【物理】2019届一轮复习人教版机械能守恒定律及其应用学案 27页

第24课时　机械能守恒定律及其应用 考点1　机械能守恒的判断与应用 ‎1．重力做功的特点 ‎(1)重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关。‎ ‎(2)重力做功不引起物体机械能的变化。‎ ‎2．重力势能 ‎(1)定义：物体由于被举高而具有的能。‎ ‎(2)表达式：Ep＝mgh。(其中h是相对于零势能面的高度)‎ ‎(3)矢标性：重力势能是标量，正负表示其大小。‎ ‎3．重力做功与重力势能变化的关系 ‎(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。‎ ‎(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。‎ ‎4．重力势能的特点 ‎(1)系统性：重力势能是物体和地球所共有的。‎ ‎(2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。‎ ‎5．弹性势能 ‎(1)定义：物体由于发生弹性形变而具有的能。‎ ‎(2)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及弹簧的劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。‎ ‎(3)‎ 弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。‎ ‎6．机械能守恒定律 ‎(1)机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能。‎ ‎(2)机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。‎ ‎(3)常用的三种表达式 ‎①守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。(E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能)‎ ‎②转化式：ΔEk增＝ΔEp减。(表示系统势能的减少量等于动能的增加量)‎ ‎③转移式：ΔEA增＝ΔEB减。(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)‎ ‎[例1](2016·全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距 处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。‎ ‎(1)求小球在B、A两点的动能之比；‎ ‎(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。‎ 解析　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得 EkA＝mg·①‎ 设小球在B点的动能为EkB，同理有 EkB＝mg·②‎ 由①②式得＝5③‎ ‎(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的竖直向下的压力FN应满足 FN≥0④‎ 设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有 FN＋mg＝m⑤‎ 由④⑤式得 mg≤m⑥‎ vC≥ ⑦‎ 全程应用机械能守恒定律得 mg·＝mvC′2⑧‎ 由⑦⑧式可知，vC′＝ ，即小球恰好可以沿轨道运动到C点。‎ 答案　(1)5∶1　(2)见解析 ‎(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，而是看是否只有重力或弹力做功。‎ ‎(2)机械能守恒时，物体的运动轨迹可以是曲线也可以是直线，力可以是恒力也可以是变力。‎ ‎(3)在处理单个物体与地球构成的系统时，通常用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。如例题所列关系式①、②。‎ ‎1．(人教版必修2 P78·T2改编)下列几种运动过程中物体的机械能守恒的是(　　)‎ A．匀速下落的雨滴 B．在水中下沉的铁块 C．“神舟十号”飞船穿过大气层返回地面 D．用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动 答案　D 解析　雨滴匀速下落时，必受竖直向上的阻力，且阻力做功，故雨滴机械能不守恒，在水中下沉的铁块，水的浮力做功，铁块机械能不守恒，“神舟十号”飞船穿过大气层时，由于速度很大，空气阻力不可忽略，克服阻力做功，所以机械能不守恒，A、B、C 错误；用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动，虽然细线对小球有作用力，但作用力方向始终和小球速度方向垂直，故只有重力对小球做功，所以机械能守恒，D正确。‎ ‎2．(人教版必修2 P78·T3改编) 如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以海平面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．物体到达海平面时的重力势能为mgh B．重力对物体做的功为－mgh C．物体在海平面上的动能为mv＋mgh D．物体在海平面上的机械能为mv 答案　C 解析　物体到达海平面时位于参考平面上，重力势能为零，A错误；物体运动过程下落了h高度，重力做功mgh，B错误；根据机械能守恒定律mgh＋mv＝mv2，即物体在海平面上的机械能E2＝mv2＝mgh＋mv，C正确、D错误。‎ ‎3．如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为L(L>2πR)，R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。