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- 2021-05-14 发布
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计数原理、概率、随机变量及其分布
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.袋中有大小相同的10个球,分别标有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个号码,在有放回抽取的条件下依次取出两个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X所有可能值的个数是( )
A.10 B.17
C.18 D.19
2.将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有( )
A.81 B.64
C.12 D.14
3.在(x-y)10的展开式中,系数最小的项是( )
A.第4项
B.第5项
C.第6项
D.第7项
4.生产某种产品出现次品的概率为2%,生产这种产品4件,至多一件次品的概率为( )
A.(1-98%)4
B.(98%)4+(98%)3·2%
C.(98%)4
D.(98%)4+C(98%)3·2%
5.如图D10-1所示,墙上挂有边长为a的正方形木板,它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心,半径为的圆弧.某人向此板投镖,假设每次都能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则它击中阴影部分的概率是( )
图D10-1
A.1- B.
C.1- D.与a的值有关联
6.在区间[0,π]上随机取一个数x,则事件“sinx+cosx≤1”发生的概率为( )
A. B.
C. D.
7.直线x=m,y=x将圆面x2+y2=4分成若干块,现用5种颜色给这若干块涂色,每块只涂一种颜色,且任意两块不同色,共有120种涂法,则m的取值范围是( )
A.(-,)
B.(-2,2)
C.(-2,-)∪(,2)
D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
8.设a为函数y=sinx+cosx(x∈R)的最大值,则二项式6的展开式中含x2项的系数是( )
A.192
B.182
C.-192
D.-182
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置)
9.学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后1个节目已确定外,4个音乐节目要安排在2,5,7,10的位置上,3个舞蹈节目要安排在3,6,9的位置,2个曲艺节目要安排在4,8的位置,则不同安排的种数是________.
10.若随机变量X~N(10,σ2),若X在(5,10)上的概率等于a,a∈(0,0.5),则X在(-∞,15)的概率等于________.
11.甲、乙两人从1,2,3,…,15中依次任取一个数(不放回),已知甲取到的数字是5的倍数,则甲取的数大于乙取的数的概率是________.
12.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于________.
13.甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.
14.正三角形ABC的内切圆为圆O,则△ABC内的一点落在圆O外部的概率为________.
三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(12分)某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”.甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7;在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响.
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率;
(2)求这三人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数).
16.(13分)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会,共邀请50名一线教师参加,使用不同版本教材的教师人数如下表所示.
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
(1)从这50名教师中随机选出2名,求2人所使用版本相同的概率;
(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言,设使用人教A版的教师人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
17.(13分)从甲、乙两名运动员的若干次训练成绩中随机抽取6次,分别为:
甲:7.7,7.8,8.1,8.6,9.3,9.5;
乙:7.6,8.0,8.2,8.5,9.2,9.5.
(1)根据如图D10-2所示的茎叶图,对甲、乙运动员的成绩作比较,写出两个统计结论;
(2)从甲、乙运动员六次成绩中各随机抽取1次成绩,求甲、乙运动员的成绩至少有一个高于8.5分的概率.
(3)经过对甲、乙运动员若干次成绩进行统计,发现甲运动员成绩均匀分布在[7.5,9.5]之间,乙运动员成绩均匀分布在[7.0,10]之间,现甲、乙比赛一次,求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.5分的概率.
甲
乙
8
7
7
6
6
1
8
0
2
5
5
3
9
2
5
图D10-2
18.(14分)为征求个人所得税修改建议,某机构对当地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图D10-3.
(1)求居民月收入在[3000,4000]的频率;
(2)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则月收入在[2500,3000)的这段应抽多少人?
(3)若将频率视为概率,对该地居民随机抽三人进行预测,记这三人月收入不低于3000元的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).
图D10-3
19.(14分)一个盒子中装有5张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1、2、3、4、5,现从盒子中随机抽取卡片.
(1)从盒中依次抽取两次卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,求两次取到的卡片的数字既不全是奇数,也不全是偶数的概率;
(2)若从盒子中有放回地抽取3次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率;
(3)从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当抽到记有奇数的卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数X的分布列和期望.
20.(14分)某种项目的射击比赛,开始时在距目标100米处射击,如果命中记3分,且停止射击;若第一次射击未命中,可以进行第二次射击,但目标已在150米处,这时命中记2分,且停止射击;若第二次仍未命中还可以进行第三次射击,但此时目标已在200米处,若第三次命中则记1分.并停止射击;若三次都未命中,则记0分.已知射手在100米处击中目标的概率为,他的命中率与目标距离的平方成反比,且各次射击都是独立的.
(1)求这名射手在三次射击中命中目标的概率;
(2)求这名射手比赛中得分的数学期望.
单元能力检测(十)
1.D [解析] 每次抽取一个球后,又放回,故两球的数字之和的最小值为0,最大值为18,且能取得之间的每一个整数值,所以选D.
2.B [解析] 4×4×4=64.
3.C [解析] 展开式共有11项,中间一项的二项式系数最大,该项的系数为负,故第6项的系数最小.
4.D [解析] “至多一件次品”可以分拆为“全是正品”和“恰有一件次品”两个互斥的基本事件,故所求的概率P=(98%)4+C(98%)3·2%.
5.C [解析] 阴影部分的面积等于正方形的面积减去一个半径为的圆的面积,故所求的概率是=1-.
6.C [解析] sinx+cosx=2sin≤1,可得sin≤,解得≤x≤π,故事件sinx+cosx≤1的概率是=.
7.A [解析] 只有当m∈(-,)时,直线x=m,y=x才可能把圆面分成四块区域.根据涂法,其种数为A=120.
8.C [解析] 因为sinx+cosx=2sin,由题设知a=2,则二项展开式的通项公式为Tr+1=C(a)6-r·r=(-1)r·C·a6-r·x3-r,令3-r=2,得r=1,含x2项的系数是-C25=-192.
9.288 [解析] 可以分三步完成:第一步,安排4个音乐节目,共有A种排法;第二步,安排舞蹈节目,共有A种排法;第三步,安排曲艺节目,共有A种排法.所以不同排法有AAA=288(种).
10.+a [解析] P(10
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