高考立体几何题型与方法全归纳文科精典配套练习 8页

‎2019高考立体几何题型与方法全归纳文科 配套练习 ‎1、四棱锥中,⊥底面,,, .‎ ‎(Ⅰ)求证:⊥平面；‎ ‎(Ⅱ)若侧棱上的点满足,求三棱锥的体积。‎ ‎【答案】‎ ‎(Ⅰ)证明:因为BC=CD，即为等腰三角形，又,故.‎ 因为底面，所以,从而与平面内两条相交直线都垂直，‎ 故⊥平面。‎ ‎(Ⅱ)解：.‎ 由底面知. ‎ 由得三棱锥的高为,‎ 故：‎ ‎2、如图，四棱锥中，四边形为矩形，为等腰三角形，，平面 平面，且，分别为和的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，连结．‎ ‎∵四边形为矩形且是的中点．∴也是的中点． ‎ 又是的中点， ‎ ‎∵平面，平面，所以平面； ‎ ‎（Ⅱ）证明：∵平面 平面，，平面 平面，‎ 所以平面 平面，又平面，所以 ‎ 又，是相交直线，所以面 ‎ 又平面，平面平面； ‎ ‎（Ⅲ）取中点为．连结,为等腰直角三角形，所以，‎ 因为面面且面面，‎ 所以，面，‎ 即为四棱锥的高． ‎ 由得．又．‎ ‎∴四棱锥的体积 ‎ 考点：空间中线面的位置关系、空间几何体的体积.‎ ‎3、如图，在四棱锥中，，， ，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明：∥；‎ ‎（Ⅱ）若求四棱锥的体积 ‎【答案】（Ⅰ）设，连接EF，‎ ‎ ‎ ‎∵∴ ‎ ‎∵平分为中点，为中点，‎ ‎∴为的中位线. ‎ ‎∵∥，‎ ‎∴∥. ‎ ‎(Ⅱ)底面四边形的面积记为;‎ ‎． ‎ ‎． ‎ 考点：1.线面平行的证明；2.空间几何体的体积计算.‎ ‎4、如图，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 若平面平面,且为的中点，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】 ‎ ‎（1），为中点，　　　　　　　　　　 ‎ 连，在中，，，‎ 为等边三角形，为的中点，‎ ‎, 　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎,平面,平面 , ‎ 平面. 　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎（2）连接,作于. 　　　　　　　　 ‎ ‎,平面,平面平面ABCD,平面平面ABCD， ‎ ‎ , ,‎ ‎ ‎ ‎. 　　　　　 ‎ ‎, ‎ 又,.　 ‎ 在菱形中，,‎ ‎, 　 ‎ ‎.　 ‎ ‎．　 ‎ ‎ 5、如图，是矩形中边上的点，为边的中点，，现将沿边折至位置，且平面平面. ‎ ‎⑴ 求证：平面平面；‎ ‎⑵ 求四棱锥的体积. ‎ ‎【答案】(1) 证明：由题可知， ‎ ‎ ‎ ‎(2) ，则 ‎. ‎ ‎6、已知四棱锥中，是正方形，E是的中点，‎ ‎(1)若，求 PC与面AC所成的角 ‎(2) 求证：平面 ‎(3) 求证：平面PBC⊥平面PCD ‎【答案】平面，是直线在平面上的射影，是直线和平面所成的角。又，四边形是正方形，，；直线和平面所成的角为 ‎（2）连接AC交BD与O,连接EO, ∵E、O分别为PA、AC的中点 ‎∴EO∥PC ∵PC平面EBD,EO平面EBD ∴PC∥平面EBD ‎（3）∵PD^平面ABCD, BC平面ABCD，∴PD^BC，‎ ‎∵ABCD为正方形 ∴ BC^CD，‎ ‎∵PD∩CD=D, PD，CD平面PCD ‎∴BC^平面PCD 又∵ BC平面PBC ‎∴平面PBC^平面PCD ‎7、在边长为的正方形中，分别为的中点，分别为的中点，现沿折叠，使三点重合，重合后的点记为，构成一个三棱锥．‎ ‎（1）请判断与平面的位置关系，并给出证明；‎ ‎（2）证明平面；‎ ‎（3）求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）平行平面 ‎ 证明：由题意可知点在折叠前后都分别是的中点（折叠后两点重合）‎ 所以平行 因为，所以平行平面.‎ ‎（2）证明：由题意可知的关系在折叠前后都没有改变.‎ 因为在折叠前，由于折叠后，点，所以 ‎ 因为，所以平面.‎ ‎（3） ‎ ‎ .‎ ‎8、在如图所示的几何体中，四边形是正方形，⊥平面，∥，、、分别为、、的中点，且.‎ ‎(1)求证：平面⊥平面；‎ ‎(2)求三棱锥与四棱锥的体积之比．‎ ‎【答案】(1)证明：∵平面，∥，‎ ‎∴平面，‎ 又平面，∴，‎ ‎∵为正方形，∴DC.‎ ‎∵，∴平面.‎ 在中，因为分别为、的中点，‎ ‎∴∥，∴平面.‎ 又平面，∴平面平面.‎ ‎(2)不妨设，∵为正方形，∴，‎ 又∵平面，‎ 所以＝＝.‎ 由于平面，且∥，‎ 所以即为点到平面的距离，‎ 三棱锥＝××2＝.‎ 所以.‎ ‎9、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，‎ ‎(1)求四棱锥S-ABCD的体积;(2)求证：(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值。‎ ‎【答案】（1）解：‎ ‎ ‎ ‎（2）证明：‎ 又 ‎ ‎ ‎（3）解：连结AC,则就是SC与底面ABCD所成的角。‎ 在三角形SCA中，SA=1,AC=, ‎ ‎10、如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD ‎（Ⅱ）在中，，所以 ‎ 而DC平面ABC，，所以平面ABC ‎ 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE 由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以 ‎ 所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，‎ ‎ 所以直线AD与平面ABE所成角是 ‎ 在中， ，‎ 所以