高考物理精讲：专题4+万有引力定律及应用（高考定位+审题破题，含原创题组及解析） 14页

高考定位 关于万有引力定律及应用知识的考查，主要表现在两个方面：(1)天体质量和密度的计算：主 要考查对万有引力定律、星球表面重力加速度的理解和计算．(2)人造卫星的运行及变轨：主 要是结合圆周运动的规律、万有引力定律，考查卫星在轨道运行时线速度、角速度、周期的 计算，考查卫星变轨运行时线速度、角速度、周期以及有关能量的变化．以天体问题为背景 的信息题，更是受专家的青睐．高考中一般以选择题的形式呈现．从命题趋势上看，对本部 分内容的考查仍将延续与生产、生活以及航天科技相结合，形成新情景的物理题． 考题 1 对天体质量和密度的考查 例 1 (双选)(2014·广东·21)如图 1 所示，飞行器 P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行 器的张角为θ，下列说法正确的是( ) 图 1 A．轨道半径越大，周期越长 B．轨道半径越大，速度越大 C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度 D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度 审题突破 根据开普勒第三定律，分析周期与轨道半径的关系；飞行器 P 绕某星球做匀速圆 周运动，由星球的万有引力提供向心力，根据万有引力定律和几何知识、密度公式可求解星 球的平均密度． 解析 设星球质量为 M，半径为 R，飞行器绕星球转动半径为 r，周期为 T.由 GMm r2 ＝m4π2 T2 r 知 T＝2π r3 GM ，r 越大，T 越大，选项 A 正确；由 GMm r2 ＝m v2 r 知 v＝ GM r ，r 越大，v 越小，选项 B 错误；由 GMm r2 ＝m4π2 T2 r 和ρ＝ M 4 3πR3 得ρ＝ 3πr3 GT2R3 ，又R r ＝sin θ 2 ，所以ρ＝ 3π GT2sin3θ 2 ， 所以选项 C 正确，D 错误． 答案 AC 1．(单选)(2014·新课标Ⅱ·18)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度 在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g，地球自转的周期为 T，引力常量为 G.地球的密度为 ( ) A.3πg0－g GT2g0 B. 3πg0 GT2g0－g C. 3π GT2 D.3πg0 GT2g 答案 B 解析 物体在地球的两极时，mg0＝GMm R2 ，物体在赤道上时，mg＋m(2π T )2R＝GMm R2 ，又 M＝ 4 3πR3ρ，联立以上三式解得地球的密度ρ＝ 3πg0 GT2g0－g.故选项 B 正确，选项 A、C、D 错误． 2．(单选)专家称嫦娥四号探月卫星为“四号星”，计划在 2017 年发射升空，它的主要任务 是更深层次、更全面的科学探测月球地貌等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球表面 的重力加速度为 g，月球的平均密度为ρ.月球可视为球体，“四号星”离月球表面的高度为 h， 绕月做匀速圆周运动的周期为 T.仅根据以上信息不能求出的物理量是( ) A．月球质量 B．万有引力常量 C．“四号星”与月球间的万有引力 D．月球的第一宇宙速度 答案 C 解析 设月球的半径为 R，由 GMm R2 ＝mg 和 M＝4 3πR3ρ可得4 3πRGρ＝g ① 由 M＝4 3πR3ρ和 GMm R＋h2 ＝m(R＋h)4π2 T2 可得 4 3GπR3ρ＝(R＋h)34π2 T2 ② 由①②两式相比可解半径 R，代入①可求得万有引力常量，故选项 B 错误；由 M＝4 3πR3ρ可 求得月球质量，故选项 A 错误；由GMm R2 ＝m v2 R 可求出第一宇宙速度，故选项 D 错误；由于 不知道卫星的质量，故不能求得卫星与月球之间的万有引力，故选项 C 正确． 估算中心天体质量和密度的两条思路 1．