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- 2021-05-23 发布
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专题3.4 带电粒子在叠加场中的运动问题
叠加场是指在同一空间区域中重力场、电场、磁场有两种场或三种场同时存在的情况。常见的叠加场有:电场与重力场的叠加,磁场与电场的叠加,磁场、电场、重力场的叠加等。
带电粒子在复合场中做什么运动,取决于带电粒子所受的合外力及其初始运动状态,因此应把带电粒子的初始运动情况和受力情况结合起来进行分析。
(1)当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时,粒子将保持静止或做匀速直线运动。
(2)当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时,粒子将做匀变速直线运动。
(3)当带电粒子所受的合外力充当向心力时,粒子将做匀速圆周运动。
(4)当带电粒子所受合外力的大小、方向都不断变化时,粒子将做变速运动。
题型1 带电体在叠加场中有约束情况下的运动
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下,常见的运动形式有直线运动和圆周运动,此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况,并注意洛伦兹力不做功的特点,运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解.
类型一:如果粒子在复合场中受轨道、支撑面、轻绳或轻杆等有形的约束时,可做变速直线运动。解题时只要从受力分析入手,明确变力、恒力及做功等情况,就可用动能定理、牛顿运动定律、运动学相关知识进行求解。
类型二:若带电粒子运动的空间存在轨道、支撑面、轻绳、轻杆等有形的约束时,带电粒子在复合场中做匀变速圆周运动,一般应用牛顿运动定律和动能定理求解。
【典例1】如图,一个质量为m、带电量为+q的圆环,可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动,细杆处于磁感应强度为B的匀强磁场中。现给圆环一个水平向右的初速度v0,在以后的运动中下列说法正确的是( )
A.圆环可能做匀减速运动
B.圆环不可能做匀速直线运动
C.圆环克服摩擦力所做的功一定为
D.圆环克服摩擦力所做的功可能为
【答案】 D
【解析】:当qv0B<mg时,圆环做减速运动到静止,速度在减小,洛伦兹力减小,杆的支持力和摩擦力都发生变化,所以不可能做匀减速运动,故A错误
当qv0B=mg时,圆环不受支持力和摩擦力,做匀速直线运动,故B错误。
当qv0B<mg时,圆环做减速运动到静止,只有摩擦力做功.根据动能定理得
-W=0-,W=
代入解得W=,故C错误,D正确。故选D.
【典例2】如图所示,与水平面成37°的倾斜轨道AC,其延长线在D点与半圆轨道DF相切,全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内,整个空间存在水平向左的匀强电场,MN的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场(C点处于MN边界上).一质量为0.4 kg的带电小球沿轨道AC下滑,至C点时速度为vC= m/s,接着沿直线CD运动到D处进入半圆轨道,进入时无动能损失,且恰好能通过F点,在F点速度为vF=4 m/s(不计空气阻力,g=10 m/s2,cos 37°=0.8).求:
(1)小球带何种电荷?
(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功;
(3)小球从F点飞出时磁场同时消失,小球离开F点后的运动轨迹与直线AC(或延长线)的交点为G点(未标出),求G点到D点的距离.
【答案】 (1)正电荷 (2)27.6 J (3)2.26 m
【解析】 (1)依题意可知小球在CD间做匀速直线运动,在CD段受重力、电场力、洛伦兹力且合力为零,若小球带负电,小球受到的合力不为零,因此带电小球应带正电荷.
