【物理】2020届一轮复习人教版法拉第电机电磁感应中电荷量的计算学案 8页

2020 届一轮复习人教版 法拉第电机电磁感应中电荷量的计算 学案 [学科素养与目标要求]　 物理观念：了解法拉第电机的构造及工作原理． 科学思维：1.会计算导体棒转动切割产生的感应电动势.2.进一步理解公式 E＝n ΔΦ Δt 与 E＝BLv 的区别和联 系，能够区别运用这两个公式求解电动势.3.会选用公式求电磁感应中的电荷量问题． 法拉第电机 1．法拉第电机原理 (1)如图 1，把圆盘看作是由无数根长度等于半径的紫铜辐条组成的，在转动圆盘时，每根辐条都做切割磁 感线的运动，电路中便有了持续不断的电流． 图 1 (2)在法拉第电机中，产生感应电动势的那部分导体相当于电源． 2.情景分析：如图 2 所示，铜棒 Oa 长为 L，磁场的磁感应强度为 B，铜棒在垂直于匀强磁场的平面上绕 O 点以角速度 ω 匀速转动，则铜棒切割磁感线产生感应电动势． 图 2 3．转动切割磁感线产生的电动势 以导体棒的一端为轴转动切割磁感线： 由 v＝ωr 可知各点线速度随半径按线性规律变化，切割速度用中点的线速度替代，即 v＝L 2 ω.感应电动势 E ＝1 2BL2ω. 一直升机停在南半球的地磁极上空．该处地磁场的方向竖直向上，磁感应强度为 B.直升机螺旋桨叶片的长 度为 l，螺旋桨转动的频率为 f，顺着地磁场的方向看螺旋桨，螺旋桨按顺时针方向转动，螺旋桨叶片的近 轴端为 a，远轴端为 b，如图 3 所示，如果忽略 a 到转轴中心线的距离，每个叶片中的感应电动势 E＝ ________，且 a 点电势________(选填“高于”或“低于”)b 点电势． 图 3 答案　πfl2B　低于 一、E＝n ΔΦ Δt 和 E＝BLv 的比较应用 E＝n ΔΦ Δt E＝BLv 研究对象 整个闭合回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体 适用范围 各种电磁感应现象 只适用于导体垂直切割磁感线运动的情况 区 别 计算结果 Δt 内的平均感应电动势 某一时刻的瞬时感应电动势 联系 E＝BLv 是由 E＝n ΔΦ Δt 在一定条件下推导出来的，该公式可看作法拉第 电磁感应定律的一个推论 例 1 　如图 4 所示，导轨 OM 和 ON 都在纸面内，导体 AB 可在导轨上无摩擦滑动，AB⊥ON，若 AB 以 5m/s 的速度从 O 点开始沿导轨匀速右滑，导体与导轨都足够长，匀强磁场的磁感应强度为 0.2T．问： 图 4 (1)第 3s 末夹在导轨间的导体长度是多少？此时导体切割磁感线产生的感应电动势多大？ (2)3s 内回路中的磁通量变化了多少？此过程中的平均感应电动势为多少？ 答案　(1)5 3m　5 3V　(2)15 3 2 Wb　5 2 3V 解析　(1)第 3s 末，夹在导轨间导体的长度： l＝vt·tan30°＝5×3×tan30°m＝5 3m 此时：E＝Blv＝0.2×5 3×5V＝5 3V. (2)3s 内回路中磁通量的变化量 ΔΦ＝BS－0＝0.2×1 2 ×15×5 3Wb＝15 3 2 Wb 3s 内电路中产生的平均感应电动势： E＝ ΔΦ Δt ＝ 15 3 2 3 V＝5 2 3V. [学科素养]　例 1 通过对瞬时感应电动势和平均感应电动势的计算，加深了学生对公式 E＝n ΔΦ Δt 和 E＝Blv 适用条件的理解．知道 E＝n ΔΦ Δt 研究整个闭合回路，适用于计算各种电磁感应现象中 Δt 内的平均感应电 动势；E＝Blv 研究的是闭合回路的一部分，即做切割磁感线运动的导体，只适用于计算导体切割磁感线运 动产生的感应电动势，可以是平均感应电动势，也可以是瞬时感应电动势．通过这样的训练，锻炼了学生 的综合分析能力，体现了“科学思维”的学科素养． 针对训练　(多选)如图 5 所示，一导线弯成半径为 a 的半圆形闭合回路．虚线 MN 右侧有磁感应强度为 B 的匀强磁场，方向垂直于回路所在的平面向下．回路以速度 v 向右匀速进入磁场，直径 CD 始终与 MN 垂 直．从 D 点到达边界开始到 C 点进入磁场为止，下列结论正确的是(　　) 图 5 A．感应电动势最大值 E＝2Bav B．感应电动势最大值 E＝Bav C．感应电动势的平均值E＝1 2Bav D．