测出中心天体表面的重力加速度 g，估算天体质量，GMm R2 ＝mg，进而求得ρ＝M V ＝ M 4 3πR3 ＝ 3g 4πGR. 2．利用环绕天体的轨道半径 r、周期 T，估算天体质量，GMm r2 ＝m4π2 T2 r，即 M＝4π2r3 GT2 .当环绕 天体绕中心天体表面做匀速圆周运动时，轨道半径 r＝R，则ρ＝ M 4 3πR3 ＝ 3π GT2. 考题 2 对人造卫星有关物理量的考查 例 2 (双选)如图 2 所示，在同一轨道平面上的三个人造地球卫星 A、B、C 在某一时刻恰 好在同一直线上，下列说法中正确的是( ) 图 2 A．根据 v＝ gr，可知 vAFB>FC C．卫星的向心加速度 aA>aB>aC D．卫星运动一周后，A 先回到原地点 审题突破 由万有引力定律比较万有引力的大小．根据 v＝ GM r 、a＝GM r2 、T＝ 4π2r3 GM 比 较三颗卫星的速度大小、向心加速度的大小、周期的大小，分析哪颗卫星先回到原点． 解析 公式 v＝ gr只适用于地面附近卫星(或飞行物)，如果距离地面很远，其重力加速度改 变，公式不再适用，A 错误；根据万有引力定律 F＝GMm r2 ，可知当卫星质量不知时，万有引 力不确定，B 错误；根据 a＝GM r2 ，卫星的向心加速度 aA>aB>aC，C 正确；根据 T＝2π r3 GM ， A 周期短，卫星运动一周后，A 先回到原地点，D 正确． 答案 CD 3．(单选)如图 3 所示，A 是放在地球赤道上的一个物体，正在随地球一起转动．B 是赤道上 方一颗近地卫星．A 和 B 的质量相等，忽略 B 的轨道高度，下列说法正确的是( ) 图 3 A．A 和 B 做圆周运动的向心加速度相等 B．A 和 B 受到的地球的万有引力相等 C．A 做圆周运动的线速度比 B 大 D．B 做圆周运动的周期比 A 长 答案 B 解析 A 和 B 受到的地球的万有引力相等，选项 B 正确；对赤道上的物体来说：F 引－FN＝ ma1，对近地卫星来说： F 引＝ma2，所以 B 的向心加速度大于 A，选项 A 错误；由 a＝v2 R 可 知，B 的线速度大于 A，选项 C 错误；由 T＝2πR v 可知，B 做圆周运动的周期比 A 短，选项 D 错误． 4．(单选)火星表面特征非常接近地球，可能适合人类居住.2010 年，我国志愿者王跃参与了 在俄罗斯进行的“模拟登火星”实验活动．已知火星半径是地球半径的1 2 ，质量是地球质量的 1 9 ，自转周期也基本相同．地球表面重力加速度是 g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度 是 h，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是( ) A．王跃在火星表面所受火星引力是他在地球表面所受地球引力的2 9 倍 B．火星表面的重力加速度是2g 3 C．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 2 3 倍 D．王跃在火星上向上跳起的最大高度是3h 2 答案 C 解析 根据 GMm R2 ＝mg 可知，mg 火＝4 9mg，A 错误；火星表面的重力加速度 g 火＝4 9g，B 错误； 根据 mg＝mv2 R 可得 v＝ gR，可以求出火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的 2 3 倍，C 正确；根据 mgh＝1 2mv2，若起跳速度相同时，若在地球上跳起的最大高度为 h，则在火星上 向上跳起的最大高度是9h 4 ，D 错误． 5．(单选)如果把水星和金星绕太阳的轨道视为圆周，如图 4 所示，从水星与金星在一条直线 上开始计时，若测得在相同时间内水星、金星转过的角度分别为θ1、θ2(均为锐角)，则由此条 件可求得水星和金星( ) 图 4 A．质量之比 B．绕太阳的动能之比 C．到太阳的距离之比 D．受到的太阳引力之比 答案 C 解析 水星和金星作为环绕体，无法求出质量之比，故 A 错误．由于不知道水星和金星的质 量关系，故不能计算它们绕太阳的动能之比，故 B 错误．