(2)小球在D点速度为
vD=vC= m/s
设重力与电场力的合力为F1,如图所示,则F1=F洛=qvCB
又F1==5 N
解得qB== C·T
在F处由牛顿第二定律可得
qvFB+F1=
把qB= C·T代入得R=1 m
小球在DF段克服摩擦力做功Wf,由动能定理可得
-Wf-2F1R=mv-mv
解得Wf≈27.6 J
(3)小球离开F点后做类平抛运动,其加速度为a=
由2R=
解得t= = s
交点G与D点的距离GD=vFt= m≈2.26 m
【跟踪训练】
1.(多选)如图所示,两个倾角分别为30°和60°的光滑斜面固定于水平地面上,并处于方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中。两个质量均为m、带电荷量为+q的小滑块甲和乙分别从两个斜面顶端由静止释放,运动一段时间后,两小滑块都将飞离斜面,在此过程中( )
A.甲滑块飞离斜面瞬间的速度比乙滑块飞离斜面瞬间的速度大
B.甲滑块在斜面上运动的时间比乙滑块在斜面上运动的时间短
C.甲滑块在斜面上运动的位移与乙滑块在斜面上运动的位移大小相同
D.两滑块在斜面上运动的过程中,重力的平均功率相等
【答案】 AD
2. 如图所示的竖直平面内有范围足够大、水平向左的匀强电场,在虚线的左侧有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感强度大小为B,一绝缘轨道由两段直杆和一半径为R的半圆环组成,固定在纸面所在的竖直平面内,PQ、MN水平且足够长,半圆环MAP在磁场边界左侧,P、M点在磁场边界线上,NMAP段光滑,PQ段粗糙.现在有一质量为m、带电荷量为+q的小环套在MN杆上,它所受电场力为重力的0.5倍。现将小环从M点右侧的D点由静止释放,小环刚好能到达P点.
(1)求DM间距离x0;
(2)求上述过程中小环第一次通过与O等高的A点时半圆环对小环作用力的大小;
【答案】 (1)8R/3 (2)
【解析】:(1)小环刚好到达P点时速度vP=0,由动能定理得
qEx0-2mgR=0
而 qE=3mg/4
所以x0=8R/3
(2)设小环在A点时的速度为vA,由动能定理得
qE(x0+R)−mgR=
因此vA=
题型2 带电体在叠加场中无约束情况下的运动情况
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动.
②若重力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,故机械能守恒,由此可求解问题.
(2)静电力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若静电力和洛伦兹力平衡,则带电体做匀速直线运动.
②若静电力和洛伦兹力不平衡,则带电体将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,可用动能定理求解问题.
(3)静电力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡,一定做匀速直线运动.
②若重力与静电力平衡,一定做匀速圆周运动.
③若合力不为零且与速度方向不垂直,将做复杂的曲线运动,因洛伦兹力不做功,可用能量守恒定律或动能定理求解问题.
【典例3】如图所示,匀强电场方向水平向右,匀强磁场方向垂直纸面向里,将带正电的小球在场中静止释放,最后落到地面上.关于该过程,下述说法正确的是( )
A.小球做匀变速曲线运动
B.小球减少的电势能等于增加的动能
C.电场力和重力做的功等于小球增加的动能
D.若保持其他条件不变,只减小磁感应强度,小球着地时动能不变
【答案】 C
【解析】 重力和电场力是恒力,但洛伦兹力是变力,因此合外力是变化的,由牛顿第二定律知其加速度也是变化的,选项A错误;由动能定理和功能关系知,选项B错误,选项C正确;磁感应强度减小时,小球落地时的水平位移会发生变化,则电场力所做的功也会随之发生变化,选项D错误.
【典例4】如图,在竖直平面内建立直角坐标系xOy,其第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场,电场强度的方向水平向右,磁感应强度的方向垂直纸面向里.一带电荷量为+q、质量为m的微粒从原点出发沿与x轴正方向的夹角为45°的初速度进入复合场中,正好做直线运动,当微粒运动到A(l,l)时,电场方向突然变为竖直向上(不计电场变化的时间),粒子继续运动一段时间后,正好垂直于y轴穿出复合场.不计一切阻力,求:
(1)电场强度E的大小;
(2)磁感应强度B的大小; ]
(3)粒子在复合场中的运动时间.
