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- 2021-05-22 发布
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第2讲 法拉第电磁感应定律 自感现象
板块一 主干梳理·夯实基础
【知识点1】 法拉第电磁感应定律 Ⅱ
1.感应电动势
(1)概念:在电磁感应现象中产生的电动势。
(2)产生条件:穿过回路的磁通量发生改变,与电路是否闭合无关。
(3)方向判断:感应电动势的方向用楞次定律或右手定则来判断。
2.法拉第电磁感应定律
(1)内容:闭合电路中感应电动势的大小,跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
(2)公式:E=n,其中n为线圈匝数。
(3)感应电流与感应电动势的关系:遵守闭合电路欧姆定律,即I=。
(4)导体切割磁感线时的感应电动势
【知识点2】 自感、涡流 Ⅰ
1.互感现象
两个互相靠近的线圈,当一个线圈中的电流变化时,它所产生的变化的磁场会在另一个线圈中产生感应电动势的现象。
2.自感现象
(1)定义:当一个线圈中的电流变化时,它产生的变化的磁场在它本身激发出感应电动势。
(2)自感电动势
①定义:由于自感而产生的感应电动势。
②表达式:E=L。
③自感系数L
相关因素:与线圈的大小、形状、圈数以及是否有铁芯有关。
单位:亨利(H),1 mH=10-3 H,1 μH=10-6 H。
3.涡流
当线圈中的电流发生变化时,在它附近的任何导体中都会产生感应电流,这种电流像水的旋涡,所以叫涡电流,简称涡流。
(1)电磁阻尼:当导体在磁场中运动时,感应电流会使导体受到
安培力,安培力的方向总是阻碍导体的运动。
(2)电磁驱动:如果磁场相对于导体转动,在导体中会产生感应电流使导体受到安培力的作用,安培力使导体运动起来。
交流感应电动机就是利用电磁驱动的原理工作的。
(3)电磁阻尼和电磁驱动的原理体现了楞次定律的推广应用。
板块二 考点细研·悟法培优
考点1 法拉第电磁感应定律的应用 [拓展延伸]
1.磁通量Φ、磁通量的变化量ΔΦ、磁通量的变化率的比较
提示:①Φ、ΔΦ、的大小之间没有必然的联系,Φ=0,不一定等于0;②感应电动势E与线圈匝数n有关,但Φ、ΔΦ、的大小均与线圈匝数无关。
2.应用法拉第电磁感应定律E=n时应注意
(1)研究对象:E=n的研究对象是一个回路,而不是一段导体。
(2)物理意义:E=n求的是Δt时间内的平均感应电动势,当Δt→0时,则E为瞬时感应电动势。
3.法拉第电磁感应定律应用的三种情况
(1)磁通量的变化是由面积变化引起时,ΔΦ=B·ΔS,则E=n。
(2)磁通量的变化是由磁场变化引起时,ΔΦ=ΔB·S,则E=n,S
是磁场范围内的有效面积。
(3)磁通量的变化是由于面积和磁场变化共同引起的,则根据定义求,ΔΦ=Φ末-Φ初,E=n。
4.在图象问题中磁通量的变化率是Φt图象上某点切线的斜率,利用斜率和线圈匝数可以确定感应电动势的大小。
例1 如图所示,固定在匀强磁场中的水平导轨ab、cd的间距L1=0.5 m,金属棒ad与导轨左端bc的距离为L2=0.8 m,整个闭合回路的电阻为R=0.2 Ω,磁感应强度为B0=1 T的匀强磁场竖直向下穿过整个回路。ad杆通过滑轮和轻绳连接着一个质量为m=0.04 kg的物体,不计一切摩擦,现使磁场以=0.2 T/s的变化率均匀地增大。求:
(1)金属棒上电流的方向;
(2)感应电动势的大小;
(3)经过多长时间物体刚好离开地面(g取10 m/s2)。
(1)如何判定金属棒上电流的方向?
提示:用楞次定律。
(2)物体刚好离地时,金属杆上的安培力的大小与方向如何?