相同时间内水星转过的角度为θ1， 金星转过的角度为θ2，可知道它们的角速度之比，根据万有引力提供向心力：GMm r2 ＝mrω2， 解得 r＝ 3 GM ω2 ，知道了角速度之比，就可求出轨道半径之比，即到太阳的距离之比，故 C 正确．由于不知道水星和金星的质量关系，故不能计算它们受到的太阳引力之比，故 D 错误． 1．人造卫星做匀速圆周运动时所受万有引力完全提供其所需向心力，即 GMm r2 ＝mv2 r ＝mrω2 ＝m4π2 T2 r，由此可以得出 v＝ GM r ，ω＝ GM r3 ，T＝2π r3 GM. 2．同步卫星指相对地面静止的卫星，其只能定点于赤道上空，离地面的高度是一定值，其周 期等于地球自转周期． 3．卫星运行的向心加速度就是引力加速度，由 GMm r2 ＝mg′可知 g′＝GM r2 ＝G M R＋h2 ，其大 小随 h 的增大而减小． 考题 3 对航天器变轨问题的考查 例 3 (双选)2013 年 12 月 2 日凌晨，我国发射了“嫦娥三号”登月探测器．“嫦娥三号” 由地月转移轨道到环月轨道飞行的示意图如图 5 所示，P 点为变轨点，则“嫦娥三号”( ) 图 5 A．经过 P 点的速率，轨道 1 的一定大于轨道 2 的 B．经过 P 点的加速度，轨道 1 的一定大于轨道 2 的 C．运行周期，轨道 1 的一定小于轨道 2 的 D．具有的机械能，轨道 1 的一定大于轨道 2 的 审题突破 ①“嫦娥三号”从轨道 1 进入轨道 2 的过程中，发动机对卫星做负功，卫星的机 械能减小；②在不同轨道上的 P 点卫星的加速度都由万有引力产生，在同一位置万有引力大 小相同产生的加速度大小相同；③根据开普勒行星运动定律根据半长轴关系求解周期关系． 解析 卫星在轨道 1 上经过 P 点时减速，使其受到的万有引力大于需要的向心力而做向心运 动，才能进入轨道 2，故经过 P 点的速率，轨道 1 的一定大于轨道 2 的，故 A 正确．根据万 有引力提供向心力 GMm r2 ＝ma，得 a＝GM r2 ，由此可知，到月球的距离 r 相同，a 相等，故经 过 P 点的加速度，轨道 1 的一定等于轨道 2 的，故 B 错误．根据开普勒第三定律r3 T2 ＝k 可知， r 越大，T 越大，故轨道 1 的周期一定大于轨道 2 的运行周期，故 C 错误．因为卫星在轨道 1 上经过 P 点时减速做向心运动才能进入轨道 2，即外力对卫星做负功，机械能减小，故轨道 1 的机械能一定大于轨道 2 的机械能，故 D 正确． 答案 AD 6．(双选)由于某种原因，人造地球卫星的轨道半径减小了，那么( ) A．卫星受到的万有引力增大、线速度减小 B．卫星的向心加速度增大、周期减小 C．卫星的动能、重力势能和机械能都减小 D．卫星的动能增大，重力势能减小，机械能减小 答案 BD 解析 卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供圆周运动向心力：GMm r2 ＝mv2 r ＝m4π2 T2 r＝ma，知 万有引力与距离的二次方成反比，半径减小则万有引力增大，线速度 v＝ GM r ，知半径减 小，线速度增大，选项 A 错误；a＝GM r2 ，知 r 减小，a 增大，T＝ 4π2r3 GM ，r 减小，T 减小， 选项 B 正确；卫星运行的线速度 v＝ GM r 知半径减小，线速度 v 增大，故动能增大，卫星 轨道高度降低则其重力势能减小，在轨道减小的过程中由于阻力的存在，卫星要克服阻力做 功，机械能减小，选项 C 错误，选项 D 正确． 1．当卫星的速度突然增加时，GMm r2 mv2 r ，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动， 脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v＝ GM r 可知，其 运行速度与原轨道相比增大了． 3．比较不同圆轨道上的速度大小时应用 v＝ GM r 进行判断，不能用 v＝ωr 进行判断，因为 ω也随 r 的变化而变化. 考题 4 对双星及多星问题的考查 例 4 (双选)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周 运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大星体的表面物质，造成质量转移．