【答案】 (1) (2) (3)(+1)
【解析】 (1)微粒到达A(l,l)之前做匀速直线运动,对微粒受力分析如图甲:
所以,Eq=mg,得:E=
(2)由平衡条件:
qvB=mg
电场方向变化后,微粒所受重力与电场力平衡,微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,轨迹如图乙:
qvB=m
由几何知识可得:r=l
v=
联立解得:B=
(3)微粒做匀速运动时间:t1==
做圆周运动时间:t2==
在复合场中运动时间:t=t1+t2=(+1)
【跟踪训练】
(2016·天津高考)如图所示,空间中存在着水平向右的匀强电场,电场强度大小E=5 N/C,同时存在着水平方向的匀强磁场,其方向与电场方向垂直,磁感应强度大小B=0.5 T。有一带正电的小球,质量m=1×10-6 kg,电荷量q=2×10-6 C,正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动,当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象),取g=10 m/s2。求:
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向;
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t。
【答案】(1)20 m/s,方向与电场方向成60°角斜向上 (2)3.5 s
【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图,
其所受的三个力在同一平面内,合力为零,有qvB=
代入数据解得
v=20 m/s
速度v的方向与电场E的方向之间的夹角θ满足
tan θ=
代入数据解得tan θ=
θ=60°。
联立以上各式,代入数据解得
t=2 s≈3.5 s。
解法二:撤去磁场后,由于电场力垂直于竖直方向,它对竖直方向的分运动没有影响,以P点为坐标原点,竖直向上为正方向,小球在竖直方向上做匀减速运动,其初速度为
vy=vsin θ
若使小球再次穿过P点所在的电场线,仅需小球的竖直方向上分位移为零,则有
vyt-gt2=0
联立以上两式,代入数据解得t=2 s≈3.5 s。学
高考+模拟综合提升训练
1.(2018·全国卷II ·T25)一足够长的条状区域内存在匀强电场和匀强磁场,其在xOy平面内的截面如图所示:中间是磁场区域,其边界与y轴垂直,宽度为l,磁感应强度的大小为B,方向垂直于xOy平面;磁场的上、下两侧为电场区域,宽度均为l',电场强度的大小均为E,方向均沿x轴正方向;M、N为条状区域边界上的两点,它们的连线与y轴平行。一带正电的粒子以某一速度从M点沿y轴正方向射入电场,经过一段时间后恰好以从M点入射的速度从N点沿y轴正方向射出。不计重力。
(1)定性画出该粒子在电磁场中运动的轨迹。
(2)求该粒子从M点射入时速度的大小。
(3)若该粒子进入磁场时的速度方向恰好与x轴正方向的夹角为,求该粒子的比荷及其从M点运动到N点的时间。
【答案】(1)图见解析 (2) (3) 学 ]
【解析】(1)粒子运动的轨迹如图甲所示。(粒子在电场中的轨迹为抛物线,在磁场中为圆弧,上下对称)
(2)粒子从电场下边界入射后在电场中做类平抛运动。设粒子从M点射入时速度的大小为v0,在下侧电场中运动的时间为t,加速度的大小为a;粒子进入磁场的速度大小为v,方向与电场方向的夹角为θ(见图乙),速度沿电场方向的分量为v1。根据牛顿第二定律有
qE=ma ①
式中q和m分别为粒子的电荷量和质量。由运动学公式有
v1=at ②
l'=v0t ③
v1=vcos θ ④ 学
粒子在磁场中做匀速圆周运动,设其运动轨道半径为R,由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得
qvB=m ⑤
由几何关系得
l=2Rcos θ ⑥
联立①②③④⑤⑥式得
v0= ⑦
⑩
式中T是粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期
由③⑦⑨⑩式得
