半圆ADB中,OD⊥AB,P是半圆弧上一点,∠POB=30°. 曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹,且曲线C过点P.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.
分别过E、F.作轨迹C的两条切线,E、F.为切点,
求两条切线的交点的轨迹方程。
十三、几何法
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律,然后得出题目结论的方法叫做几何法。
【例1】(2008年,浙江卷)已知、是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足 的最大值是( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
O
x
y
C
【巧解】不妨设以、所在直线为轴,轴,且,,
由已知得,
整理得
即,所以向量的坐标是以为圆心,
为半径的一个圆且过原点,故的最大值即为圆的直径为,故本题选(C)
【例2】(2008年,江苏卷)若AB=2,AC=的最大值 .
【巧解】建立如图平面直角坐标系,设,,,由
B(2,0)
A
x
y
即,∴,
化简得
配方得,所以点轨迹是以为圆心,
为半径的一个圆(除去与轴的两个交点),所以当点纵坐标绝对值为,即时,有最大值为,所以答案为
巧练一:已知,,其中,则的最小值为 .
巧练二:已知实数、满足,则的最大值等于 .
十四、弦中点轨迹法
有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点轨迹;过定点的弦重点轨迹。“点差法”解决有关弦中点问题较方便,要点是巧代斜率。
【例1】(2009年高考海南、宁夏卷)已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为,直线与抛物线C相交于A,B两点,若AB的中点为(2,2),则直线的方程为 .
【巧解】由知抛物线C的方程为,设,,代入抛物线方程则有:,,两式相减有,
即,又,∴,即。
故:,即,∴本题应填
【例2】椭圆与直线交于、两点,若过原点与线段中点的直线的倾斜角为,则的值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
【巧解】设的中点为,,,则
,又,两式相减,得
,
即,∴
∴,又,∴,故选(B)
巧练一:若椭圆与直线交于、两点,过原点与线段中点的直线的斜率为,则的值为 .
巧练二:若椭圆的弦被点平分,则此弦所在直线的斜率是为 .
十五、比较法
现实世界的同类量之间,有相等关系,也有不等关系。两个可以比较大小的量和,若,,,则它们分别表示,,,我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法;当两个量均为正值时,有时我们又可以根据,或来判断,,,这个方法叫做商式比较法。这两种方法在数列与函数、不等式交汇问题中应用广泛。
比较法之一(作差法0步骤:作差——变形——定号——结论
(1)作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。
(2)变形:常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“积”。
(3)定号:就是确定是大于,还是等于,还是小于,最后下结论。
概括为“三步,一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键。
注意:若两个正数作差比较有困难,可以把式子灵活变形,通过作商或将它们的平方差来比较大小。
【例1】已知数列中,,且点在直线上
(1)求的通项公式;
(2)若函数,求函数的最小值.
【巧解】(1)点在直线上,即且
数列是以为首项,为公差的等差数列
(2),
是单调递增的,故的最小值是
【例2】(Ⅰ)已知函数是数列的前n项和,点(n,Sn)(n∈N*),在曲线上,求an.
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若,且Tn是数列{cn}的前n项和.试问Tn是否存在最大值?若存在,请求出Tn的最大值,若不存在,请说明理由.
【巧解】(Ⅰ)点(n,Sn)在曲线上,所以
当n=1时,a1= S1=3,当n≥2时,an= Sn- Sn-1=9-6n,
(Ⅱ)
利用错位相减法,
存在最大值
巧练一:(2005年,全国卷)若,则 ( )
A.a