高考全国二卷理科数学试卷 4页

‎2018年普通高等学校招生全国统一考试（II卷）‎ 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知集合，则中元素的个数为 ‎ A．9 B．8 C．5 D．4‎ ‎3．函数的图像大致为 ‎ A B C D ‎4．已知向量、满足，，则 A．4 B．3 C．2 D．0‎ ‎5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎6．在中，，，，则 A． B． C． D．‎ ‎7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在 空白框中应填入 A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D．‎ ‎10．若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 A． B．0 C．2 D．50‎ ‎12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． ‎ B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎14．若满足约束条件 则的最大值为__________．‎ ‎15．已知，，则__________．‎ ‎16． 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 记为等差数列的前项和，已知，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求，并求的最小值．‎ ‎18．（12分）‎ 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．‎ ‎（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；‎ ‎（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎19．（12分）‎ 设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．‎ ‎20．（12分）‎ 如图，在三棱锥中，，，为的中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若点在棱上，且二面角为，‎ 求与平面所成角的正弦值．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；‎ ‎（2）若在只有一个零点，求．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为 ‎（为参数）．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