【物理】2019届一轮复习人教版　运动图象、追及和相遇问题学案 17页

第三节　运动图象、追及和相遇问题 (对应学生用书第 9 页) [教材知识速填] 知识点 1　直线运动的图象 1．x ­t 图象 (1)物理意义 反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律． (2)两种特殊的 x ­t 图象 ①若 x ­t 图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀速直线运动． ②若 x ­t 图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态． 2．v­t 图象 (1)物理意义 反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律． (2)两种特殊的 v ­t 图象 ①若 v ­t 图象是与横轴平行的直线，说明物体做匀速直线运动． ②若 v ­t 图象是一条倾斜的直线，说明物体做匀变速直线运动. 易错判断 (1)无论是 x ­t 图象还是 v ­t 图象都只能描述直线运动．(√) (2)x ­t 图象交点表示相遇，v ­t 图象的交点表示速度相同．(√) (3)x ­t 图象与时间轴围成的面积表示物体运动的路程．(×) 知识点 2　追及和相遇问题 1．追及问题的两类情况 (1)若后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不 小于前者速度． (2)若后者追不上前者，则当后者速度与前者速度相等时，两者相距最 近． 2．相遇问题的两类情况 (1)同向运动的两物体追及即相遇． (2)相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的 距离时即相遇． 易错判断 (1)两个物体在追及过程中，物体之间的距离总是逐渐减小．(×) (2)速度较大的汽车刹车一定能够避免与前方速度较小的匀速运动的汽车 相撞．(×) [教材习题回访] 考查点：速度—时间图象 1．(人教必修 1P33T2 改编) (多选)a、b、c 三辆汽车在同一平直公路上行驶，它们 的 v ­t 图象如图 1­3­1 所示，由图象可知( ) 图 1­3­1 A．a 汽车做匀速直线运动 B．c 汽车做匀速直线运动 C．0～4 s 内 a、b 两汽车运动方向相同 D．第 3 s 末，b、c 两汽车的加速度相同 [答案]　AC 考查点：两类图象比较 2．(鲁科必修 1P37T4 改编)甲质点做直线运动的 s-t 图象如图 1­3­2(a)所示，乙质 点做直线运动的 v-t 图象如图 1­3­2(b)所示．则( ) (a) (b) 图 1­3­2 A．甲质点在 0～3 s 内的位移为 2 m B．甲质点在 0～1 s 内做匀速直线运动 C．乙质点在 0～1 s 内做匀速直线运动 D．乙质点在 1～3 s 内做匀速直线运动 [答案]　C 考查点：追及相遇问题 3．(鲁科必修 1P37T5 改编)(多选)在同一地点，甲、乙两物体同时沿同一方向做直 线运动的速度—时间图象如图 1­3­3 所示，对 0～6 s 过程，下列说法正确的 是( ) 图 1­3­3 A．两物体两次相遇的时刻是 2 s 末和 6 s 末 B．4～6 s 甲在乙后面 C．两物体相距最远的时刻是 2 s 末 D．乙物体先向前运动 2 s，随后向后运动 [答案]　AB 考查点：位移—时间图象 4．(人教必修 1P41T5 改编)如图中图线Ⅰ为某品牌汽车性能 测试时在某段时间内的 x-t 图象，试通过分析回答以下问题． (1)由图线Ⅰ尽可能详细地描述 0～10 s,10～20 s,20～40 s 三段时间内汽车 的运动性质(含位移、速度、加速度的大小和方向)； (2)若图象的纵坐标改为速度 v(单位为 m/s)、数据不变、重新回答问题(1)； (3)若另一辆汽车的 x-t 图线如Ⅱ所示，试说明两汽车的位置关系．(汽车可 看作质点，两汽车分别在靠近的两直线上) [解析](1)在 0～10 s 内，汽车以 3 m/s 的速度沿正方向做匀速直线运动， 其加速度为 0，位移为 30 m；在 10～20 s 内，汽车在离原点 30 m 处静止 不动；在 20～40 s 内，汽车以 1.5 m/s 的速度沿负方向做匀速直线运动， 其加速度为 0，位移为－30 m. (2)在 0～10 s 内，汽车以 3 m/s2 的加速度从静止开始做匀加速直线运动， 位移为 150 m；在 10～20 s 内，汽车以 30 m/s 的速度做匀速直线运动，加 速度为 0，位移为 300 m；在 20～40 s，汽车以－1.5 m/s2 的加速度，沿正 方向做匀减速直线运动，位移为 300 m. (3)由 x-t 图象知，另一汽车静止在距原点 20 m 处，测试汽车从原点处匀 速运动，在 20 m 处越过另一汽车到达 30 m 处，停止 10 s 又反向返回， 两图线的两次交点均为测试汽车经过另一汽车旁侧对应的位置和时刻． [答案]　见解析 (对应学生用书第 10 页) 运动图象的理解 两类图象的比较 x-t 图象 v-t 图象 轴 纵轴——位移 横轴——时间 纵轴——速度 横轴——时间 线 运动物体的位移与时间的关系 运动物体的速度与时间的关系 斜率 某点的斜率表示该点的瞬时速度 某点的斜率表示该点的加速度 点 两线交点表示两物体相遇 两线交点表示两物体该时刻速度 相同 面积 无意义 图线和时间轴所围的面积，表示物 体运动的位移 截距 在纵轴上的截距表示 t＝0 时的位 移 在纵轴上的截距表示 t＝0 时的速 度 [题组通关] 1．