提示:ad棒受力平衡,mg=F安,水平向左。
尝试解答 (1)a→d__(2)0.08_V__(3)5_s。
(1)原磁场方向竖直向下,回路中磁通量增大,由楞次定律可知感应电流的磁场方向竖直向上,由安培定则可知金属棒上电流的方向a→d。
(2)由法拉第电磁感应定律可知:E=n=nS
面积:S=L1L2=0.4 m2
由已知条件得:n=1,=0.2 T/s
由已知条件:B=B0+t
以上各式联立解得:t=5 s。
总结升华
法拉第电磁感应定律的规范应用
(1)一般解题步骤:
①分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况;
②利用楞次定律确定感应电流的方向;
③灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解。
(2)应注意的问题:
①(a)用公式E=nS求感应电动势时,S为线圈在磁场范围内的有效面积,在Bt图象中为图线的斜率。
(b)E=nB
②通过回路的电荷量q仅与n、ΔΦ和回路电阻R有关,与变化过程所用的时间长短无关,推导过程:q=Δt=Δt=。
[2017·郴州模拟](多选)如图所示,线圈内有理想边界的磁场,开关闭合,当磁感应强度减小时,有一带电微粒静止于水平放置的平行板电容器中间,若线圈的匝数为n,平行板电容器的板间距离为d,粒子的质量为m,带电荷量为q,线圈面积为S,则下列判断中正确的是( )
A.带电微粒带负电
B.线圈内磁感应强度的变化率为
C.当下极板向上移动时,带电微粒将向上运动
D.当开关断开时,带电微粒将做自由落体运动
答案 BC
解析 当磁场减小时,由楞次定律和安培定则可判定,上极板带负电,根据粒子受力平衡可判断应带正电,A错误;对微粒mg=F=q而U=nS。则=,B正确;当下极板向上移动时,d减小,板间电压不变,则板间场强增大,微粒所受电场力增大,微粒将向上运动,C正确;开关断开时,板间电压不变,故微粒仍静止,D错误。
考点2 导体切割磁感线产生感应电动势的计算 [深化理解]
1.导体平动切割磁感线
对于导体平动切割磁感线产生感应电动势的计算式E=Blv,应从以下几个方面理解和掌握。
(1)正交性
本公式是在一定条件下得出的,除了磁场是匀强磁场,还需B、l、v三者相互垂直。当它们不相互垂直时,应取垂直的分量进行计算。公式可为E=Blvsinθ,当B与l垂直时,θ为B与v方向间的夹角;当B与v垂直时,θ为B与l间的夹角。
(2)平均性
导体平动切割磁感线时,若v为平均速度,则E为平均感应电动势,即=Bl。
(3)瞬时性
若v为瞬时速度,则E为相应的瞬时感应电动势。
(4)有效性
公式中的l为导体有效切割长度,即导体在与v
共同所在平面上垂直于v的方向上的投影长度。下图中有效长度分别为:
甲图:l=cdsinβ(容易错算成l=absinβ)。
乙图:沿v1方向运动时,l=MN;沿v2方向运动时,l=0。
丙图:沿v1方向运动时,l=R;沿v2方向运动时,l=0;沿v3方向运动时,l=R。
(5)相对性
E=Blv中的速度v是相对于磁场的速度,若磁场也运动时,应注意速度间的相对关系。
2.导体转动切割磁感线
当导体在垂直于磁场的平面内,绕一端以角速度ω匀速转动时,产生的感应电动势为E=Bl=Bl2ω,如图所示。
(1)以中点为轴时,E=0(相同两段的代数和);
(2)以端点为轴时,E=Bωl2(平均速度取中点位置的线速度ωl);
(3)以任意点为轴时,E=Bω(l-l)(不同两段的代数和)。
例2 如图所示,将一根绝缘硬金属导线弯曲成一个完整的正弦曲线形状,它通过两个小金属环a、b与长直金属杆导通,图中a、b间距离为L,导线组成的正弦图形顶部或底部到杆的距离都是d。右边虚线范围内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于弯曲导线所在平面的匀强磁场,磁场区域的宽度为,现在外力作用下导线沿杆以恒定的速度 v向右运动,t=0时刻a环刚从O点进入磁场区域,则下列说法正确的是( )
A.在t=时刻,回路中的感应电动势为Bdv
B.在t=时刻,回路中的感应电动势为2Bdv
C.在t=时刻,回路中的感应电流第一次改变方向
D.在t=时刻,回路中的感应电流第一次改变方向
(1)在动生电动势公式E=Blv中,B、l与v三者的关系?