根 据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道仍近似为圆，则在该过程 中( ) A．双星做圆周运动的角速度不断减小 B．双星做圆周运动的角速度不断增大 C．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小 D．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大 审题突破 ①双星绕连线上的一点转动，角速度ω(周期 T)相等．②双星间的万有引力提供向 心力．③几何关系 l＝r1＋r2. 解析 由双星的运动有 m1ω2r1＝m2ω2r2，G m1m2 r1＋r22 ＝m1ω2r1，联立可得：ω＝ Gm1＋m2 r1＋r23 ， r1＝m2r1＋r2 m1＋m2 ，所以 A、D 正确． 答案 AD 7．(单选)(2013·山东·20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其 连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质 量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时 间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动 的周期为( ) A. n3 k2T B. n3 k T C. n2 k T D. n kT 答案 B 解析 双星靠彼此的引力提供向心力，则有 Gm1m2 L2 ＝m1r1 4π2 T2 Gm1m2 L2 ＝m2r2 4π2 T2 并且 r1＋r2＝L 解得 T＝2π L3 Gm1＋m2 当双星总质量变为原来的 k 倍，两星之间距离变为原来的 n 倍时 T′＝2π n3L3 Gkm1＋m2 ＝ n3 k ·T 故选项 B 正确． 8．(双选)宇宙间存在一些离其它恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统，如图 6 所示， 三颗质量均为 m 的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 R，忽略其它星体对它们 的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心 O 做匀速圆周运动，万有引力常量为 G，则 ( ) 图 6 A．每颗星做圆周运动的线速度为 Gm R B．每颗星做圆周运动的角速度为 Gm R3 C．每颗星做圆周运动的周期为 2π R3 3Gm D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 答案 AC 解析 每颗星受到的合力 F＝2×Gm2 R2 ×sin 60°＝ 3Gm2 R2 ，轨道半径 r＝ 3 3 R，由向心力公式 F ＝ma＝mv2 r ＝mω2r＝m4π2r T2 ，解得 v＝ Gm R ，ω＝ 3Gm R3 ，T＝2π R3 3Gm ，因为 a＝F m ，显然 加速度 a 与 m 有关，故 A、C 均正确，B、D 错误． 一个分析、求解双星或多星问题的两个关键 1．向心力来源：双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力；多星问题中，向心力则来 源于其余星体的万有引力的合力． 2．圆心或轨道半径的确定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星 质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的距离当作轨道半 径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题 时一定要弄清题给条件． 知识专题练 训练 4 题组 1 天体质量和密度 1．