感应电动势的平均值E＝1 4 πBav 答案　BD 解析　在半圆形闭合回路进入磁场的过程中，有效切割长度如图所示， 所以进入过程中 l 先逐渐增大到 a，然后再逐渐减小为 0，由 E＝Blv 可知，最大值 Emax＝Bav，最小值为 0， A 错误，B 正确；平均感应电动势为E＝ ΔΦ Δt ＝ B·1 2 πa2 2a v ＝1 4 πBav，故 D 正确，C 错误． 二、法拉第电机的原理　转动切割电动势的计算 1．感应电动势的高低 图 6 中导体棒 ab 在转动切割磁感线时产生感应电动势，相当于电源，如果它与用电器连接构成闭合电路， 则产生的感应电流方向由 b 向 a(右手定则)，而电源内部电流方向是由负极流向正极，所以 a 相当于电源的 正极，b 相当于电源的负极，即 a 端电势高于 b 端电势． 图 6 2．导体转动切割磁感线产生的电动势的计算 如图 7 所示，长为 L 的导体棒 Oa 以 O 为圆心，以角速度 ω 在磁感应强度为 B 的匀强磁场中匀速转动，感 应电动势大小可用两种方法分析： 图 7 (1)用 E＝BLv 求解 由于棒上各点到圆心 O 的速度满足 v＝ωL(一次函数关系)，所以切割的等效速度 v 等效＝0＋ωL 2 ＝ωL 2 ，故感 应电动势 E＝BLv 等效＝1 2BL2ω. (2)用 E＝ ΔΦ Δt 求解 经过时间 Δt 棒扫过的面积为 ΔS＝πL2·ωΔt 2π＝1 2L2ωΔt，由 E＝ ΔΦ Δt ＝B·ΔS Δt 知，棒上的感应电动势大小为 E ＝1 2BL2ω. 例 2 　如图 8 是法拉第研制成的世界上第一台发电机模型的原理图．将铜盘放在磁场中，让磁感线垂直穿 过铜盘，图中 a、b 导线与铜盘的中轴线处在同一平面内，转动铜盘，就可以使闭合电路获得电流．若图 中铜盘半径为 r，匀强磁场的磁感应强度为 B，回路总电阻为 R，匀速转动铜盘的角速度为 ω，则电路的 功率是(　　) 图 8 A.B2ω2r4 R B.B2ω2r4 2R C.B2ω2r4 4R D.B2ω2r4 8R 答案　C 解析　铜盘旋转切割磁感线产生的电动势 E＝1 2Bωr2，由 P＝E2 R ，得电路的功率是B2ω2r4 4R ，故选 C. 三、电磁感应中电荷量的计算 闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在 Δt 内迁移的电荷量(感应电荷量)q ＝I·Δt＝ E R总·Δt＝n ΔΦ Δt · 1 R总·Δt＝nΔΦ R总 . (1)从上式可知，线圈匝数一定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关． (2)求解电路中通过的电荷量时，I、E 均为平均值． 例 3 　(2018·中山市第一中学高二第一次段考)一个阻值为 R、匝数为 n 的圆形金属线圈与阻值为 2R 的电 阻 R1、电容为 C 的电容器连接成如图 9(a)所示回路．金属线圈的半径为 r1，在线圈中半径为 r2 的圆形区域 内存在垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度 B 随时间 t 变化的关系图线如图(b)所示．图线与横、 纵轴的截距分别为 t0 和 B0.导线的电阻不计．求： 图 9 (1)通过电阻 R1 的电流大小和方向； (2)0～t1 时间内通过电阻 R1 的电荷量 q； (3)t1 时刻电容器所带电荷量 Q. 答案　(1)nπB0r22 3Rt0 ，方向从 b 到 a　(2)nπB0r22t1 3Rt0 　(3)2nπCB0r22 3t0 解析　(1)由 B－t 图象可知，磁感应强度的变化率： ΔB Δt ＝B0 t0 ， 根据法拉第电磁感应定律，感应电动势： E＝n ΔΦ Δt ＝nπr22 ΔB Δt ＝nπB0r22 t0 根据闭合电路的欧姆定律，感应电流：I1＝ E 3R 联立解得：I1＝nπB0r22 3Rt0 根据楞次定律可知通过 R1 的电流方向为从 b 到 a. (2)通过 R1 的电荷量 q＝I1t1 得：q＝nπB0r22t1 3Rt0 . (3)电容器两板间电压：U＝I1R1＝2nB0πr22 3t0 则电容器所带的电荷量：Q＝CU＝2nπCB0r22 3t0 . 1．(转动切割产生的动生电动势)如图 10 所示，直角三角形金属框 abc 放置在匀强磁场中，磁感应强度大 小为 B，方向平行于 ab 边向上．