【物理】2019届一轮复习人教版　万有引力与航天学案 15页

第 7 讲　万有引力与航天 考试内容及要求 知识内容 学考 要求 2015.10 考题 2016. 4 考题 2016.10 考题 2017. 4 考题 2017.11 考题 2018. 4 考题 2018.6 考题 行星的 运动 a 3 太阳与行 星间的 引力 a 万有引力 定律 c 4 3 4 万有引力 理论的 成就 c 12 9 宇宙航行 c 7 11 11 7 8 经典力学 的局限性 a 一、行星的运动 1．地心说和日心说 (1)地心说代表人物：托勒密． (2)日心说代表人物：哥白尼． 2．开普勒行星运动定律 (1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个 焦点上． (2)开普勒第二定律(面积定律)：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过 相等的面积． (3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方 的比值都相等，其表达式为a3 T2＝k. 例 1 　(2017·诸暨市第一学期期末)如图 1 所示为某行星绕太阳运行的椭圆轨道，其中 F 1 和 F2 是椭圆轨道的两个焦点，已知该行星在 A 点的速率比在 B 点的大，则太阳位于下列哪一位 置(　　) 图 1 A．F1 B．F2 C．O D．在 F1 与 F2 之间 答案　A 解析　由开普勒第一、第二定律知太阳位于 F1 位置，A 正确． 二、万有引力定律 1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物 体的质量 m1 和 m2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方成反比． 2．公式：F＝Gm1m2 r2 ，其中 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫做引力常量．由英国科学家卡文迪 许用扭秤实验比较准确地测定． 3．适用条件：严格来说公式只适用于质点之间的相互作用．对质量均匀的球体，在研究与球 外物体的引力时，可视为质量集中在球心而应用公式． 例 2 　(2018·浙江 6 月学考·4)2018 年 6 月 5 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“风云二 号 H 星”．假设该卫星质量为 m，在离地面高度为 h 的轨道上绕地球做匀速圆周运动．已知 地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则地球对卫星的万有引力大小为(　　) A．GMm h2 B．G Mm R＋h C．GMm R2 D．G Mm (R＋h)2 答案　D 例 3 　(2018·桐乡市期中)地球质量大约是月球质量的 81 倍，在登月飞船通过月、地之间的 某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为 (　　) A．1∶27 B．1∶9 C．1∶3 D．9∶1 答案　B 解析　根据 F＝Gm1m2 r2 ，由于引力大小相等，即 GM 地·m r地2 ＝GM 月·m r月2 ，所以r 月 r 地＝ M 月 M 地＝ 1 81 ＝1 9，故选项 B 正确． 三、万有引力理论的成就 1．万有引力定律在天文学上的重要应用 (1)计算天体的质量． (2)发现未知天体． 2．解决天体质量或密度问题的两种基本思路 (1)不考虑地球自转的影响，地面上物体所受重力等于地球对物体的万有引力． mg＝GMm R2 地球质量 M＝gR2 G . (2)利用绕中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星，列出万有引力提供向心力的不同表述形式． GMm r2 ＝man，其中 an＝v2 r ＝ω2r＝4π2 T2 r.若已知行星绕太阳运行的公转周期 T 和轨道半径 r，则 太阳质量 M＝4π2r3 GT2 . 例 4 　(2018·宁波市十校联考)已知地球半径为 R，地球质量为 m，太阳与地球中心间距为 r， 地球表面的重力加速度为 g，地球绕太阳公转的周期为 T，则太阳的质量为(　　) A.4π2r3 T2R2g B.4π2mr3 T2R2g C.4π2mgr2 R3T2 D. T2R2g 4π2mr3 答案　B 解析　地球表面物体的重力等于万有引力，有 m′g＝Gmm′ R2 得 G＝gR2 m .地球围绕太阳做圆周 运动，万有引力提供向心力，有GmM r2 ＝m4π2 T2 r，得 M＝4π2r3 GT2 .联立解得 M＝4π2mr3 T2R2g ，B 选项正 确，A、C、D 选项错误． 四、人造卫星 1．