高考数学试题分类汇编专题六数列 22页

专题六 数列 ‎1.（15北京理科）设是等差数列. 下列结论中正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C 考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法 ‎2.（15北京理科）已知数列满足：，，且．‎ 记集合．‎ ‎（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；‎ ‎（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；‎ ‎（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．‎ ‎【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8‎ ‎【解析】‎ ‎①试题分析：（Ⅰ）由，可知则；（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当 时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.第二步集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，用数学归纳法证明对任意，是3的倍数；第三步由于中的元素都不超过36，中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，和除以9的余数一样，分中有3的倍数和中没有3的倍数两种情况，研究集合M中的元素个数，最后得出结论集合的元素个数的最大值为8.‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知可知：‎ ‎（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.‎ ‎（Ⅲ）由于中的元素都不超过36，由，易得，类似可得，其次中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数,由定义可知，和除以9的余数一样，‎ 考点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.‎ ‎3.（15北京文科）已知等差数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？‎ ‎【答案】（1）；（2）与数列的第63项相等.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将转化成和d，解方程得到和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项数.‎ 试题解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d.‎ 因为，所以.‎ 又因为，所以，故.‎ 所以 .‎ ‎（Ⅱ）设等比数列的公比为.‎ 因为，，‎ 所以，.‎ 所以.‎ 由，得.‎ 所以与数列的第63项相等.‎ 考点：等差数列、等比数列的通项公式.‎ ‎4.（15年广东理科）在等差数列中，若，则= ‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】因为是等差数列，所以，即，，故应填入．‎ ‎【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．‎ ‎5.（15年广东理科）数列满足 , .‎ ‎ (1) 求的值；‎ ‎ (2) 求数列前项和；‎ ‎ (3) 令，，证明：数列的前项和 满足 ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析．‎ ‎（3）依题由知，，‎ ‎【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前项和、不等式放缩等知识，属于中高档题．‎ ‎6.（15年广东文科）若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．‎ 考点：等比中项．‎ ‎7.(15年广东文科) 设数列的前项和为，．已知，，，且当时，．‎ 求的值；‎ 证明：为等比数列；‎ 求数列的通项公式．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎ 考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.‎ ‎8.（15年安徽理科）设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，证明.‎ ‎ ‎ ‎9.（15年安徽文科）已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 。‎ ‎【答案】27‎ 考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前n项和.‎ ‎10.（15年安徽文科）已知数列是递增的等比数列，且 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和。‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎＝.[学优高考网]‎ 考点：1.等比数列的性质；2.裂项相消法求和.‎ ‎11.（15年福建理科）若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由韦达定理得，，则，当 适当排序后成等比数列时，必为等比中项，故，．当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，，解得，；当是等差中项时，，解得，，综上所述，，所以，选D．‎ 考点：等差中项和等比中项．‎ ‎12.（15年福建文科）若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于________．‎ ‎【答案】9‎ 考点：等差中项和等比中项．‎ ‎13.（15年福建文科）等差数列中，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得，进而求的通项公式；（Ⅱ）求数列前n项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题，故可采取分组求和法求其前10项和．‎ 试题解析：（I）设等差数列的公差为．‎ 由已知得，‎ 解得．‎ 所以．‎ 考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．‎ ‎14.（15年新课标2理科）等比数列｛an｝满足a1=3， =21，则 ( )‎ ‎（A）21 （B）42 （C）63 （D）84‎ ‎【答案】B ‎15.（15年新课标2理科）设是数列的前n项和，且，，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以 ‎．‎ ‎16.（15年新课标2文科）设是等差数列的前项和,若,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题解析：,.故选A.‎ 考点：等差数列 ‎17.（15年新课标2文科）已知等比数列满足,,则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C.‎ 考点：等比数列.‎ ‎18.（15年陕西理科）中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．‎ 考点：等差中项．‎ ‎19.（15年陕西文科）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________‎ ‎【答案】5‎ 考点：等差数列的性质.‎ ‎20.（15年陕西文科）设 ‎(I)求；‎ ‎(II)证明：在内有且仅有一个零点（记为），且.‎ ‎【答案】(I) ；(II)证明略，详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由题设，所以，此式等价于数列的前项和，由错位相减法求得；‎ ‎ (II)因为，，所以在内至少存在一个零点，又，所以在内单调递增，因此，在内有且只有一个零点，由于，所以，由此可得 故，继而得.‎ 试题解析：(I)由题设，‎ 所以 ①‎ 由 ②‎ ‎ ①②得 ‎ ，‎ 所以 ‎ ‎ (II)因为 ‎，‎ 所以在内至少存在一个零点，‎ 又 所以在内单调递增，‎ 因此，在内有且只有一个零点，‎ 由于，‎ 所以 由此可得 故 所以 考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.‎ ‎21.（15年天津理科）已知数列满足，且 成等差数列.‎ ‎(I)求q的值和的通项公式；‎ ‎(II)设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(I) ; (II) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由得 先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.‎ 试题解析：(I) 由已知，有，即，‎ 所以，又因为，故，由，得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的通项公式为 考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前项和公式.3.错位相减法.‎ ‎22.（15年天津文科）已知是各项均为正数的等比数列,是等差数列,且,.‎ ‎（I）求和的通项公式；‎ ‎（II）设,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（I）,；（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）列出关于q与d的方程组,通过解方程组求出q,d,即可确定通项；（II）用错位相减法求和.‎ 试题解析：（I）设的公比为q,的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得 解得 ,所以的通项公式为, 的通项公式为.‎ ‎（II）由（I）有 ,设的前n项和为 ,则 ‎ ‎ 两式相减得 所以 .‎ 考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.‎ ‎23.（15年天津文科）已知函数 ‎（I）求的单调性；‎ ‎（II）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证：对于任意的正实数,都有;‎ ‎（III）若方程有两个正实数根且,求证：.‎ ‎【答案】（I） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是；（II）见试题解析；（III）见试题解析.‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（I）由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增；当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.‎ ‎（II）设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则.‎ 由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.‎ 考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.‎ ‎24.(15年浙江理科) ‎ ‎25.（15年湖南理科）设为等比数列的前项和，若，且成等差数列，则 .‎ ‎【答案】.‎ 考点：等差数列的通项公式及其前项和.‎ ‎26.（15年山东理科）设数列的前项和为，已知 ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.‎ 解：（Ⅰ）由可得，‎ 而，则 ‎（Ⅱ）由及可得 ‎ .‎ ‎27.（15年江苏）数列满足，且（），则数列的前10项和为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得：‎ 所以 考点：数列通项，裂项求和 ‎28.（15年江苏）设是各项为正数且公差为d的等差数列 ‎ （1）证明：依次成等比数列；‎ ‎ （2）是否存在，使得依次成等比数列，并说明理由；[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ （3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在 ‎（2）令，则，，，分别为，，，（，，）．‎ 假设存在，，使得，，，依次构成等比数列，‎ 则，且．‎ 令，则，且（，），‎ 化简得（），且．将代入（）式，‎ ‎，则．‎ 显然不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，‎ 因此不存在，，使得，，，依次构成等比数列．‎ ‎（3）假设存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列，‎ 则，且．‎ 分别在两个等式的两边同除以及，并令（，），‎ 则，且．‎ 将上述两个等式两边取对数，得，‎ 且．‎ 化简得，‎ 且．‎ 再将这两式相除，化简得（）．‎ 令，‎ 则．‎ 令，‎ 则．‎ 令，则．‎ 令，则．‎ 由，，‎ 知，，，在和上均单调．‎ 故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立．‎ 所以不存在，及正整数，，使得，，，依次构成等比数列．‎ 考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程