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  • 2021-05-14 发布

山东高考文科数学试题及答案

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‎2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)‎ 文科数学 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)若复数z满足为虚数单位),则为 ‎ (A)3+5i (B)3-5i (C)-3+5i   (D)-3-5i ‎(2)已知全集,集合,,则为 ‎ (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4}‎ ‎(3)函数的定义域为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎(4)在某次测量中得到的A样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同的是 ‎ (A)众数   (B)平均数   (C)中位数   (D)标准差 ‎(5)设命题p:函数的最小正周期为;命题q:函数的图象关于直线对称.则下列判断正确的是 ‎ (A)p为真   (B)为假    (C)为假   (D)为真 ‎(6)设变量满足约束条件则目标函数的取值范围是 ‎ (A)   (B)   (C)   (D)‎ ‎(7)执行右面的程序框图,如果输入=4,那么输出的n的值为 ‎ (A)2   (B)3   (C)4   (D)5‎ ‎(8)函数的最大值与最小值之和为 ‎ (A)   (B)0   (C)-1   (D)‎ ‎(9)圆与圆的位置关系为 ‎ (A)内切  (B)相交  (C)外切  (D)相离 ‎(10)函数的图象大致为 ‎(11)已知双曲线:的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2,则抛物线的方程为 ‎ (A)  (B)   (C)  (D)[来源:Z_xx_k.Com]‎ ‎(12)设函数,.若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 ‎ (A)    (B)‎ ‎(C)    (D)‎ 第Ⅱ卷(共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.‎ ‎(13)如图,正方体的棱长为1,E为线段上的一点,则三棱锥的体积为_____.‎ ‎(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是[20.5,26.5],样本数据的分组为,,,,,.已知样本中平均气温低于‎22.5℃‎的城市个数为11,则样本中平均气温不低于‎25.5℃‎的城市个数为____.‎ ‎(15)若函数在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数在上是增函数,则a=____.‎ ‎(16)如图,在平面直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为____.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 在△ABC中,内角所对的边分别为,已知.‎ ‎(Ⅰ)求证:成等比数列;‎ ‎(Ⅱ)若,求△的面积S.‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.‎ ‎(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率;‎ ‎(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.‎ ‎(19) (本小题满分12分)‎ 如图,几何体是四棱锥,△为正三角形,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)若∠,M为线段AE的中点,‎ 求证:∥平面.‎ ‎(20) (本小题满分12分)‎ 已知等差数列的前5项和为105,且.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.‎ ‎(21) (本小题满分13分)‎ 如图,椭圆的离心率为,直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的标准方程;‎ ‎(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时的值。‎ ‎(22) (本小题满分13分)‎ 已知函数为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线在点 处的切线与x轴平行.‎ ‎(Ⅰ)求k的值;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)设,其中为的导函数.证明:对任意.[来源:学科网ZXXK]‎ 参考答案:‎ 一、选择题:‎ ‎(1)A (2)C (3)B (4)D (5)C (6)A (7)B (8)A (9)B (10)D (11)D (12)B ‎(12)解:设,则方程与同解,故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样,必须且只须或,因为,故必有由此得.不妨设,则.所以,比较系数得,故.,由此知,故答案为B.‎ 二、填空题 ‎(13) 以△为底面,则易知三棱锥的高为1,故.[来源:Zxxk.Com]‎ ‎(14)9 最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22,总城市数为11÷0.22=50,最右面矩形面积为0.18×1=0.18,50×0.18=9.‎ ‎(15) 当时,有,此时,此时为减函数,不合题意.若,则,故,检验知符合题意.‎ ‎(16)‎ 三、解答题 ‎(17)(I)由已知得:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 再由正弦定理可得:,‎ 所以成等比数列.‎ ‎(II)若,则,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴△的面积.‎ ‎(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2,红1红3,红1蓝1,红1蓝2,红2红3,红2蓝1,红2蓝2,红3蓝1,红3蓝2,蓝1蓝2‎ ‎.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况,故所求的概率为.‎ ‎(II)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张,除上面的10种情况外,多出5种情况:红1绿0,红2绿0,红3绿0,蓝1绿0,蓝2绿0,即共有15种情况,其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况,所以概率为.‎ ‎(19)(I)设中点为O,连接OC,OE,则由知,,‎ 又已知,所以平面OCE.‎ 所以,即OE是BD的垂直平分线,‎ 所以.‎ ‎(II)取AB中点N,连接,‎ ‎∵M是AE的中点,∴∥,‎ ‎∵△是等边三角形,∴.‎ 由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即,‎ 所以ND∥BC,‎ 所以平面MND∥平面BEC,故DM∥平面BEC.‎ ‎(20)(I)由已知得:‎ 解得,‎ 所以通项公式为.‎ ‎(II)由,得,‎ 即.‎ ‎∵,‎ ‎∴是公比为49的等比数列,‎ ‎∴.‎ ‎(21)(I)……①‎ 矩形ABCD面积为8,即……②‎ 由①②解得:,‎ ‎∴椭圆M的标准方程是.‎ ‎(II),‎ 设,则,‎ 由得.‎ ‎.‎ 当过点时,,当过点时,.‎ ‎①当时,有,[来源:学科网]‎ ‎,‎ 其中,由此知当,即时,取得最大值.‎ ‎②由对称性,可知若,则当时,取得最大值.‎ ‎③当时,,,‎ 由此知,当时,取得最大值.‎ 综上可知,当和0时,取得最大值.‎ ‎(22)(I),‎ 由已知,,∴.‎ ‎(II)由(I)知,.‎ 设,则,即在上是减函数,‎ 由知,当时,从而,‎ 当时,从而.‎ 综上可知,的单调递增区间是,单调递减区间是.‎ ‎(III)由(II)可知,当时,≤0<1+,故只需证明在时成立.‎ 当时,>1,且,∴.‎ 设,,则,‎ 当时,,当时,,‎ 所以当时,取得最大值.‎ 所以.‎ 综上,对任意,.‎