2.(2017全国Ⅰ,16)如图,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里,三个带正电的微粒a,b,c电荷量相等,质量分别为ma,mb,mc,已知在该区域内,a在纸面内做匀速圆周运动,b在纸面内向右做匀速直线运动,c在纸面内向左做匀速直线运动。下列选项正确的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知,mag=qE,mbg=qE+Bqv,mcg+Bqv=qE,所以,故B正确;ACD错误。
3.(2015·福建高考)如图,绝缘粗糙的竖直平面MN左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向右,电场强度大小为E,磁场方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的小滑块从A点由静止开始沿MN下滑,到达C点时离开MN做曲线运动。A、C两点间距离为h,重力加速度为g。
(1)求小滑块运动到C点时的速度大小vC;
(2)求小滑块从A点运动到C点过程中克服摩擦力做的功Wf;
(3)若D点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置,当小滑块运动到D点时撤去磁场,此后小滑块继续运动到水平地面上的P点。已知小滑块在D点时的速度大小为vD,从D点运动到P点的时间为t,求小滑块运动到P点时速度的大小vP。
【答案】:(1) (2)mgh- (3)
【解析】(1)小滑块沿MN运动过程,水平方向受力满足
qvB+N=qE
小滑块在C点离开MN时N=0
解得vC=。
(2)由动能定理得
mgh-Wf=mvC2-0
解得Wf=mgh-。
4.(2019届河南省滑县高三第一学期第二次联考)
如图所示,空间存在垂直纸面向里的匀强磁场,一带负电的物块在水平外力F作用下沿粗糙水平面向右做匀加速直线运动,下列关于外力F随时间变化的图象可能正确的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设开始计时物块的速度为,物块质量为m,磁感应强度为B,物块与水平面间的动摩擦因数为,根据牛顿运动定律得:,,联立解得:,若为零则,可知外力F随时间呈线性关系,选项D正确。学
5.(2019届四川省成都市高中毕业班摸底测试)
图示区域有方向竖直向下的匀强电场和水平向里的匀强磁场,一带正电的微粒以水平向右的初速度进入该区域时,恰能沿直线运动。欲使微粒向下偏转,可采用的方法是
A. 仅减小入射速度
B. 仅减小微粒的质量
C. 仅增大微粒的电荷量
D. 仅增大磁场的磁感应强度
【答案】A
【解析】带正电的粒子受到向下的电场力和重力以及向上的洛伦兹力作用,当qvB=mg+qE时,粒子沿直线通过正交场区;若减小入射速度,则洛伦兹力减小,电场力不变,合力向下,向下偏转。故A正确;仅减小微粒的质量,则洛伦兹力大于电场力,合力向上,向上偏转。故B错误;增加电荷量,则电场力与洛伦兹力都增加,合力向上,向上偏转。故C错误;增大磁感应强度,则向上的洛伦兹力增加,合力向上,向上偏转。故D错误;故选A。
6.(2019届河南省中原名校高三第一次质量考评)
如图所示,空间存在水平向左的匀强电场E和垂直纸面向外的匀强磁场B,在竖直平面内从a点沿ab、ac方向抛出两带电小球,不考虑两带电小球间的相互作用,两小球的电荷量始终不变,关于小球的运动,下列说法正确的是
A. 沿ab、ac方向抛出的小球都可能做直线运动
B. 若小球沿ac方向做直线运动,则小球带负电,可能做匀加速运动
C. 若小球沿ac方向做直线运动,则小球带正电,且一定是匀速运动
D. 两小球在运动过程中机械能均守恒
【答案】AC
7.(2019届安徽省合肥市高三上学期调研性检测)
如图所示,空间某区域存在正交的匀强电场和匀强磁场,电场方向水平向左,磁场方向垂直纸面向里,在该区域内,一带电粒子在竖直面内可能沿竖直线AB或水平线CD运动。若粒子仅受电场、磁场的作用力,下列判断正确的是( )
A. 若粒子带正电,则粒子由A向B运动
B. 若粒子带负电,则粒子由A向B运动
C. 若粒子带正电,则粒子由C向D运动
D. 若粒子带负电,则粒子由C向D运动
【答案】AB
8.(2019届安徽省六安二中高三(上)开学测试)
如图所示,在xOy平面内,有场强,方向沿x轴正方向的匀强电场和磁感应强度大小为、方向垂直xOy平面指向纸里的匀强磁场一个质量,电量带正电的微粒,在xOy平面内做匀速直线运动,运动到原点O时,撤去磁场,经一段时间后,带电微粒运动到了x轴上的P点求:
粒子运动的速度;
点到原点O的距离;
带电微粒由原点O运动到P点的时间.