(单选)“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道．观察“嫦娥三号”在环月轨道上的 运动，发现每经过时间 t 通过的弧长为 l，该弧长对应的圆心角为θ弧度，如图 1 所示．已知 万有引力常量为 G，由此可计算出月球的质量为( ) 图 1 A．M＝l3θ Gt2 B．M＝ l3 Gθt2 C．M＝ l Gθt2 D．M＝ l2 Gθt2 答案 B 解析 线速度为 v＝l t 角速度为ω＝θ t 根据线速度和角速度的关系公式，有 v＝ωr 由几何关系可知，r＝l θ 卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 GMm r2 ＝mvω 联立解得 M＝ l3 Gθt2 2．(单选)2013 年 12 月，我国成功地进行了“嫦娥三号”的发射和落月任务，进一步获取月 球的相关数据．该卫星在月球上空绕月球做匀速圆周运动时，经过时间 t，卫星行程为 s，卫 星与月球中心连线扫过的角度是θ弧度，万有引力常量为 G，月球半径为 R，则可推知月球密 度的表达式是( ) A. 3t2θ 4πGs3R3 B. 3s3 4θπGt2R3 C.4θπR3Gt2 3s3 D.4πR3Gs3 3θt2 答案 B 解析 根据题意得： 卫星运行的角速度ω＝θ t 线速度 v＝s t 半径 r＝v ω ＝s θ 设月球的质量为 M，卫星的质量为 m，根据万有引力提供向心力，有 GMm r2 ＝mv2 r 解得 M＝v2r G 密度ρ＝ M 4 3πR3 ＝ 3s3 4θπGt2R3 3．(单选)发射一月球探测器绕月球做匀速圆周运动，测得探测器在离月球表面高度分别为 h1 和 h2 的圆轨道上运动时，周期分别为 T1 和 T2.设想月球可视为质量分布均匀的球体，万有引 力常量为 G.仅利用以上数据，不可以计算出( ) A．月球的质量 B．探测器的质量 C．月球的密度 D．探测器在离月球表面高度为 h1 的圆轨道上运动时的加速度大小 答案 B 解析 万有引力提供探测器做圆周运动所需的向心力，G Mm R＋h12 ＝m4π2 T 21 (R＋h1)，G Mm R＋h22 ＝ m4π2 T 22 (R＋h2)，联立两方程，可求出月球的质量和半径．探测器绕月球做圆周运动，是环绕天 体，在计算时被约去，所以无法求出探测器的质量．月球的密度根据定义为ρ＝M V ＝ M 4 3πR3 ，由 于 M 和 R 都能求出，故月球的密度能求出．根据万有引力定律和牛顿第二定律 G Mm R＋h12 ＝ ma，得 a＝ GM R＋h12 ，由于 M 和 R 都能求出，故加速度 a 能求出，故 B 正确． 题组 2 人造卫星有关物理量 4．(单选)有 a、b、c、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b 处于地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，设地球自转周期 为 24 h，所有卫星均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图 2 所示，则有( ) 图 2 A．a 的向心加速度等于重力加速度 g B．c 在 4 h 内转过的圆心角是π 6 C．b 在相同时间内转过的弧长最长 D．d 的运动周期有可能是 23 h 答案 C 解析 地球表面随地球自转的卫星，万有引力近似等于重力，则 a 的向心加速度远小于 g，A 错误；c 为同步卫星，运动周期为 24 h，则 4 h 内转过角度为π 3 ，B 错误；b、c、d 三个卫星 中，b 线速度最大，相同时间内转过的弧长最长，C 正确；d 运动周期比 c 大，大于 24 h，D 错误． 5．(单选)已知近地卫星线速度大小为 v1、向心加速度大小为 a1，地球同步卫星线速度大小为 v2、向心加速度大小为 a2.设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的 6 倍．