如图 1­3­4 所示是物体做直线运动的 v-t 图象．由图可知，该物体( ) 图 1­3­4 A．第 1 s 内和第 3 s 内的运动方向相反 B．第 3 s 内和第 4 s 内的加速度相同 C．第 1 s 内和第 4 s 内的位移大小不相等 D．0～2 s 和 0～4 s 内的平均速度大小相等 B　[第 1 s 内和第 3 s 内的速度都为正值，运动方向相同，A 项错误；第 3 s 内和第 4 s 内的图象斜率相同，因此加速度相同，B 项正确；第 1 s 内和 第 4 s 内的位移大小都等于图线与横轴所围面积的大小，大小都为 x＝1 2 ×1×1 m＝0.5 m，C 项错误；0～2 s 内的位移和 0～4 s 内的位移相同， 但由于时间不同，因此平均速度不同，D 项错误．] 2．(2018·山西晋中高三联考)(多选)如图 1­3­5 甲、乙所示的位移—时间(x-t)图象 和速度—时间(v-t)图象中，给出了四条曲线 1、2、3、4，代表四个不同物体 的运动情况，则下列说法中错误的是( ) 【导学号：84370025】 甲 乙 图 1­3­5 A．图线 1、3 表示物体做曲线运动 B．x-t 图象中 0～t1 时间内物体 1 和 2 的平均速度相等 C．v-t 图象中 0～t4 时间内物体 3 的速度大于 4 的速度 D．两图象中，t2、t4 时刻分别表示 2、4 开始反向运动 ACD　[x-t 图象和 v-t 图象只能表示物体做直线运动，故 A 错误．由平均 速度v＝Δx Δt 知 x-t 图象中 0～t1 时间内两物体的位移 Δx 相同，时间 Δt 相等， 则平均速度相等，故 B 正确．由 v-t 图象知物体 3 的瞬时速度不是总大于 物体 4 的瞬时速度，故 C 错误．x-t 图线的斜率表示物体的速度，斜率大 于 0，表示物体沿正方向运动，斜率小于 0，表示物体沿负方向运动，t2 时刻之前物体 2 沿正方向运动，t2 时刻之后物体 2 沿负方向运动，故 t2 时 刻物体 2 开始反向运动；v-t 图象中速度的正负表示运动方向，0～t5 这段 时间内物体 4 始终沿正方向运动，故 D 错误．本题选错误的，故选 A、 C、D.] [反思总结]　关于运动图象的三点提醒 (1)x ­t 图象、v ­t 图象都不是物体运动的轨迹，图象中各点的坐标值 x、v 与 t 一一对应. (2)x ­t 图象、v ­t 图象的形状由 x 与 t、v 与 t 的函数关系决. (3)无论是 x ­t 图象还是 v ­t 图象，所描述的运动都是直线运动. 运动图象的应用 1．读图 2．作图和用图 依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或 数学函数图象来研究和处理问题． [多维探究] 考向 1　图象的分析判断 1．(2018·高密模拟)设物体运动的加速度为 a、速度为 v、位移为 s.现有四个不同 物体的运动图象如下列选项所示，假设物体在 t＝0 时的速度均为零，则其中 表示物体做单向直线运动的图象是( ) [题眼点拨]　“单向直线运动”指速度方向不变，与加速度无直接关 系． C　[对 A 项，由位移—时间图象可知，位移随时间先增大后减小，1 s 后 反向运动，故 A 错误；对 B 项，由速度—时间图象可知，物体 2 s 内沿正 方向运动，2～4 s 沿负方向运动，方向改变，故 B 错误；对 C 项，由图 象可知物体在第 1 s 内做匀加速运动，第 2 s 内做匀减速运动，2 s 末速度 减为 0，然后重复前面的过程，是单向直线运动，故 C 正确；对 D 项， 由图象可知物体在第 1 s 内做匀加速运动，1～3 s 内做匀减速运动，2 s 末 速度减为 0，第 3 s 内沿负方向运动，不是单向直线运动，故 D 错误．] 2．A 物体从离地面高 10 m 处做自由落体运动，1 s 后 B 物体从离地面高 15 m 处 做自由落体运动，下面物理图象中对 A、B 的运动状态描述合理的是( ) 【导学号：84370026】 A　[两者都做自由落体运动，速度在增大，C 错误；根据公式可得位移是 关于时间 t 的二次函数，D 错误；因为 A 先下落，所以当 B 开始运动时， A 已有了一定的速度，故 A 正确．] 