四中高考数学总复习三角恒等变换基础知识讲解 11页

三角恒等变换 ‎【考纲要求】‎ ‎1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.‎ ‎2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.‎ ‎3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.‎ ‎4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.‎ ‎【知识网络】‎ 简单的三角 恒等变换 三角恒等变换 两角和与差的 三角函数公式 倍角公式 ‎【考点梳理】‎ 考点一、两角和、差的正、余弦公式 要点诠释：‎ ‎1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式,对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式③中 ‎2．正向用公式,，能把和差角的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角 的弦函数。公式正向用是用单角的正切值表示和差角的正切值化简。‎ 考点二、二倍角公式 ‎1. 在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式：‎ ‎ ；‎ ‎；‎ ‎。‎ 要点诠释：‎ ‎1．在公式中，角α没有限制，但公式中，只有当时才成立；‎ ‎2. 余弦的二倍角公式有三种：＝＝；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。‎ ‎3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，，的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。‎ 考点三、二倍角公式的推论 降幂公式：；‎ ‎ ；‎ ‎ .‎ 万能公式：；‎ ‎ .‎ 半角公式：；‎ ‎ ；‎ ‎ .‎ 其中根号的符号由所在的象限决定.‎ 要点诠释：‎ ‎(1)半角公式中正负号的选取由所在的象限确定；‎ ‎(2)半角都是相对于某个角来说的，如可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。‎ ‎(3)正切半角公式成立的条件是α≠2kπ+π(k∈Z)‎ 正切还有另外两个半角公式：，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。‎ 考点四、三角形内角定理的变形 由，知可得出：‎ ‎，.‎ 而，有：，.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一：正用公式 例1.已知:，求的值.‎ ‎【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.‎ ‎【解析】由已知可求得.‎ 当在第一象限而在第二象限时，‎ ‎.‎ 当在第一象限而在第三象限时，‎ ‎.‎ 当在第二象限而在第二象限时，‎ ‎.‎ 当在第二象限而在第三象限时，‎ ‎.‎ ‎【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知，，则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【变式2】已知，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【变式3】已知和是方程的两个根，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由韦达定理，得， ， ‎ ‎ ∴ .‎ ‎【高清课堂：三角恒等变换397881 例1】‎ ‎【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.‎ ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(5)‎ Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 ‎ Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.‎ ‎【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下 ‎ Ⅱ.证明: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例2．已知，,，求的值.‎ ‎【思路点拨】注意到，将，看做一个整体来运用公式.‎ ‎【解析】,，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了的变换 ，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有,,, 等.‎ ‎2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知，是第二象限角，且，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由且是第二象限角，得， ‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎【变式2】函数的最大值为（ ）‎ A． B．　 C． D． ‎ ‎【答案】C； ‎ ‎【解析】∵，‎ ‎.‎ 所以其最大值为2，故选C.‎ ‎【变式3】已知 ‎【答案】‎ ‎【解析】角的关系式：（和差与倍半的综合关系）‎ ‎ ∵，∴‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎∴＝‎ ‎【变式4】已知，，，，求的值。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵ ， ∴，‎ ‎ ∵ ， ∴。‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 类型二：逆用公式 例3.求值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）； ‎ ‎（4）.‎ ‎【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）原式=；‎ ‎（2）原式； ‎ ‎（3）原式；‎ ‎（4）原式 ‎.‎ ‎【点评】‎ ‎①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。‎ ‎②辅助角公式：，其中角在公式变形过程中自然确定. ‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】化简.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式2】已知，那么的值为（ ）‎ A． B．　 C． D． ‎ ‎【答案】A； ‎ ‎【解析】∵，‎ ‎∴.‎ 例4. 求值：‎ ‎（1）；（2）‎ ‎【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）原式=；‎ ‎（2）原式=‎ ‎ ‎ ‎【点评】此种类型题比较特殊，特殊在：①余弦相乘；②后一个角是前一个角的2倍；③‎ 最大角的2倍与最小角的和与差是p。三个条件缺一不可。另外需要注意2的个数。应看到掌握了这些方法后可解决一类问题，若通过恰当的转化，转化成具有这种特征的结构，则可考虑采用这个方法。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】求值：‎ ‎（1）；（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）原式=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎（2）‎ 类型三：变用公式 例5．求值：‎ ‎（1）；（2）‎ ‎【思路点拨】通过正切公式，注意到与之间的联系.‎ ‎【解析】‎ ‎（1），‎ 原式.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点评】本题是利用了两角和正切公式的变形，找出与三者间的关系，进行转化，即所谓“变用公式”解决问题；变用公式在一些解三角问题中起着重要作用，需灵活掌握.但它是以公式原型为基础，根据题目需要而采取的办法，如：，.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】求值：= ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【变式2】在中，,，试判断的形状.‎ ‎【答案】等腰三角形 ‎【解析】由已知得,,‎ 即，，‎ ‎，，‎ 又,故,‎ 故是顶角为的等腰三角形.‎ 类型四：三角函数式的化简与求值 例6. 化简：‎ ‎（1）；(2）‎ ‎【思路点拨】（1）中函数有正弦有正切，一般将切化弦处理；（2）中有平方，而且角度之间也有关系，，所以要用二倍角公式降次.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）原式 ‎=‎ ‎（2）原式=‎ ‎【点评】‎ ‎①三角变换所涉及的公式实际上正是研究了各种组合的角（如和差角，倍半角等）的三角函数与每一单角的三角函数关系。因而具体运用时，注意对问题所涉及的角度及角度关系进行观察。‎ ‎②三角变换中一般采用“降次”、“化弦”、“通分”的方法；在三角变换中经常用到降幂公式：，.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】化简：‎ ‎（1）；（2）； （3）‎ ‎【答案】‎ ‎（1）原式=；‎ ‎（2）原式=；‎ ‎（3）原式=‎ ‎=.‎ ‎【变式2】若，且，则___________.‎ ‎【答案】由，，得，‎ ‎.‎ 例7．已知，，且，求的值.‎ ‎【思路点拨】题设中给出是角的正切值，故考虑正切值的计算，同时通过估算的区间求出正确的值.‎ ‎【解析】，‎ 而，故，‎ 又，，故，‎ 从而，‎ 而，，而，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎【点评】对给值求角问题，一般是通过求三角函数值实现的，先求出某一种三角函数值，再考虑角的范围，然后得出满足条件的角．本例就是给值求角，关键是估算的区间，给值求角一定要将所求角限制在某个单值区间内，这是关键点也是难点．在本例中使用了配角技巧，，，这些都要予以注意.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】已知，为锐角，则的值是（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【变式2】已知，，求。‎ ‎【解析】∵，‎ ‎，‎ 解得, ，‎ ‎∴.‎