提示:必须两两垂直,若不垂直必须分解。
(2)导体棒的长度就是公式E=Blv中的“l”吗?
提示:不是,式中的l指的是有效长度。
尝试解答 选D。
当t=时,闭合回路的位置如图1,此时的有效长度为零,感应电动势也为零,A选项错误,此时的感应电流也为零,电流为零是电流方向改变的时刻,D选项正确。当t=时,闭合回路的位置如图2,有效长度为d,感应电动势E=Bdv,B选项错误。在t=时刻,闭合回路的位置如图3,有效长度为d,电流大小I=,电流不为零,电流方向不变,C选项错误。
总结升华
如图所示,竖直平面内有一金属环,半径为a,总电阻为R(指拉直时两端的电阻),磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过环平面,在环的最高点A用铰链连接长度为2a、电阻为的导体棒AB,AB由水平位置紧贴环面摆下,当摆到竖直位置时,B点的线速度为v,则这时AB两端的电压大小为( )
A. B. C. D.Bav
答案 A
解析 当摆到竖直位置时,棒上产生的感应电动势为E=B·2a=2Ba=Bav,而AB两端的电压为路端电压,根据闭合电路欧姆定律得:AB两端电压为U=I·=×=Bav,故A正确。
考点3 通电自感和断电自感 [对比分析]
例3 如图所示,线圈L的自感系数很大,且其电阻可以忽略不计,L1、L2是两个完全相同的小灯泡,随着开关S闭合和断开的过程中,L1、L2的亮度变化情况是(灯丝不会断)( )
A.S闭合,L1亮度不变,L2亮度逐渐变亮,最后两灯一样亮;S断开,L2立即不亮,L1逐渐变亮
B.S闭合,L1亮度不变,L2很亮;S断开,L1、L2立即不亮
C.S闭合,L1、L2同时亮,而后L1逐渐熄灭,L2亮度不变;S断开,L2立即不亮,L1亮一下才灭
D.S闭合,L1、L2同时亮,而后L1逐渐熄灭,L2则逐渐变得更亮;S断开,L2立即熄灭,L1亮一下才灭
(1)当自感电流满足什么条件时,灯泡L1才会闪一下?
提示:当自感电流大于电路稳定时灯泡L1的原电流时灯泡才会闪一下。
(2)断开开关S瞬间,通过自感线圈的电流方向变吗?
提示:不变。
尝试解答 选D。
S闭合瞬间,自感线圈L相当于一个大电阻,以后阻值逐渐减小到0,所以观察到的现象是灯泡L1和L2同时亮,以后L1逐渐变暗到熄灭,L2逐渐变得更亮。S断开瞬间,自感线圈相当于一个电动势逐
渐减小的内阻不计的电源,它与灯泡L1组成闭合回路,所以L2立即熄灭,L1亮一下才熄灭。所以A、B、C选项都是错误的,只有D选项正确。
总结升华
1.自感线圈扮演的四个角色
(1)刚闭合电路时,线圈这一支路相当于开路即此时I=0;此时自感线圈等效于一个无限大的电阻。
(2)电路闭合一段时间达到稳定后,线圈等效于无阻导线或电阻。
(3)从闭合到电路稳定这一段时间内,自感线圈等效于一个变化的电阻,这个电阻从无限大逐渐减小为一个一般电阻或无阻导线。