【答案】, 37° 15m
【解析】粒子的重力:,
电场力:,
粒子做匀速直线运动,所受合力为零,
由平衡条件得:,
解得:,
设速度与x轴的方向为,,
解得:;
重力和电场力的合力是恒力,且方向与微粒在O点的速度方向垂直,
撤去磁场后,微粒做类平抛运动,设沿初速度方向的位移为,沿合力方向的位移为,
在初速度方向上:,
在合力方向上:, 学 ]
OP间的距离:,
解得:,,
9.(2018福建省漳州市高三考前模拟考试试卷(二))
在竖直放置固定的光滑绝缘圆环中,套有一个带电-q、质量m的小环,整个装置放在如图所示的正交匀强电磁场中,磁感应强度大小为B,电场,重力加速度为g.当小环从大环顶端无初速度下滑时,则小环
A. 运动到最低点的速度最大
B. 不能做完整的圆周运动
C. 对轨道最大压力为
D. 受到的最大洛仑兹力
【答案】BD
【解析】A.将重力场和电场等效为一个等效场,只有运动到等效最低点速度才最大,故A错误。B、由能量守恒定律可知无法到达等效最高点,不能做完整的圆周运动,故B正确。C、由动能定理可得,解得,受到的最大洛仑兹力,故D正确;C、在等效最低点由牛顿第二定律有 ,可知,故C错误。故选BD。
10.(2018贵州省长顺县民族高级中学高三下学期第二次月考)
如图所示,某空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,已知一离子在电场力和磁场力作用下,从静止开始沿曲线acb运动,到达b点时速度为零,c点为运动的最低点,则( )
A. 离子必带正电
B. a.b两点位于同一高度
C. 离子在c点速度最大
D. 离子到达b点后将沿原曲线返回a点
【答案】ABC
只要将离子在B点的状态与A点进行比较,就可以发现它们的状态(速度为零,电势能相等)相同,如果右侧仍有同样的电场和磁场的叠加区域,离子就将在B之右侧重现前面的曲线运动,因此离子是不可能沿原曲线返回A点的。如图所示。故D错误。故选BC。
11.(2018江西师范大学附属中学高三最后一卷)
如图所示,虚线框中存在垂直纸面向外的匀强磁场B和平行纸面且与竖直平面夹角为45°斜向下的匀强电场E,有一质量为m,电荷量为q的带负电的小球在高为h处的P点从静止开始自由下落,当小球运动到复合场内时刚好做直线运动,那么( )
A. 小球在复合场中一定做匀速直线运动
B. 若换成带正电的小球,小球仍可能做直线运动
C. 磁感应强度场强
D. 若同时改变小球的比荷与初始下落高度h,小球不能沿直线通过复合场
【答案】ACD
【解析】A、小球在复合场中受到竖直向下的重力、与电场强度方向相反的电场力和水平向右的洛伦兹力的作用,如图所示:
其中电场力和重力是恒力,而洛伦兹力的大小与小球的速度大小成正比,若小球做的是变速运动,那么洛伦兹力也是变力,小球的合外力方向也要改变,这与题意不符,所以小球在复合场中一定做匀速直线运动。故A正确。B、C、根据小球的平衡条件可得:,,又v2=2gh,联立各式解得磁感应强度,电场强度;若要使小球沿直线通过复合场,小球的合力一定为零,所以一定要满足,若同时改变小球的比荷与初始下落的高度h,以上两个式子不能同时满足,不能做直线运动,故C、D正确。B、若换成带正电的小球,则电场力和洛伦兹力同时反向,合力不可能为零,故B错误。故选ACD。