小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复 上述运动．取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向．下列 速度 v 和位置 x 的关系图象中，能描述该过程的是( ) A　[由题意知在运动过程中小球机械能守恒，设机械能为 E，小球离地面 高度为 x 时速度为 v，则有 mgx＋1 2mv2＝E，可变形为 x＝－v2 2g ＋ E mg ，由 此方程可知图线为开口向左、顶点在( E mg ，0)的抛物线，故选项 A 正确．] [反思总结]　“三步”巧用图象分析物理问题 (1)认真审题，根据题中所需求解的物理量，结合相应的物理规律确定横、 纵坐标所表示的物理量. (2)根据题意，结合具体的物理过程，应用相应的物理规律，将题目中的 速度、加速度、位移、时间等物理量的关系通过图象准确直观地反映出来. (3)题目中一般会直接或间接给出速度、加速度、位移、时间四个量中的 三个量的关系，作图时要通过这三个量准确确定图象，然后利用图象对第 四个量作出判断. 考向 2　图象间的转换 3．(2018·武汉模拟)一物体由静止开始沿直线运动，其加速度随时间变化的规律 如图 1­3­6 所示，取物体开始运动的方向为正方向，则下列关于物体运动的 v­t 图象正确的是( ) 图 1­3­6 [题眼点拨]　①“由静止开始”指初速度为0；②“开始运动的方向为正” 指初始加速度的方向为正． C　[在 0～1 s 内，a1＝1 m/s2，物体从静止开始做正向匀加速运动，速度 图象是一条直线，1 s 末速度 v1＝a1t＝1 m/s，在 1～2 s 内，a2＝－1 m/s2， 物体将仍沿正方向运动，但要减速，2 s 末时速度 v2＝v1＋a2t＝0,2～3 s 内 重复 0～1 s 内运动情况，3～4 s 内重复 1～2 s 内运动情况，则 C 正确．] 4．某物体做直线运动的 v-t 图象如图 1­3­7 所示，据此判断四个选项中(F 表示 物体所受合力，x 表示物体的位移)正确的是( ) 【导学号：84370027】 图 1­3­7 A B C D B　[根据 v-t 图象的斜率可知：0～2 s 内与 6～8 s 内物体的加速度大小相 等、方向相同，故所受合力相同，A 错误.2～6 s 内物体的加速度恒定，合 力恒定，且大小与 0～2 s 内的相同，方向与 0～2 s 内相反，B 正确．根 据 v-t 图象可知，0～4 s 内物体先沿正方向做匀加速直线运动，然后做匀 减速直线运动，4～8 s 内先沿负方向做匀加速直线运动，然后做匀减速直 线运动，再结合 v-t 图线包围面积的意义可知，0～4 s 内物体的位移不断 增大，4 s 末达到最大值，8 s 末返回到出发点，C、D 错误．] [反思总结]　“图象转换”的思路及三个注意点 (1)图象转换是近几年高考的热点，有一定的综合性和拓展空间.其分析思 路如下： (2)转换时要注意以下三点： ①合理划分运动阶段，分阶段进行图象转换；②注意相邻运动阶段的衔接， 尤其是运动参量的衔接；③注意图象转换前后核心物理量间的定量关系， 如例题中 v 与 a 的关系和 a 与 F 的关系，这是图象转换的依据. 一物体做直线运动，其加速度随时间变化的 a-t 图象如图所示．下列 v-t 图象中，可以正确描述此物体运动情况的是( ) 　 A B 　 C 　D D　[由 a-t 图象可知，0～T 2 时间内，a＝a0＞0，若 v0≥0，物体做匀加速 运动；若 v0＜0，物体做匀减速运动，选项 B、C 错误．由于 T～2T 时间 内，a＝－a0＜0，故物体在 v0≥0 时做匀减速运动，且图线斜率的绝对值 与 0～T 2 时间内相同，选项 A 错误，D 正确．] 追及和相遇问 题 1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系 (1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两 者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点． (2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图 得到． 2．追及相遇问题常见的三种情况 假设物体 A 追物体 B，开始时，两个物体相距 x0，则： (1)A 追上 B 时，必有 xA－xB＝x0，且 vA≥vB. (2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有 xA －xB＝x0，vA＝vB. (3)若使两物体保证不相撞，则要求当 vA＝vB 时，xA－xB＜x0，且之后 vA≤vB. 3．