当金属框绕 ab 边以角速度 ω 逆时针转动时，a、b、c 三点的电势分别为 φa、φb、φc.已知 bc 边的长度为 l.下列判断正确的是(　　) 图 10 A．φa＞φc，金属框中无电流 B．φb＞φc，金属框中电流方向沿 abca C．Ubc＝－1 2Bl2ω，金属框中无电流 D．Uac＝1 2Bl2ω，金属框中电流方向沿 acba 答案　C 解析　金属框 abc 平面与磁场方向平行，转动过程中穿过金属框平面的磁通量始终为零，所以无感应电流 产生，选项 B、D 错误；转动过程中 bc 边和 ac 边均切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则判断 φa<φc，φb<φc，选项 A 错误；由 A 项的分析及E＝BL v得 Ubc＝－1 2Bl2ω，选项 C 正确． 2．(磁场变化产生的电动势)在竖直向上的匀强磁场中，水平放置一个不变形的单匝金属圆线圈，规定线圈 中感应电流的正方向如图 11 甲所示，当磁场的磁感应强度 B 随时间 t 按如图乙所示规律变化时，下列四个 图中正确表示线圈中感应电动势 E 变化的是(　　) 图 11 答案　A 解析　在第 1s 内，磁感应强度 B 均匀增大，由楞次定律可判定感应电流方向为正，其产生的感应电动势 E1 ＝ ΔΦ1 Δt1 ＝ ΔB1 Δt1 S，在第 2～3 s 内，磁感应强度 B 不变化，即线圈中无感应电流，在第 3～5 s 内，磁感应强度 B 均匀减小，由楞次定律可判定，其感应电流方向为负，产生的感应电动势 E2＝ ΔΦ2 Δt2 ＝ ΔB2 Δt2 S，由于 ΔB1＝ ΔB2，Δt2＝2Δt1，故 E1＝2E2，由此可知，选项 A 正确． 3．(电磁感应中电荷量的计算)如图 12 所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为 a 的圆形区域内 部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为 B.一半径为 b(b＞a)、电阻为 R 的圆形导线环放置在纸 面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由 B 均匀地减小到零的过程中，通过导线环截面 的电荷量为(　　) 图 12 A. πB|b2－2a2| R B. πB(b2＋2a2) R C. πB(b2－a2) R D. πB(b2＋a2) R 答案　A 解析　设开始时穿过导线环向里的磁通量为正值，Φ1＝Bπa2，则向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－ a2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B·π|b2－2a2|，末态总的磁通量为 Φ′＝0，由法拉第电 磁感应定律得平均感应电动势为E＝ ΔΦ Δt ，通过导线环截面的电荷量为 q＝E R ·Δt＝ πB|b2－2a2| R ，A 项正 确． 4．(平动切割产生的动生电动势)如图 13 所示，“∠”形金属框架 MON 所在平面与磁感应强度为 B 的匀强 磁场垂直，金属棒 ab 能紧贴金属框架运动，且始终与 ON 垂直，金属棒与金属框架粗细相同，且由同种材 料制成．当 ab 从 O 点开始(t＝0)匀速向右平动时，速度为 v0，∠MON＝30°. 图 13 (1)bOc 回路中感应电动势随时间变化的函数关系式为________________． (2)闭合回路中的电流随时间变化的图象是________． 答案　(1)E＝ 3 3 Bv02t　(2)B 解析　(1)t＝0 时 ab 从 O 点出发，经过时间 t 后，ab 匀速运动的距离为 s，则有 s＝v 0t.由 tan30°＝bc s ， 有bc＝v0t·tan30°. 则金属棒 ab 接入回路的 bc 部分切割磁感线产生的感应电动势为 E＝Bv0bc＝Bv02ttan30°＝ 3 3 Bv02t. (2)lOb＝v0t，lbc＝v0ttan30°，lOc＝ v0t cos30°，单位长度电阻设为 R0，则回路总电阻 R＝R0(v0t＋v0ttan30°＋ v0t cos30°)＝R0v0t(1＋ 3)，则回路电流 I＝E R ＝ (3－ 3)Bv0 6R0 ，故 I 为常量，与时间 t 无关，选项 B 正确．