‎ 答案　 解析　当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为v，列车的质量为M，那么轨道上那部分列车的质量M′＝·M，在轨道上的那部分列车的平均高度为R。‎ 由机械能守恒定律可得：‎ Mv＝Mv2＋M′gR 又因圆形轨道顶部车厢应满足：‎ mg＝m 联立以上三式解得：v0＝。‎ 考点2　　多物体的机械能守恒问题 ‎1．常见多个物体组成的机械能守恒模型 两个由轻绳或轻杆连接在一起的物体所组成的连接体系统，是机械能守恒定律应用的常考形式，求解的关键是寻找两物体的速度关系。‎ 按两物体连接方式和速度关系一般可分为如下三种：‎ ‎(1)速率相等的连接体：如图甲所示，A、B在运动过程中速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。‎ ‎(2)角速度相等的连接体：如图乙所示，一轻质细杆的两端分别固定着A、B两小球，O点是一垂直纸面的光滑水平轴，A、B在运动过程中角速度相等，其线速度的大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。‎ ‎(3)某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，B穿过竖直光滑杆PQ下滑，将B的速度v沿绳子和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中沿绳子的分速度vx与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。‎ ‎2．多个物体组成的系统机械能守恒问题的解题思路 ‎(1)首先分析多个物体组成的系统所受的外力是否只有重力或弹簧弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。‎ ‎(2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少，ΔE1＝－ΔE2。或系统的动能增加量等于系统势能减少量，即ΔEk1＋ΔEk2＝－(ΔEp1＋ΔEp2)。‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎ [例2](2015·全国卷Ⅱ)(多选)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　)‎ A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 解析　当a刚释放时，两者的速度都为0，当a落地时，沿杆的分速度为0，即b最终速度为零，对系统由机械能守恒定律可知mgh＝mv可得a落地时速度大小为va＝，B正确；分析可得滑块b的速度先增加后减小且b的最终速度为0，即轻杆对b先是推力后是拉力，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；当轻杆对b是拉力时，对a的拉力斜向下，分析可得此时a的加速度大于g，C错误；a落地前，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时杆对b作用力为0，这时b对地面的压力大小为mg，D正确。‎ 答案　BD ‎(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。‎ ‎(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。‎ ‎(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。‎ ‎①列方程时，选取的表达角度不同，表达式也不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。‎ ‎②应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。‎ ‎1．如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的2倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)‎ A．2R B. C. D. 答案　C 解析　A落地前，A、B两球构成的系统机械能守恒。如图所示，以地面为零势能面，设A质量为‎2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有2mgR－mgR＝·3mv2，A落地后B将以速度v做竖直上抛运动，即有mv2＝mgh，解得h＝R。故B上升的高度为＝R，C正确。‎ ‎2．质量分别为m和‎2m的两个小球P和Q中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：‎ ‎(1)小球P的速度大小；‎ ‎(2)在此过程中，杆对小球P做的功。‎ 答案　(1)　(2)mgL 解析　(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球的运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v。由机械能守恒定律得Ep减＝Ek增即 ‎2mg·L－mg·L＝mv2＋·‎2m·(2v)2‎ 解得v＝。‎ ‎(2)杆对P球做的功等于小球P机械能的增加量ΔE，则 ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL。‎ 考点3　非质点类物体的机械能守恒问题 所谓非质点类物体就是像“绳”(考虑重力)“链条”“过山车”“流水”等类物体，在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。