【物理】2020届一轮复习人教版圆周运动的临界问题学案 8页

链接高考4　圆周运动的临界问题 ‎　　　　[考点解读]‎ 在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点．‎ ‎1．常见类型 ‎(1)绳的拉力达到最大或为零．‎ ‎(2)物体开始滑动时静摩擦力达到最大．‎ ‎(3)物体脱离接触面时压力为零．‎ ‎2．解题关键：分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程．‎ ‎[考向突破]‎ ‎[考向1]　出现相对滑动情况的临界状态分析　‎ ‎[典例1]　(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为‎2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是(　　)‎ A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度 D．当ω＝ 时，a所受摩擦力的大小为kmg ‎[审题指导]　(1)审关键词：缓慢地加速转动．‎ ‎(2)思路分析：a、b两木块在静摩擦力作用下做圆周运动，角速度相等，当静摩擦力不能提供需要的向心力时，木块做离心运动．‎ ‎[解析]　AC　[设木块滑动的临界角速度为ω，kmg＝mω2r，所以ω＝ ，ra＝l，rb＝‎2l，所以ωa＞ωb，A、C项正确；摩擦力充当向心力，在角速度相等时，b受的摩擦力大，B项错误；ω＝ 时，a受的摩擦力fa＝mω2r＝m‎2l＝kmg，D项错误．]‎ ‎　解决相对滑动临界问题的注意事项 ‎1．先确定研究对象受力情况，看哪些力充当向心力，哪些力可能突变引起临界问题．‎ ‎2．注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随圆盘转速的变化而发生变化．‎ ‎3．关注临界状态，即静摩擦力达最大值时．例题中，随圆盘转动、静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度．‎ ‎[题组巩固]‎ ‎1.(2019·山西省山大附中)(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，烧断细线，则(　　)‎ A．两物体均沿切线方向滑动 B．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，同时所受摩擦力减小 C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动 D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远 解析：BD　[当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，B靠指向圆心的静摩擦力和拉力的合力提供向心力，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力，所以B仍保持相对圆盘静止状态，做匀速圆周运动，且静摩擦力比绳子烧断前减小．故B、D项正确，A、C项错误．故选B、D项．]‎ ‎2．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离‎2.5 m处有一质量m＝‎0.4 kg的小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为，(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取‎10 m/s2.求：‎ ‎(1)当角速度ω＝0时小物体所受的摩擦力；‎ ‎(2)角速度ω的最大值为多少；‎ ‎(3)当角速度ω为最大值时，小物体运动到圆心等高位置A时小物体所受的摩擦力的大小．‎ 解析：(1)当圆盘不转动时，滑块受力平衡，则有f＝mgsin 30°＝0.4×10× N＝2‎ ‎ N.‎ ‎(2)当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律，得 μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r 则ω＝＝‎ rad/s＝1 rad/s.‎ ‎(3)当物体转到与圆心等高的位置，重力分力与摩擦力的合力等于向心力；‎ 向心力F＝mω2r＝0.4×1×2.5 N＝1 N；‎ 摩擦力f＝＝ N＝ N.‎ 答案：(1)2 N　(2)1 rad/s　(3) N ‎[考向2]　绳子张紧情况的临界状态分析　‎ ‎[典例2]　如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是(　　)‎ A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg C．AB绳的拉力范围为mg～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg ‎[审题指导]　(1)审关键词：OB、AB两绳始终处于拉直状态．‎ ‎(2)思路分析：①当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小．‎ ‎②当AB绳的拉力刚好为零时，OB绳的拉力最大．‎ ‎[解析]　B　[当转动的角速度为零时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F1，则‎2F1cos 30°＝mg，F1＝mg，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为F2，则F2cos 30°＝mg，F2＝mg，因此OB绳的拉力范围为mg～mg，AB绳的拉力范围为0～mg，B项正确．]‎ ‎　解决绳子断裂与松弛的临界问题 绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT＝0.‎ ‎[题组巩固]‎ ‎1．(2019·四川资阳一诊)(多选)如图所示，水平转台上有一个质量为m的物块，用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上，细绳与竖直转轴的夹角θ＝30°，此时细绳伸直但无张力，物块与转台间动摩擦因数为μ＝，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，物块随转台由静止开始缓慢加速转动，角速度为ω，重力加速度为g，则(　　)‎ A．