解答追及相遇问题的三种常用方法 (1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认 真审题，挖掘题目中的隐含条件，建立一幅物体运动关系的图景． (2)数学极值法：设相遇时间为 t，根据条件列方程，得到关于位移 x 与时 间 t 的函数关系，由此判断两物体追及或相遇情况． (3)图象法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图象中画出，然后 利用图象分析求解相关问题． [母题]　一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 a＝3 m/s2 的加速度 开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以 v 自＝6 m/s 的速度匀速驶来，从旁边 超过汽车．试求： (1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？ 此时距离是多少？ (2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？ 【自主思考】 (1)两车相距最远的条件是什么？ [提示]　两车车速相等 (2)汽车追上自行车的条件是什么？ [提示]　两车位移相等 [解析]　(1)解法一：(物理分析法) 汽车与自行车的速度相等时相距最 远，设此时经过的时间为 t1，两车间的距离为 Δx，则有 v 自＝at1 所以 t1＝v自 a ＝2 s Δx＝v 自 t1－1 2at21＝6 m. 解法二：(极值法)　设汽车在追上自行车之前经过时间 t1 两车相距最远， 则 Δx＝v 自 t1－1 2at21 代入已知数据得 Δx＝6t1－3 2t21 由二次函数求极值的条件知 t1＝2 s 时，Δx 有最大值 6 m. 所以经过 t1＝2 s 后，两车相距最远，为 Δx＝6 m. 解法三：(图象法) 自行车和汽车的 v-t 图象如图所示．由图可以看出， 在相遇前，t1 时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角 形的面积，所以有 t1＝v2 a ＝6 3 s＝2 s Δx＝v2t1 2 ＝6 × 2 2 m＝6 m. (2)解法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为 t2，则有 v 自 t2＝1 2at22 解得 t2＝2v自 a ＝2 × 6 3 s＝4 s 此时汽车的速度 v1′＝at2＝12 m/s. 解法二：由前面画出的v-t 图象可以看出，在 t1 时刻之后，当由图线 v 自、 v 汽和 t＝t2 构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与 自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以 t2＝2t1＝4 s，v1′＝at2＝ 3×4 m/s＝12 m/s. [答案](1)2 s　6 m　(2)4 s　12 m/s [母题迁移] 迁移 1　与运动图象相结合 1．如图 1­3­8 甲所示，A 车原来临时停在一水平路面上，B 车在后面匀速向 A 车 靠近，A 车司机发现后启动 A 车，以 A 车司机发现 B 车为计时起点(t＝0)， A、B 两车的 v-t 图象如图乙所示．已知 B 车在第 1 s 内与 A 车的距离缩短了 x1＝12 m. 甲 乙 图 1­3­8 (1)求 B 车运动的速度 vB 和 A 车的加速度 a 的大小； (2)若 A、B 两车不会相撞，则 A 车司机发现 B 车时(t＝0)两车的距离 s0 应 满足什么条件？ 【导学号：84370028】 [题眼点拨]　①“B 车在 1 s 内…距离缩短…”结合 v­t 图象知即为第 1 s 内 B 车行驶距离；②“距离 s0 应满足…”即指s0 应大于 5 s 内两车位移之 差． [解析](1)在 t1＝1 s 时 A 车刚启动，两车间缩短的距离 x1＝vBt1 ① 代入数据解得 B 车的速度 vB＝12 m/s ② a＝ vB t2－t1 ③ 将 t2＝5 s 和其余数据代入解得 A 车的加速度大小 a＝3 m/s2. ④ (2)两车的速度达到相等时，两车的距离达到最小，对应于 v-t 图象的 t2＝ 5 s 时刻，此时两车已发生的相对位移为梯形的面积，则 s＝1 2vB(t1＋t2) ⑤ 代入数据解得 s＝36 m ⑥ 因此，若 A、B 两车不会相撞，则两车的距离 s0 应满足条件 s0>36 m．⑦ [答案](1)12 m/s　3 m/s2　(2)s0＞36 m 甲、乙两车从相距 110 m 的两地相向运动，它们的 v-t 图象如图所示，忽 略车掉头所需时间． (1)求 t＝4 s 时甲、乙两车各自的位移大小； (2)通过计算说明两车是否相遇．