则以下结论正确的是( ) A.v1 v2 ＝ 6 1 B.a1 a2 ＝49 1 C.a1 a2 ＝7 1 D.v1 v2 ＝7 1 答案 B 解析 设地球半径为 R，对于近地卫星有 GMm R2 ＝mv 21 R ＝ma1 得 v1＝ GM R ，a1＝GM R2 ，设同 步卫星距地面高度为 h，对于同步卫星有 G Mm R＋h2 ＝m v 22 R＋h ＝ma2，又 h＝6R，v2＝ GM 7R ， a2＝ GM 49R2 ，可得：v1 v2 ＝ 7 1 ，a1 a2 ＝49 1 ，所以 B 正确，A、C、D 错误． 6．(单选)埃隆·马斯克首次对媒体透露了在火星建立社区的“火星移民”计划．假设火星移民 通过一代又一代坚韧不拔的努力，不仅完成了“立足”火星的基本任务，而且还掌握了探测 太空的完整技术．已知火星半径是地球半径的1 2 ，火星质量是地球质量的 1 10 ，在地球上发射人 造地球卫星时的最小发射速度为 v，则火星人在火星上发射人造火星卫星时的最小发射速度 为( ) A. 10 5 v B. 5 5 v C. 2 2 v D．v 答案 B 解析 在星球上发射人造卫星时，当卫星轨道半径近似等于该星球半径时，发射速度最小．设 火星人在火星上发射人造火星卫星时的最小发射速度为 v 火，则由万有引力定律和牛顿第二定 律得：GM 火 m R 2火 ＝mv 2火 R 火 ，解得：v 火＝ GM 火 R 火 ，同理得：v＝ GM 地 R 地 ，又 R 火＝1 2R 地，M 火＝ 1 10M 地，以上各式联立解得：v 火＝ 5 5 v，故选 B. 7．(单选)2014 年 3 月 8 日马来西亚航空公司从吉隆坡飞往北京的航班 MH370 失联，MH370 失联后多个国家积极投入搜救行动，在搜救过程中卫星发挥了巨大的作用．其中我国的北斗 导航系统和美国的 GPS 导航系统均参与搜救工作．北斗导航系统包含 5 颗地球同步卫星，而 GPS 导航系统由运行周期为 12 小时的圆轨道卫星群组成，则下列说法正确的是( ) A．发射人造地球卫星时，发射速度只要大于 7.9 km/s 就可以 B．卫星向地面上同一物体拍照时 GPS 卫星拍摄视角小于北斗同步卫星拍摄视角 C．北斗同步卫星的机械能一定大于 GPS 卫星的机械能 D．北斗同步卫星的线速度与 GPS 卫星的线速度之比为3 1 2 答案 D 解析 7.9 km/s 是发射卫星的最小速度，不同的卫星发射速度不同，故 A 错误；北斗导航系 统包含 5 颗地球同步卫星，而 GPS 导航系统由运行周期为 12 小时的圆轨道卫星群组成，所 以卫星向地面上同一物体拍照时 GPS 卫星拍摄视角大于北斗同步卫星拍摄视角，故 B 错误； 由于卫星的质量关系不清楚，所以无法比较机械能的大小关系，故 C 错误；GPS 由运行周期 为 12 小时的卫星群组成，同步卫星的周期是 24 小时，所以北斗导航系统中的同步卫星和 GPS 导航卫星的周期之比为 T1∶T2＝2∶1.根据万有引力提供向心力得 r＝3 GMT2 4π2 ，所以北斗同 步卫星的轨道半径与 GPS 卫星的轨道半径之比是3 4∶1，根据 v＝ GM r 得北斗同步卫星的 线速度与 GPS 卫星的线速度之比为3 1 2 ，故 D 正确． 题组 3 对航天器变轨问题 8．(单选)“嫦娥三号”任务是我国探月工程“绕、落、回”三步走中的第二步，“嫦娥三号” 分三步实现了在月球表面平稳着陆．一、从 100 公里×100 公里的绕月圆轨道上，通过变轨 进入 100 公里×15 公里的绕月椭圆轨道；二、着陆器在 15 公里高度开启发动机反推减速， 进入缓慢的下降状态，到 100 米左右着陆器悬停，着陆器自动判断合适的着陆点；三、缓慢 下降到距离月面 4 米高度时无初速度自由下落着陆，月球表面的重力加速度为地球表面的1 6. 如图 3 所示是“嫦娥三号”飞行轨道示意图(悬停阶段示意图未画出)．下列说法错误的是 ( ) 图 3 A．“嫦娥三号”在椭圆轨道上的周期小于圆轨道上的周期 B．“嫦娥三号”在圆轨道和椭圆轨道经过相切点时的加速度相等 C．着陆器在 100 米左右悬停时处于失重状态 D．