当ω＝时，细绳的拉力为0‎ B．当ω＝时，物块与转台间的摩擦力为0‎ C．当ω＝时，细绳的拉力大小为mg D．当ω＝时，细绳的拉力大小为mg 解析：AC　[当转台的角速度比较小时，物块只受重力、支持力和摩擦力，当细绳恰好要产生拉力时，μmg＝mωlsin 30°，解得ω1＝，随角速度的增大，细绳上的拉力增大，当物块恰好要离开转台时，物块受到重力和细绳的拉力的作用，mgtan 30°＝mωlsin 30°，解得ω2＝，由于ω1＜＜ω2，所以当ω＝，物块与转台间的摩擦力不为零，故B错误；由于＜ω1，所以当ω＝时，细绳的拉力为零，故A正确；由于ω1＜＜ω2，由牛顿第二定律得f＋Fsin 30°＝m2lsin 30°，因为压力小于mg，所以f＜mg，解得F＞mg，故D错误；当ω＝＞ω2‎ 时，物块已经离开转台，细绳的拉力与重力的合力提供向心力，则mgtan α＝m2lsin α，解得cos α＝，故F＝＝mg，故C正确．]‎ ‎2.如图所示，两绳系一个质量为m＝‎0.1 kg的小球，两绳的另两端分别固定于轴上的A、B两处．上面绳长l＝‎2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°与45°.问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？当角速度为3 rad/s时，上、下两绳的拉力分别为多大？‎ 解析：两绳始终张紧的制约条件有以下两种情况：当ω由零逐渐增大时可能出现两个临界值．其一是BC恰好拉直，但不受力；其二是AC仍然拉直，但不受拉力．选C小球为研究对象，对C受力分析如图所示．当BC恰好拉直，但T2＝0时，设此时的角速度为ω1，则有 T1cos 30°＝mg①‎ T1sin 30°＝mωlsin 30°②‎ 代入数据，解得ω1＝2.40 rad/s 当AC拉直，但T1已为零，设此时的角速度为ω2，则有T2cos 45°＝mg③‎ T2sin 45°＝mωlsin 30°④‎ 代入数据，得ω2＝3.16 rad/s 所以要两绳始终拉紧，ω必须满足 ‎2．40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s 当ω＝3 rad/s时，T1、T2同时存在，所以 T1sin 30°＋T2sin 45°＝mω2lsin 30°⑤‎ T1cos 30°＋T2cos 45°＝mg⑥‎ 将数值代入⑤⑥，得T1＝0.27 N，T2＝1.09 N 答案：2.40 rad/s≤ω≤3.16 rad/s　0.27 N　1.09 N ‎[考向3]　两物体有脱离情况的临界状态分析　‎ ‎[典例3]　如图所示，用一根长为l＝‎1 m的细线，一端系一质量为m＝‎1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT.(g取‎10 m/s2，结果可用根式表示)求：‎ ‎(1)若要小球刚好离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？‎ ‎(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？‎ ‎[审题指导]　(1)审关键词：小球刚好离开锥面．‎ ‎(2)思路分析：小球刚好离开锥面时，小球只受重力和绳子的拉力，两个力的合力提供做圆周运动的向心力．‎ ‎[解析]　(1)若要小球刚好离开锥面，则小球只受到重力和细线的拉力，受力分析如图所示．小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得：‎ mgtan θ＝mωlsin θ 解得：ω0＝ ＝ rad/s.‎ ‎(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得：mgtan α＝mω′2lsin α 解得：ω′＝ ＝2 rad/s.‎ ‎[答案]　(1) rad/s　(2)2 rad/s ‎　解决圆锥摆临界问题的技巧 圆锥摆的临界问题，主要就是与弹力有关的临界问题．‎ ‎(1)绳上拉力的临界条件是 ‎①绳恰好拉直且没有弹力；②绳上的拉力恰好达到最大值．‎ ‎(2)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．‎ ‎[题组巩固]‎ ‎1.如图所示，内壁光滑的竖直圆筒，绕中心轴做匀速圆周运动，一物块用细绳系着，绳的另一端系于圆筒上表面圆心，且物块贴着圆筒内表面随圆筒一起转动，则(　　)‎ A．绳的张力可能为零 B．筒对物块的弹力不可能为零 C．随着转动的角速度增大，绳的张力保持不变 D．随着转动的角速度增大，绳的张力一定增大 解析：C　[当物块随圆筒做圆周运动时，绳的拉力的竖直分力与物块的重力保持平衡，因此绳的张力为一定值，且不可能为零，选项A、D错误，C正确；当绳的水平分力恰能提供向心力的时候，筒对物块的弹力恰好为零，选项B错误．]‎ ‎2．(2019·淮南一模)在中轴线竖直且固定的光滑圆锥形容器中，固定了一根光滑的竖直细杆，细杆与圆锥的中轴线重合，细杆上穿有小环(小环可以自由转动，但不能上下移动)，小环上连接了一轻绳，与一质量为m的光滑小球相连，让小球在圆锥内做水平面上的匀速圆周运动，并与圆锥内壁接触，如图所示，图(a)中小环与小球在同一水平面上，图(b)中轻绳与竖直轴成θ角，设(a)图和(b)图中轻绳对小球的拉力分别为Ta和Tb，圆锥内壁对小球的支持力分别为Na和Nb，则在下列说法中正确的是(　　)‎ A．Ta一定为零，Tb一定为零 B．Ta可以为零，Tb可以不为零 C．Na一定不为零，Nb不可以为零 D．Na可以为零，Nb可以不为零 解析：B　[对(a)图中的小球进行受力分析：小球所受的重力与支持力合力的方向指向圆心，提供向心力，所以Ta可以为零；若Na 等于零，则小球所受的重力及绳子拉力的合力方向不能指向圆心，绳子也就不可能处于水平位置，所以Na一定不为零，对(b)图中的小球进行受力分析：小球所受重力与支持力合力的方向可以指向圆心，提供向心力，所以Tb可以为零，也可以不为零；若Nb等于零，则小球所受重力及绳子拉力的合力方向也可以指向圆心而提供向心力，所以Nb可以为零，故B项正确．]‎