全国卷2高考文科数学试题 10页

‎2005年普通高等学校全国统一招生（全国卷2）‎ 数学（文科）‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.函数的最小正周期是 ‎ A. B. C. D.2‎ ‎2.正方体中,分别是的中点.那么正方体的过的截面图形是 A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 ‎3.函数的反函数是 A. B.‎ C. D.‎ ‎4.已知函数在内是减函数，则 A. B. C. D.‎ ‎5.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为 A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎6.双曲线的渐近线方程是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.如果数列是等差数列，则 A. B.‎ C. D.‎ ‎8.的展开式中项的系数是 A.840 B.－840 C.210 D.－210‎ ‎9.已知点.设的平分线与相交于,那么有,其中等于 A.2 B. C.-3 D.‎ ‎10.已知集合 A. B.‎ C. D. ‎ ‎11.点在平面上作匀速直线运动,速度向量（即点的运动方向与相同,且每秒移动的距离为个单位）.设开始时点的坐标为,则5秒后点的坐标为 A.（-2，4） B.（-30，25） C.（10，-5） D.（5，-10）‎ ‎12.的顶点在平面内，在的同一侧，与所成的角分别是和.若，则与所成的角为 A.60° B.45° C.30° D.15°‎ 第II卷 YCY 二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13.在之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 .‎ ‎14.圆心为（1，2）且与直线相切的圆的方程为 .‎ ‎15.在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 个.‎ ‎16.下面是关于三棱锥的四个命题:‎ ‎①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ ‎②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.‎ ‎③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ ‎④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.‎ 其中,真命题的编号是______________.（写出所有真命题的编号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知为第二象限的角，为第一象限的角，的值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6 .本场比赛采用五局三胜制：即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.‎ ⑴前三局比赛甲队领先的概率；‎ ⑵本场比赛乙队以3:2取胜的概率.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知是各项均为正数的等差数列,成等差数列.又 ⑴证明:为等比数列;‎ ⑵如果数列前3项的和等于,求数列的首项和公差.‎ ‎20.（本小题满分12分） ‎ 如图,四棱锥中,底面为矩形,底面.,分别为的中点. ‎ ‎（1）求证:;‎ ‎（2）设,求与平面所成的角的大小.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 设为实数，函数.‎ ⑴求的极值；‎ ⑵当在什么范围内取值时，曲线轴仅有一个交点.‎ ‎22.（本小题满分14分）‎ 四点都在椭圆上,为椭圆在轴正半轴上的焦点.已知与共线,与共线,且.求四边形的面积的最小值和最大值.‎ 参考答案 一. 选择题：‎ ‎1. C 2. D 3. B 4. B 5. D 6. C ‎7. B 8. A 9. C 10. A 11. C 12. C 二. 填空题：‎ ‎ 13. 216 14. ‎ ‎ 15. 192 16. ①，④‎ 三. 解答题：‎ ‎ 17. 本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能力。满分12分。‎ 解法一： ‎ 为第二象限的角，，所以 所以 为第一象限的角，，所以 ‎ ‎ 所以 ‎ 解法二：为第二象限角，，所以 为第一象限角，，所以 故 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 18. 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。‎ 解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4‎ ‎（I）记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则 所以，前三局比赛甲队领先的概率为 ‎（II）若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜，‎ 所以，所求事件的概率为 ‎ 19. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分12分。‎ ‎（1）证明：‎ 成等差数列 ‎，即 ‎ 又设等差数列的公差为d，则 这样 从而 ‎ 这时是首项，公比为的等比数列 ‎（II）解：‎ 所以 ‎ ‎ 20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分12分。‎ 方法一：‎ ‎（I）证明：连结EP DE在平面ABCD内 ‎，又CE＝ED，PD＝AD＝BC 为PB中点 由三垂线定理得 在中，又 PB、FA为平面PAB内的相交直线 平面PAB ‎（II）解：不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1‎ 为等腰直角三角形，且PB＝2，F为其斜边中点，BF＝1，且 与平面AEF内两条相交直线EF、AF都垂直 平面AEF 连结BE交AC于G，作GH//BP交EF于H，则平面AEF 为AC与平面AEF所成的角 由可知 由可知 与平面AEF所成的角为 方法二：‎ 以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系 ‎（1）证明：‎ 设E（a，0，0），其中，则C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，1），F（a，，）‎ ‎ ‎ 又平面PAB，平面PAB，‎ 平面PAB ‎ ‎（II）解：由，得 可知 异面直线AC、PB所成的角为 又，EF、AF为平面AEF内两条相交直线 平面AEF 与平面AEF所成的角为 即AC与平面AEF所成的角为 21. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分12分。‎ 解：（I）‎ 若，则 当x变化时，变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 极大值 极小值 ‎ 所以f(x)的极大值是，极小值是 ‎ （II）函数 ‎ 由此可知x取足够大的正数时，有，x取足够小的负数时有，所以曲线与x轴至少有一个交点。‎ ‎ 结合f(x)的单调性可知：‎ ‎ 当f(x)的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上；‎ ‎ 当f(x)的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与x轴仅有一个交点，它在上 ‎ 所以当时，曲线与x轴仅有一个交点。‎ ‎ 22. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分14分。‎ 解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1）且，直线PQ、MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k。又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y＝kx＋1‎ 将此式代入椭圆方程得 设P、Q两点的坐标分别为，则 从而 亦即 ‎（i）当时，MN的斜率为，同上可推得 故四边形面积 令，得 因为 当时，‎ 且S是以u为自变量的增函数 所以 ‎（ii）当k=0时，MN为椭圆长轴，‎ 综合（i），（ii）知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为