(4)电路刚断开时,线圈等效于一个电源,与其他电路元件可以组成一个新的回路,线圈的电流方向与稳定工作时保持一致,自感电流的大小不会超过断电前瞬间线圈电流的大小,从断电前的电流大小开始逐渐减小。
2.断电自感现象中灯泡是否“闪亮”问题的判断,在于对电流大小的分析,若断电后通过灯泡的电流比原来强,则灯泡先闪亮一下再逐渐熄灭。
1.(多选)如图甲、乙所示的电路中,电阻R和自感线圈L的电阻值都很小,且小于灯泡A的电阻,接通S,使电路达到稳定,灯泡A发光,则( )
A.在电路甲中,断开S后,A将逐渐变暗
B.在电路甲中,断开S后,A将先变得更亮,然后才逐渐变暗
C.在电路乙中,断开S后,A将逐渐变暗
D.在电路乙中,断开S后,A将先变得更亮,然后才逐渐变暗
答案 AD
解析 在电路甲中,灯A和线圈L串联,它们的电流相同,断开S时,线圈上产生自感电动势,阻碍原通过它的电流减小,但流过灯A的电流仍逐渐减小,故灯A逐渐变暗。在电路乙中,电阻R和灯A串联,灯A的电阻大于线圈L的电阻,电流则小于线圈L中的电流,断开S时,电源不再给灯供电,而线圈产生自感电动势阻碍通过它本身的电流减小,通过R、A形成回路,灯A中电流突然变大,灯A变得更亮,然后渐渐变暗,故A、D正确。
2. 如图所示的电路,开关原先闭合,电路处于稳定状态,在某一时刻突然断开开关S,则通过电阻R1中的电流I1随时间变化的图线可能是下图中的( )
答案 D
解析 断电自感中,自感线圈中的感应电流阻碍原电流减小,但不能阻止原电流减小,所以自感线圈中的电流是在原电流的基础上逐渐减小到0,并且变化率也逐渐减小,则断开S后,通过电阻R1的电流I1突然反向,大小变为I2,然后逐渐变为零,所以D选项正确。
(20分)如图所示,两根足够长、电阻不计、间距为d0的光滑平行金属导轨,其所在平面与水平面夹角为θ,导轨平面内的矩形区域abcd内存在有界匀强磁场,磁感应强度大小为B、方向垂直于斜面向上,ab与cd之间相距为L,金属杆甲、乙的阻值相同,质量均为m。甲杆在磁场区域的上边界ab处,乙杆在甲杆上方与甲杆相距L处,甲、乙两杆都与导轨垂直且接触良好。由静止释放两杆的同时,在甲杆上施加一个垂直于杆平行于导轨的外力F,①使甲杆在有磁场的矩形区域内向下做匀加速直线运动,加速度大小a=2gsinθ,甲离开磁场时撤去F,②乙杆进入磁场后恰好做匀速运动,然后离开磁场。
(1)求每根金属杆的电阻R是多大?
(2)从释放金属杆开始计时,求外力F随时间t的变化关系式,并说明F的方向。
(3)若整个过程中,乙金属杆共产生热量Q,求外力F对甲金属杆做的功W是多少?
[审题 抓住信息,准确推断]
[破题 形成思路,快速突破]
(1)由乙杆恰好做匀速运动,可以列出平衡方程。
提示:mgsinθ=BI1d0, I1=
(2)如何求得乙进入磁场速度?
提示:动能定理 mgLsinθ=mv。
(3)如何求得F,对哪个杆进行受力分析?