着陆瞬间的速度一定小于 4 m/s 答案 C 解析 “嫦娥三号”在椭圆轨道上的周期和在圆轨道上的周期可以通过开普勒第三定律分 析，即R 3圆 T 2圆 ＝R 3椭 T 2椭 ，由于 R 圆>R 椭，则 T 圆>T 椭，故选项 A 正确；据向心加速度 a＝G M R2 可知， 切点加速度相等，故选项 B 正确；当着陆器处于悬停状态时受力平衡，既不超重也不失重， 故选项 C 错误；由于着陆瞬间做自由落体运动，则着陆瞬间速度为 v＝ 2g′h＝ 2gh 6 ＝ 40 3 m/s<4 m/s，故选项 D 正确． 9．(单选)在地球大气层外有大量的太空垃圾．在太阳活动期，地球大气会受太阳风的影响而 扩张，使一些原本在大气层外绕地球飞行的太空垃圾被大气包围，从而开始向地面下落．大 部分太空垃圾在落地前已经燃烧成灰烬，但体积较大的太空垃圾仍会落到地面上，对人类造 成危害．太空垃圾下落的原因是( ) A．大气的扩张使垃圾受到的万有引力增大而导致下落 B．太空垃圾在与大气摩擦燃烧过程中质量不断减小，进而导致下落 C．太空垃圾的上表面受到的大气压力大于其下表面受到的大气压力，这种压力差将它推向 地面 D．太空垃圾在大气阻力作用下速度减小，运动所需的向心力将小于万有引力，垃圾做趋向 圆心的运动，落向地面 答案 D 解析 由题意知，由于大气层的扩张，太空垃圾被大气层包围后，在运动的过程中会受大气 层的阻力作用，故速度减小，使所需向心力小于受到的万有引力，而做近心运动，所以 A、 B、C 错误，D 正确． 10．(单选)2013 年 12 月 11 日，“嫦娥三号”携带月球车“玉兔”从距月面高度为 100 km 的 环月圆轨道Ⅰ上的 P 点变轨，进入近月点为 15 km 的椭圆轨道Ⅱ，由近月点 Q 成功落月，如 图 4 所示．关于“嫦娥三号”，下列说法正确的是( ) 图 4 A．沿轨道 Ⅰ 运行一周的位移大于沿轨道 Ⅱ 运行一周的位移 B．沿轨道 Ⅱ 运行时，在 P 点的加速度小于在 Q 点的加速度 C．沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期 D．在轨道Ⅱ上由 P 点到 Q 点的过程中机械能增加 答案 B 解析 沿轨道Ⅰ运行一周的位移与沿轨道Ⅱ运行一周的位移都是零，即相等，故 A 错误．根 据GMm r2 ＝ma 得 a＝GM r2 ，沿轨道Ⅱ运行时，在 P 点的加速度小于在 Q 点的加速度，故 B 正 确．根据a3 T2 ＝k 可得半长轴 a 越大，运行周期越大，故沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运 行的周期，故 C 错误．在轨道Ⅱ上由 P 点运行到 Q 点的过程中，只有万有引力对其做功，机 械能守恒，故 D 错误． 题组 4 双星及多星问题 11．(单选)假设宇宙中存在质量相等的三颗星体且分布在一条直线上，其中两颗星体围绕中 央的星体转动，假设两颗星体做圆周运动的半径为 R，每个星体的质量均为 m，引力常量为 G.忽略其他星体对该三颗星体的作用．则做圆周运动的星体的线速度大小为( ) A. Gm 4R B. 5Gm R C. 5Gm 4R D. Gm R 答案 C 解析 由万有引力定律和牛顿第二定律得 Gm2 R2 ＋G m2 2R2 ＝mv2 R ，解得 v＝ 5Gm 4R ，选项 C 正 确． 12. (单选)(2014·湖南常德二模)天文学家发现一个由 A、B 两颗星球组成的双星系统，观测到 双星 A、B 间的距离为 l，A 星的运动周期为 T，已知万有引力常量为 G，则可求出( ) A．A 星的密度 B．A 星的轨道半径 C．A 星的质量 D．A 星和 B 星的总质量 答案 D 解析 双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的周期 对 A：GmAmB l2 ＝mArA 4π2 T2 ，即得：GmB l2 ＝rA 4π2 T2 ① 对 B：GmAmB l2 ＝mBrB 4π2 T2 ，即得：GmA l2 ＝rB 4π2 T2 ② 又 l＝rA＋rB 由①＋②解得双星 A、B 的总质量 M＝mA＋mB＝(rA＋rB)4π2 GT2l2＝4π2l3 GT2 由①∶②得rA rB ＝mB mA 可知只能求出 A、B 的质量之和，不能求出 A 星轨道半径，不能求出 A、B 的质量，就不能 求出其密度，故 D 正确．