卫星的动力学规律 由万有引力提供向心力 GMm r2 ＝man＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2r T2 . 2．卫星各参量随轨道半径变化的规律 (1)由GMm r2 ＝mv2 r 有 v＝ GM r ，即 v∝ 1 r，故 r 越大，v 越小； (2)由GMm r2 ＝mω2r 有 ω＝ GM r3 ，即 ω∝ 1 r3，故 r 越大，ω 越小； (3)由GMm r2 ＝m(2π T )2r 有 T＝2π r3 GM，即 T∝ r3，故 r 越大，T 越大； (4)由GMm r2 ＝man 有 an＝GM r2 ，即 an∝1 r2，故 r 越大，an 越小． 例 5 　“量子科学实验卫星”于 2016 年 8 月发射，这既是中国首个、更是世界首个量子卫 星．该卫星的发射使中国在国际上率先实现高速星地量子通信，连接地面光纤量子通信网络， 初步构建量子通信网络．如果量子卫星的轨道高度约为 500 km，低于地球同步卫星，则(　　) A．量子卫星的线速度大小比地球同步卫星的小 B．量子卫星的角速度大小比地球同步卫星的小 C．量子卫星的周期比地球同步卫星的小 D．量子卫星的向心加速度比地球同步卫星的小 答案　C 解析　由GMm r2 ＝man＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2 T2 r 知，r 越小，v 越大，ω 越大，an 越大，周期越小， 因量子卫星半径小于地球同步卫星，故只有 C 项正确，A、B、D 错误． 例 6 　(2018·浙江省“五校联考”第一次考试)2017 年 4 月，我国成功发射的天舟一号货运飞 船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道 (可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的(　　) A．周期变大 B．速率变大 C．动能变大 D．向心加速度变大 答案　C 解析　组合体与天宫二号相比轨道半径不变，故 v、T、a 不变，A、B、D 错．由于质量增大 了，故动能增大了，C 对． 五、宇宙速度 1．三个宇宙速度的比较 宇宙速度 数值(km/s) 意义 第一宇宙速度 7.9 人造地球卫星的最小发射速度，也是人造地 球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度 第二宇宙速度 11.2 使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度 第三宇宙速度 16.7 使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度 2.第一宇宙速度的两种求法 (1)GMm R2 ＝mv12 R，所以 v1＝ GM R . (2)mg＝mv12 R ，所以 v1＝ gR. 例 7 　已知月球质量与地球质量之比约为 1∶80，月球半径与地球半径之比约为 1∶4，则月 球上的第一宇宙速度与地球上的第一宇宙速度之比最接近(　　) A．9∶2 B．2∶9 C．18∶1 D．1∶18 答案　B 解析　根据牛顿第二定律有 GMm R2 ＝mv2 R，由此得第一宇宙速度 v＝ GM R ，即 v∝ M R. 设月球上的第一宇宙速度为 v1、地球上的第一宇宙速度为 v2，则v1 v2＝ M1 M2·R2 R1＝ 1 80 × 4 1＝ 5 10 ，接近 2∶9，故 B 选项正确． 六、地球同步卫星 1．所谓地球同步卫星，指相对于地面静止的卫星． 2．所有同步卫星的共同点 (1)轨道平面一定．轨道平面和赤道平面重合． (2)周期一定．与地球自转周期相同，即 T＝24 h＝86 400 s. (3)角速度一定．与地球自转的角速度相同． (4)轨道高度一定．据 GMm r2 ＝m4π2 T2 r 得 r＝ 3 GMT2 4π2 ≈4.22×104 km，卫星离地面高度 h＝r－ R≈6R. (5)速率一定．运行速度 v＝2πr T ≈3.07 km/s. (6)绕行方向一定．与地球自转的方向一致． 例 8 　(2018·杭西高 4 月考)据新华社消息，2015 年 12 月 29 日 0 时 04 分，中国在西昌卫星 发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射“高分四号”卫星，“高分四号”卫星是地球同步 轨道遥感卫星．关于“高分四号”卫星(如图 2 所示)，以下说法正确的是(　　) 图 2 A．“高分四号”卫星可定位在钓鱼岛正上方，遥感观测附近海洋上的航母 B．“高分四号”卫星比“神舟十号”近地环绕飞船运行高度低 C．“高分四号”卫星的运行速度大于 7.9 km/s D．“高分四号”卫星的运行周期是 24 h，距地球表面的高度大约是 36 000 km 答案　D 1．