提示:对甲杆 F+mgsinθ-BId0=m·2gsinθ。
(4)求F做功应利用什么规律求解。
提示:分过程对甲杆和乙杆进行能量转化分析。
[解题 规范步骤,水到渠成]
(1)设甲在磁场区域abcd内运动时间为t1,乙从开始运动到ab位置的时间为t2,则由运动学公式得
L=·2gsinθ·t,L=gsinθ·t
解得t1=,t2=(1分)
因为t1I1,C错误;流过导体某横截面的电荷量q=Δt=Δt=Δt=,由于磁通量变化量相同,电阻不变,所以通过导体横截面的电荷量不变,D正确。
10. [2017·正定调研]粗细均匀的导线绕成匝数为n、半径为r的圆形闭合线圈。线圈放在磁场中,磁场的磁感应强度随时间均匀增大,线圈中产生的电流为I,下列说法正确的是( )
A.电流I与匝数n成正比
B.电流I与线圈半径r成正比
C.电流I与线圈面积S成正比
D.电流I与导线横截面积S0成正比
答案 BD
解析 由题给条件可知感应电动势为E=nπr2·,电阻为R=,电流I=,联立以上各式得I=·,则可知B、D项正确,A、C项错误。
11.如图xOy平面为光滑水平面,现有一长为d宽为L的线框MNPQ在外力F作用下,沿x轴正方向以速度v做匀速直线运动,空间存在竖直方向的磁场,磁感应强度B=B0cosx(式中B0为已知量),规定竖直向下方向为磁感应强度正方向,线框电阻为R。t=0时刻MN边恰好在y轴处,则下列说法正确的是( )
A.外力F为恒力
B.t=0时,外力大小F=
C.通过线框的瞬时电流i=
D.经过t=,线框中产生的电热Q=
答案 BCD
解析 因线框沿x轴方向匀速运动,故F=F安=BMtItL+BQtItL=cos2,其中BMt=B0cos,BQt=B0cos,It=,故F不是恒力,A错误。t=0时,代入公式得,F=,故B正确。i=It=,C正确。由电流的瞬时值表达式可知此电流为交流电,有效值I==,又Q=I2Rt,故经过t=,线框中产生的电热Q=,D正确。
二、非选择题(本题共2小题,共34分)
12.(15分)(1)如图甲所示,两根足够长的平行导轨,间距L=0.3 m,在导轨间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B1=0.5 T。一根直金属杆MN以v=2 m/s的速度向右匀速运动,杆MN始终与导轨垂直且接触良好。杆MN的电阻r1=1 Ω,导轨的电阻可忽略。求杆MN中产生的感应电动势E1。
(2)如图乙所示,一个匝数n=100的圆形线圈,面积S1=0.4 m2,电阻r2=1 Ω。在线圈中存在面积S2=0.3 m2 垂直线圈平面(指向纸外)的匀强磁场区域,磁感应强度B2随时间t变化的关系如图丙所示。求圆形线圈中产生的感应电动势E2。
(3)有一个R=2 Ω的电阻,将其两端a、b分别与图甲中的导轨和图乙中的圆形线圈相连接,b端接地。试判断以上两种情况中,哪种情况a端的电势较高?求这种情况中a端的电势φa。
答案 (1)0.3 V (2)4.5 V (3)与图甲中的导轨相连接时a端电势高 φa=0.2 V
解析 (1)杆MN做切割磁感线的运动,E1=B1Lv
产生的感应电动势E1=0.3 V。
(2)穿过圆形线圈的磁通量发生变化,E2=nS2
产生的感应电动势E2=4.5 V。
(3)当电阻R与题图甲中的导轨相连接时,由右手定则可得a端的电势高于b端即大地的电势,而当电阻R与题图乙中的线圈相连接时,由楞次定律可知,此时a端的电势小于b端即大地的电势。故与图甲中的导轨相连接时a端电势高。
此时,通过电阻R的电流I=
电阻R两端的电势差φa-φb=IR
a端的电势φa=IR=0.2 V。
13.[2017·万州区模拟](19分)如图甲所示,光滑导轨宽0.4 m,ab为金属棒,均匀变化的磁场垂直穿过轨道平面,磁场的变化情况如图乙所示,金属棒ab的电阻为1 Ω,导轨电阻不计。t=0时刻,ab棒从导轨最左端,以v=1 m/s的速度向右匀速运动,求1 s末回路中的感应电流及金属棒ab受到的安培力。
答案 1.6 A 1.28 N,方向向左
解析 Φ的变化有两个原因,一是B的变化,二是面积S的变化,显然这两个因素都应当考虑在内,所以有
E==S+Blv
又=2 T/s,
在1 s末,B=2 T,
S=lvt=0.4×1×1 m2=0.4 m2
所以1 s末,E=S+Blv=1.6 V,
此时回路中的电流
I==1.6 A
根据楞次定律与右手定则可判断出电流方向为逆时针方向。
金属棒ab受到的安培力为F=BIl=2×1.6×0.4 N=1.28 N,方向向左。