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- 2021-05-14 发布
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2011年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)
数学（理工农医类）
本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。
1.i为虚数单位，则
(A) -1 (B) -i (C) 1 （D) i
解析：选B。 ，故
2. 已知，则
(A) (B) (C) (D)
解析：选D
，，
故 ，即为
3.已知函数，若，则x的取值范围为
(A)
(B)
(C)
(D)
解析：选A.，令得：，于是，解之即得A。
4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是抛物线焦点的正三角形个数记为n，则
(A) (B) (C) (D)
解析：选C.当抛物线上的两点关于x轴对称时，显然可能和焦点组成正三角形，这样的三角形有2个，当抛物线的一点为原点时，取原点与焦点的中垂线与抛物线相交得到两点，因，故此时不能得到正三角形，于是一共有2个满足条件的正三角形。
5.已知随机变量服从正态分布，且，则
(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.6
解析：选B。由服从正态分布，得，故
6.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则
(A) (B) 2 (C) (D)
解析：选C。，代入，得：，又，故
，于是，故
7.如图，用K、三类不同的原件连接成一个系统，当K正常工作且至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
(A)0.960 (B) 0.864 (C) 0.720 (D) 0.576
解析：选B。 分两种情况：①K正常且中一个正常，②全部正常。
故
8.已知向量，若x，y满足不等式，则z的取值范围为：
(A) (B) (C) (D)
解析：选A。由得：，即，易知所表示的区域如图所示：故易得在上
分别取最小值-3和最大值3。
9.若实数a，b满足，则称a与b互补，记，那么是a与b互补的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解析：选C。，故至少有一个为0，不妨设，由，于是，同理可证：，故互补；反之若互补，由，不妨设则，即。综上。是a与b互补的充要条件。
10.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(太贝克/年)与时间t(单位：年)满足函数关系：
，其中M0为t=0时铯137的含量，已知t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/年)，则M（60）=
(A) 5太贝克 (B) 75ln2太贝克 (C) 150ln2太贝克 (D) 150太贝克
解析：选A。，因为t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2，所以，故。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.
11.的展开式中，含的项的系数为 17 .（结果用数值表示）
解析：的通项为：，的指数为，令，故的项的系数为
12.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为.（结果用最简分数表示）
解析：。
13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升.
解析：设九节竹子的容积分别为：，由题意：，，解得：，，于是
14.如图，直角坐标系xOy所在的平面为，直角坐标系（其中轴与y轴重合）所在的平面，
（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影P的坐标为（Ⅱ）已知平面内的曲线C/的方程是，则曲线C/在平面内的射影C的方程是
解析：设平面内的点在平面内的射影为，则，故在平面内的射影P的坐标为；另：由得，即
15.给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 21 种.，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 43 种。（结果用数值表示）
解析：由图：设黑色正方形互不相邻的着色方案共有种，则，于是这个数列满足，所以。至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分10分）
设的内角A、B、C所对的边分别是，已知，
（Ⅰ）求的周长
（Ⅱ）求的值。
解析：（Ⅰ），
故的周长为。
（Ⅱ），
，故A为锐角，
17. （本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改变整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0,，当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当时，车流速度v是车流密度x的一次函数。
（Ⅰ）当，求函数的表达式；
（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）
解析：（Ⅰ）由题意：当时，=60，当时，设。再由已知得：解得：
故函数的表达式为
（Ⅱ）由题意及（Ⅰ）可得：
当时，为增函数，故当时，其最大值为；
当时，，
当且仅当时，等号成立。
所以，当时，在区间上取得最大值。
综上，，当时，在区间上取得最大值，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时。
17. （本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱的各棱长是4，E是BC的中点，动点F在侧棱上，且不与点C重合
（Ⅰ）当CF=1时，求证：;
（Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为，求的最小值。
解析：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则有已知可得,,,,,
于是，，则，故
（Ⅱ）设,平面AEF的一个法向量为，则由（Ⅰ）得：
，,,于是由,可得,即，取
又由直三棱柱的性质可取侧面的一个法向量为，于是又由为锐角可得：
，，所以。
由，得，即
故当时，即点F与点重合时，取得最小值
17. （本小题满分13分）
已知数列的前n项和为，且满足：
（Ⅰ）求数列的通项公式
（Ⅱ）若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论。
解析：（Ⅰ）由已知可得，两式相减可得，即，又，
所以当r=0时，数列为a,0,0……,0，……；
当时，由已知，所以,
于是由，可得，所以成等比数列，
当时，。
综上，数列的通项公式为：
（Ⅱ）对于任意的，且，是否成等差数列，证明如下：
当r=0时，由（Ⅰ），知，
故对于任意的，且，7成等差数列；
当时，，。
若存在，使得成等差数列，则，
，即，
由（Ⅰ），知的公比，
于是对于任意的，且，，从而，
，即成等差数列。
综上，对于任意的，且，成等差数列。
17. （本小题满分14分）
平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的m的点的轨迹，加上两点所成的曲线C可以是圆、椭圆、或双曲线。
（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为。设是的两个焦点。试问：在上是否存在点N,使得的面积。若存在，求的值，若不存在，请说明理由。
解析：（Ⅰ）设动点为M，其坐标为，当时，由条件可得：，即，
又的坐标满足，
故依题意：曲线C的方程为
当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；
当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；
当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；
当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，曲线的方程为，
当时，的两个焦点分别为
对于给定的，
上存在点，使得的充要条件是
由①的，由②得，，
当，即或时，
存在点N使得，；
当，即或时，
由，
可得
令，，
则由可得，
从而，于是由
可得：，即
综上可得：当时，在上，存在点N,使得的面积，且
当时，在上，存在点N,使得的面积，且
当时，在上，不存在满足条件的点N。
17. （本小题满分14分）
（Ⅰ）已知函数求函数的最大值；
（Ⅱ）设均为正数，证明：
（1）若，则
（2）若，则。
解析：（Ⅰ）的定义域为，令
，解得
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数；
故函数在x=1处取得最大值
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当，有，即，
，从而有，得。
求和得：
，，即
（2）①先证：。
令，则，于是
由（1）得，即
，。
②再证
记,令，则，
于是由（1）得，即
，
综合①②，（2）得证。
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