(2017·浙江 11 月学考·3)获得 2017 年诺贝尔物理学奖的成果是(　　) A．牛顿发现了万有引力定律 B．卡文迪许测定了引力常量 C．爱因斯坦预言了引力波 D．雷纳·韦斯等探测到了引力波 答案　D 2．(2018·浙江 6 月学考·8)如图 3 所示为 1687 年出版的《自然哲学的数学原理》一书中牛顿 所画草图．他设想在高山上水平抛出物体，若速度一次比一次大，落点就一次比一次远．当 速度足够大时，物体就不会落回地面，成为人造地球卫星．若不计空气阻力，这个速度至少 为(　　) 图 3 A．7.9 km/s B．8.9 km/s C．11.2 km/s D．16.7 km/s 答案　A 解析　当物体速度足够大，物体做匀速圆周运动时，刚好对地面的压力为零，即 mg＝mv2 r ， 所以 v＝ gR＝7.9 km/s，选项 A 正确． 3．(2016·浙江 4 月学考·11)如图 4 所示，2015 年 12 月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空” 发射升空进入高为 5.0×102 km 的预定轨道．“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为 匀速圆周运动．已知地球半径 R＝6.4×103 km.下列说法正确的是(　　) 图 4 A．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小 B．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小 C．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小 D．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小 答案　C 解析　地球同步卫星距地表 36 000 km，由 v＝ GM r 可知，“悟空”卫星的线速度要大，所 以 A 错．由 ω＝ GM r3 可知，“悟空”卫星的角速度大，即运行周期小，B 错，C 对．由 an＝ GM r2 可知，“悟空”卫星的向心加速度大，D 错． 4．(2017·浙江 11 月学考·7)如图 5 所示是小明同学画的人造地球卫星轨道的示意图，则卫星 (　　) 图 5 A．在 a 轨道运行的周期为 24 h B．在 b 轨道运行的速度始终不变 C．在 c 轨道运行的速度大小始终不变 D．在 c 轨道运行时受到的地球引力大小是变化的 答案　D 解析　a 轨道的半位不确定，周期不确定，选项 A 错误；b 轨道上的卫星的速度方向不断变 化，所以速度不断变化，选项 B 错误；地球在 c 轨道的其中一个焦点上，因此在近地点时卫 星速度要快，远地点速度要慢，选项 C 错误；在 c 轨道上，卫星离地球的距离不断变化，所 以根据 F＝GMm r2 可以看出卫星受地球的引力大小不断变化，D 正确． 5．(2018·浙江 4 月学考·9)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图 6)，每 16 天绕土星一周，其公转 轨道半径为 1.2×106 km.已知引力常量 G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为(　　) 图 6 A．5×1017 kg B．5×1026 kg C．5×1033 kg D．5×1036 kg 答案　B 解析　根据“泰坦”的运动情况，由万有引力提供向心力， 则 GMm r2 ＝m(2π T )2r，化简得到 M＝4π2r3 GT2 ，代入数据得 M≈5×1026 kg，故选 B. 6．(2018·浙江“七彩阳光”联盟期中联考)2016 年 10 月 19 日，神舟十一号载人飞船与天宫 二号空间实验室在距离地面约 400 公里的轨道高度成功实施自动交会对接(如图 7 所示)．合 体后，景海鹏和陈冬两名航天员进驻天宫二号，开展了一系列空间科学实验．下列说法正确 的是(　　) 图 7 A．运载火箭在地面发射天宫二号时的速度大于 11.2 km/s B．组合体在轨飞行的周期小于地球自转的周期 C．组合体在轨飞行的速度大于 7.9 km/s D．航天员在空间站内可以通过天平称量物体的质量 答案　B 1．(2018·杭州市七校期末联考)下列关于万有引力定律的说法中，正确的是(　　) A．万有引力定律是开普勒发现的 B．F＝G Mm r2 中的 G 是一个有单位的常量 C．万有引力定律只适用于两个天体间的相互作用 D．两个质量分布不均匀的球体之间的万有引力也可以用 F＝G Mm r2 来计算，r 是两球体球心 间的距离 答案　B 解析　万有引力定律是牛顿发现的，A 选项错误；根据公式 F＝GMm r2 可推出 G＝Fr2 Mm，所以 G 的单位是 N·m2/kg2，B 选项正确；万有引力定律适用于任何两个质点间的相互作用，C 选项 错误；质量分布不均匀的球体间距离不一定等于两球体球心间的距离，D 选项错误． 