‎ 物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎ [例3]　如图所示，一条长为L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为x0，已知重力加速度为g，Lx0)。‎ 解析　链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为m，以平台所在位置为零势能面，当斜面上链条长为x时，链条的速度为v，则在此过程对组成的系统由机械能守恒 ‎－mg·x0sinα＝mv2－mg·xsinα 解得v＝ 。‎ 答案　 ‎(1)寻找重力势能发生变化的那部分物体的等效长度，如本例中等效长度由x0→x，可以快速准确的解决非质点问题。‎ ‎(2)重力势能的变化或重力做功利用等效长度来表示，但动能的表达式一般要针对整体。‎ ‎(3)分段看成两个物体或多个物体，利用系统机械能守恒去分析解决问题也是一种方法。‎ 如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h，开始时使两边液面高度差为h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。此题等效为原右侧的高的液柱移到左侧(如图所示)其重心高度下降了 ‎，减少的重力势能转化为整柱液体的动能，设液体的总质量为‎4m，则有mg·＝(‎4m)v2得v＝ 。‎ ‎1．(2017·贵阳监测)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点。将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)‎ A．小球运动到B点时的动能等于mgh B．小球由A点到B点重力势能减少mv2‎ C．小球由A点到B点克服弹力做功为mgh D．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－mv2‎ 答案　D 解析　小球由A点到B 点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，小球动能增加量小于重力势能减少量，A、B错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，D正确；小球克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能增加量，C错误。‎ ‎2．(2017·常德质检)(多选)重10 N的滑块在倾角为30°的光滑斜面上，从a点由静止下滑，到b点接触到一个轻弹簧，滑块压缩弹簧到c点开始弹回，返回b点离开弹簧，最后又回到a点，已知xab＝‎1 m，xbc＝‎0.2 m，那么在整个过程中(　　)‎ A．滑块动能的最大值是6 J B．弹簧弹性势能的最大值是6 J C．从c到b弹簧的弹力对滑块做的功是6 J D．整个过程系统机械能守恒 答案　BCD 解析　以滑块和弹簧为系统，在滑块的整个运动过程中，只有滑块重力与弹簧弹力做功，系统机械能守恒，D正确；滑块从a到c重力势能减小了mgxac·sin30°＝6 J，全部转化为弹簧的弹性势能，B正确；当滑块沿斜面向下的分力与弹簧弹力相等时，滑块速度最大，即动能最大，且小于6 J，A错误；从c到b弹簧恢复原长，通过弹簧的弹力对滑块做功，将6 J的弹性势能全部转化为滑块的机械能，C正确。‎ ‎3．如图所示，一长L的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动，滑轮离地面足够高，则铁链完全离开滑轮时的速度大小为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　铁链向一侧滑动的过程受重力和滑轮弹力的作用，弹力始终与对应各节链条的运动方向垂直，故只有重力做功。设铁链刚好完全离开滑轮时的速度为v，由机械能守恒定律有：mv2＋ΔEp＝0，其中铁链重力势能的变化量相当于滑离时下半部分的重力势能减去滑动前左半部分的重力势能，如图所示 ，即ΔEp＝－mg·，解得v＝ ，故C项正确。‎ ‎4．(2017·山东菏泽联考)(多选)如图所示，质量相同的两物体a、b，用不可伸长的轻绳跨接在一轻质定滑轮两侧，a在水平桌面的上方，b在水平桌面上，初始时用手拉住b，使a、b静止，松手后，a开始运动。在a下降的过程中，b始终未离开桌面。忽略一切摩擦阻 力和空气阻力，在此过程中(　　)‎ A．a的动能小于b的动能 B．a的动能等于b的动能 C．两物体所组成的系统机械能增加 D．物体a克服绳拉力做的功等于物体a机械能的减少量 答案　AD 解析　将b的实际速度进行分解，如图所示。由图可知va＝vbcosθ，即a的速度小于b的速度，故a的动能小于b的动能，A正确、B错误；由于只有重力做功，故a、b组成的系统机械能守恒，C错误；根据功能关系可知，物体a克服绳拉力做的功等于物体a机械能的减少量，D正确。‎ ‎5．(2017·吉林实验中学五模)(多选)如图所示，A、B、C、D四图中的小球以及小球所在的左侧斜面完全相同，现从同一高度h处由静止释放小球，使之进入右侧不同的竖直轨道：除去底部一小段圆弧，A图中的轨道是一段斜面，高度大于h；B图中的轨道与A图中的轨道相比只是短了一些，且斜面高度小于h；C图中的轨道是一个内径略大于小球直径的管道，其上部为直管，下部为圆弧形，与斜面相连，管开口的高度大于h；D图中的轨道是个半圆形轨道，其直径 等于h。如果不计任何摩擦阻力和拐弯处的能量损失，小球进入右侧轨道后能到达高度h的是(　　)‎ 答案　AC 解析　A图中小球到达右侧斜面上最高点时的速度为零，根据机械能守恒定律得mgh＋0＝mgh′＋0，则h′＝h，A正确；B图中小球离开轨道后做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，运动到最高点时在水平方向上有速度，即在最高点的速度不为零，根据机械能守恒定律得mgh＋0＝mgh′＋mv2，则h′