如能相遇，则计算相遇点的位置；如不 能相遇，则计算两车间的最小距离． [解析](1)由 v-t 图象可知，甲向乙做匀减速运动，加速度大小 a1＝4 m/s2 乙向甲先做加速运动后做减速运动，加速度大小分别为 a2＝10 m/s2 和 a2′＝30 m/s2 t＝4 s 时甲的位移大小为 x1＝v0t－1 2a1t2＝48 m 乙的位移大小为 x2＝1 2 ×4×30 m＝60 m. (2)乙车 t＝4 s 时掉头开始做与甲同向的初速度为零的匀加速运动，甲、乙 两车此时相距 Δx＝110 m－x1－x2＝2 m， 甲的速度大小为 v1＝v0－a1t＝4 m/s 假设两车从 t＝4 s 时再经 t1 时间能够相遇 乙的位移大小 x2′＝1 2a2′t21 甲的位移大小 x1′＝v1t1－1 2a1t21 两车相遇应满足 x2′＝x1′－Δx 联立并整理得 17t21－4t1＋2＝0，由判别式可知方程无解，所以假设不成立， 两车不能相遇． 设从 t＝4 s 时再经 t2 时间两车速度相等，即两车相距最近，有 a2′t2＝v1－ a1t2，可得 t2＝ 2 17 s 即两车间最小距离 xmin＝1 2a2′t22＋Δx－(v1t2－1 2a1t22)＝1.76 m. [答案](1)48 m　60 m　(2)1.76 m 迁移 2　与实际问题相结合 2．(2018·济宁模拟)A、B 两列火车，在同一轨道上同向行驶，A 车在前，其速度 vA＝10 m/s，B 车在后，其速度 vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B 车在距 A 车 x0＝85 m 时才发现前方有 A 车，这时 B 车立即刹车，但 B 车要经过 180 m 才 能停止，问：B 车刹车时 A 车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞， 将在 B 车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？ 【导学号：84370029】 [解析]　设 B 车刹车过程的加速度大小为 aB， 由 v2－v20＝2ax 可得 02－302＝2(－aB)×180 解得 aB＝2.5 m/s2 设经过时间 t 两车相撞，则有 vBt－1 2aBt2＝x0＋vAt， 即 30t－1 2 ×2.5t2＝85＋10t 整理得 t2－16t＋68＝0 由 Δ＝162－4×68＜0 可知 t 无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两 车相距最近，此时 vA＝vB－aBt1，t1＝8 s 此过程中 xB＝vBt1－1 2aBt21＝160 m xA＝vAt1＝80 m， 两车的最近距离 Δx＝x0＋xA－xB＝5 m. [答案]　不会相撞　5 m 甲、乙两车相距 40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速 度 v1＝16 m/s，加速度 a1＝2 m/s2 做匀减速直线运动，乙车在后，以初速 度 v2＝4 m/s，加速度 a2＝1 m/s2，与甲同向做匀加速直线运动．求： (1)甲、乙两车相遇前相距的最大距离； (2)乙车追上甲车经历的时间． [解析](1)甲、乙两车速度相等时距离最大，设时间为 t1 时，两车的速度相 等，则 v1－a1t1＝v2＋a2t1 即 16－2t1＝4＋t1，解得 t1＝4 s 对甲车 x1＝v1t1－1 2a1t21＝48 m 对乙车 x2＝v2t1＋1 2a2t21＝24 m 故甲、乙两车相遇前相距的最大距离： xmax＝x0＋x1－x2＝64.5 m. (2)甲车运动的时间 t2＝v1 a1 ＝8 s 在甲车运动时间内，甲车位移： x1′＝v1 2 t2＝64 m 乙车位移 x2′＝v2t2＋1 2a2t22＝64 m 故甲车停止时，甲、乙两车仍相距 x＝40.5 m，甲车停止时，乙车的速度 v2′＝v2＋a2t2＝12 m/s， 故 x＝v2′t3＋1 2a2t23 即 40.5＝12t3＋1 2t23，解得 t3＝3 s 乙车追上甲车的时间 t＝t2＋t3＝11 s. [答案](1)64.5 m　(2)11 s [反思总结]　求解追及问题的“四点”技巧 (1)紧抓“一图三式”，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移 关系式. (2)追及者与被追及者的速度相等，往往是追上、追不上或二者相距最近、 最远的临界条件，也是分析解决问题的突破口. (3)若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意被追上前该物体是否已停 止运动.对物体的实际运动情景、运动时间要做出判断. (4)仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件， 如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等，往往对应一个临界状态，要满 足相应的临界条件.)