2．(2017·温州市十校初考)2016 年 8 月 16 日凌晨，被命名为“墨子号”的中国首颗量子科学 实验卫星开启星际之旅．其运行轨道为如图 1 所示的绕地球 E 运动的椭圆轨道，地球 E 位于 椭圆的一个焦点上．轨道上标记了“墨子号”卫星经过相等时间间隔(Δt＝T 14，T 为轨道周期) 的位置．如果作用在卫星上的力只有地球 E 对卫星的万有引力，则下列说法正确的是(　　) 图 1 A．面积 S1>S2 B．卫星在轨道上 A 点的速率小于在 B 点的速率 C．T2＝Ca3，其中 C 为常量，a 为椭圆半长轴 D．T2＝C′b3，其中 C′为常量，b 为椭圆半短轴 答案　C 解析　根据开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相同时间内扫过的面积相等，故面积 S1 ＝S2，选项 A 错误；根据开普勒第二定律可知，卫星在轨道上 A 点的速率大于在 B 点的速率， 选项 B 错误；根据开普勒第三定律可知a3 T2＝k(k 为常量)，令 k＝1 C，得 T2＝Ca3，故选项 C 正 确，D 错误． 3．(2018·牌头中学第一学期期中)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星， 它的公转轨道半径 r1＝19 600 km，公转周期 T1＝6.39 天.2006 年 3 月，天文学家发现两颗冥 王星的小卫星，其中一颗的公转半径 r2＝48 000 km，则它的公转周期 T2 最接近于(　　) A．15 天 B．25 天 C．35 天 D．45 天 答案　B 4．(2017·嘉兴市七校期中)“神舟十一号”载人飞船在 2016 年 10 月 17 日发射升空后，于 19 日与“天宫二号”进行自动交会对接，形成组合体，航天员进驻“天宫二号”，在轨飞行 30 天．如图 2 所示，圆形轨道Ⅰ为交会对接前“天宫二号”运行轨道，圆形轨道Ⅱ为交会对接 前“神舟十一号”运行轨道，则(　　) 图 2 A．“神舟十一号”在圆形轨道Ⅱ的运行速率大于 7.9 km/s B．“天宫二号”的运行速率小于“神舟十一号”的运行速率 C．“天宫二号”的运行周期小于“神舟十一号”的运行周期 D．“天宫二号”的向心加速度大于“神舟十一号”的向心加速度 答案　B 解析　GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝m(2π T )2r＝ma，整理得 v＝ GM r ，T＝ 4π2r3 GM ，a＝GM r2 .根据公 式 v＝ GM r 可知，当 r 为地球半径时的速度大小等于第一宇宙速度，即 7.9 km/s，半径越 大，速度越小，所以“神舟十一号”的运行速率要小于 7.9 km/s.根据速率公式、周期公式、 向心加速度公式可知，环绕半径越大，速率越小，周期越大，向心加速度越小．可知 A、C、 D 选项错误，B 选项正确． 5．(2015·浙江 10 月学考·7)2015 年 9 月 20 日“长征六号”火箭搭载 20 颗小卫星成功发射， 如图 3 所示．在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放．假设释放后的 小卫星均做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　) 图 3 A．20 颗小卫星的轨道半径均相同 B．20 颗小卫星的线速度大小均相同 C．同一圆轨道上的小卫星的周期均相同 D．不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同 答案　C 解析　小卫星在不同轨道上运动时其轨道半径不同，由GMm r2 ＝mv2 r ＝mω2r＝m(2π T )2r，可知 不同圆轨道上小卫星的线速度大小不同，角速度不同，同一圆轨道上小卫星的周期相同． 6．(2017·浙江 4 月学考·11)如图 4 所示，设行星绕太阳的运动是匀速圆周运动，金星自身的 半径是火星的 n 倍，质量为火星的 k 倍．不考虑行星自转的影响，则(　　) 图 4 A．金星表面的重力加速度是火星的k n倍 B．金星的“第一宇宙速度”是火星的 k n倍 C．金星绕太阳运动的加速度比火星小 D．金星绕太阳运动的周期比火星大 答案　B 解析　质量为 m 的物体在行星表面有 mg＝GMm R2 ，即 g＝GM R2 ，可知g 金 g 火＝ k n2，选项 A 错误； 根据“第一宇宙速度”的表达式 v＝ GM R 可知，v 金 v 火＝ k n，选项 B 正确；行星绕太阳运动 时，万有引力充当向心力，则有 GM 日 m 行 r2 ＝m 行 an，即 an＝GM 日 r2 ，而 r 金an 火， 选项 C 错误；根据开普勒第三定律r3 T2＝k′，可知 T 金