【物理】2019届一轮复习人教版竖直面内(斜面)的圆周运动及其临界问题学案 20页

第18课时　竖直面内(斜面)的圆周运动及其临界问题 ‎1．竖直面内圆周运动的两个基本模型的比较 ‎2．斜面上的圆周运动及其临界问题 常见类型有三种 ‎(1)物体受摩擦力在倾斜圆盘转动。临界问题在最低点。‎ ‎(2)光滑斜面内轻杆拉着物体转动。临界问题与竖直面内的轻杆问题相似。‎ ‎(3)光滑斜面内轻绳拉着物体转动。临界问题与竖直面内的轻绳问题相似。‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 模型1　轻杆模型 ‎[例1]　如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是(　　)‎ A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝ B．小球通过最高点时的最小速度vmin＝ C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力 解析　因是在圆形管道内做圆周运动，所以在最高点时，内壁可以给小球沿半径向外的支持力，所以小球通过最高点时的最小速度可以为零，故A、B错误；小球在水平线ab以下的管道中运动时，竖直向下的重力沿半径方向的分力沿半径方向向外，小球的向心力是沿半径指向圆心的，小球与外壁一定会相互挤压，所以小球一定会受到外壁的作用力，内侧管壁对小球一定无作用力，故C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，当速度较小时，重力沿半径方向上的分力大于或等于小球做圆周运动需要的向心力，此时小球与外壁不存在相互挤压，外侧管壁对小球没有作用力，故D错误。‎ 答案　C 模型2　轻绳模型 ‎[例2]　如图所示，一质量为m＝‎0.5 kg的小球，用长为‎0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动。g取‎10 m/s2，求：‎ ‎(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？‎ ‎(2)当小球在最高点的速度为‎4 m/s时，轻绳拉力多大？‎ ‎(3)若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的速度不能超过多 大？‎ 解析　(1)在最高点，对小球受力分析如图甲，由牛顿第二定律得mg＋F1＝①‎ 由于轻绳对小球只能提供指向圆心的拉力，即F1不可能取负值，亦即F1≥0②‎ 联立①②得v≥ 代入数值得v≥‎2 m/s 所以，小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为‎2 m/s。‎ ‎(2)mg＋F2＝m，代入数据解得F2＝15 N。‎ ‎(3)由分析可知，小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图乙，‎ 由牛顿第二定律得F3－mg＝③‎ 将F3＝45 N代入③得v3＝‎4 m/s 即小球的速度不能超过‎4 m/s。‎ 答案　(1)‎2 m/s　(2)15 N　(3)‎4 m/s 模型3　轻杆控制下的斜面上圆周运动 ‎[例3]　如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝‎0.8 m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝‎0.2 kg的小球，沿斜面做圆周运动，取g＝‎10 m/s2，若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是(　　)‎ A．‎4 m/s B．‎2 m/s C．‎2 m/s D．‎2 m/s 解析　小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由动能定理可得：2mg·Lsinα＝mv－0，可得vB＝‎4 m/s，A正确。‎ 答案　A 模型4　轻绳控制下的斜面上圆周运动 ‎[例4]　(2017·厦门模拟)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定在O点，另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在A、B两点做圆周运动的最小速度分别为vA、vB，重力加速度为g，则(　　)‎ A．vA＝0 B．vA＝ C．vB＝ D．vB＝ 解析　小球运动到A点时，由细线的拉力及重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力，即mgsinθ＋T＝m。若vA取最小值，则此时拉力T＝0，即mgsinθ＝m，解得小球在A点的最小速度vA＝‎ ，故A、B错误。对小球从A点到B点的运动过程进行研究，根据机械能守恒定律有mv＋mg·2Lsinθ＝mv，解得小球在B点的最小速度为vB＝，C正确，D错误。‎ 答案　C 模型5　摩擦力控制下的斜面上圆周运动 ‎[例5]　(2014·安徽高考)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离‎2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为 ‎30°，g取‎10 m/s2。则ω的最大值是(　　)‎ A. rad/s B. rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s 解析　物体随圆盘做圆周运动，运动到最低点时最容易滑动，因此物体在最低点且刚好要滑动时的转动角速度为最大值，这时，根据牛顿第二定律有，μmgcos30°－mgsin30°＝mω2r，求得ω＝1.0 rad/s，C正确，A、B、D错误。‎ 答案　C ‎(1)例1和例3思路相似，例2和例4思路相似，它们的相同之处是临界，完成圆周运动的临界点都在最高点，绳子承受最大拉力的临界点在最低点。‎ ‎(2)例5中完成圆周运动的临界点在最低点。‎ ‎(3)求解这类问题的思路 定模型→确定临界点→研究状态→受力分析→过程分析→找出原理，列方程求解。‎ ‎1．(2017·烟台模拟)一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　)‎ A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零 B．小球过最高点的最小速度是 C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大 D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 答案　A 解析　当小球过最高点的速度v＝时，杆所受的弹力等于 零，A正确；轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，B错误；若v<，则杆在最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m，随v增大，F减小；若v>，则杆在最高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m，随v增大，F增大，C、D均错 误。‎ ‎2.(多选)如图所示，两个质量均为m的小物块a和b(可视为质点)静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为l，b到转轴的距离为‎2l，物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，若a、b随圆盘以角速度ω 匀速转动，下列说法中正确的是(　　)‎ A．a在最高点时所受摩擦力可能为0‎ B．a在最低点时所受摩擦力可能为0‎ C．ω＝ 是a开始滑动的临界角速度 D．ω＝ 是b开始滑动的临界角速度 答案　AD 解析　a在最高点时可能有重力沿斜面的分力提供向心力，所以所受摩擦力可能为0，故A正确；a在最低点，由牛顿运动定律f－mgsinθ＝m，所以a在最低点时所受摩擦力不可能为0，故B错误；对a在最低点，由牛顿运动定律μmgcosθ－mgsinθ＝mω‎2l，代入数据解得ω＝，故C错误；对b在最低点，由牛顿运动定律μmgcosθ－mgsinθ＝mω2(‎2l)，代入数据解得ω＝ ，故D正确。‎ ‎1.如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(　　)‎ A．过山车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来 B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力 C．人在最低点时对座位的压力等于mg D．人在最低点时对座位的压力大于mg 答案　D 解析　人过最高点时，FN＋mg＝m，当v≥ 时，不用保险带，人也不会掉下来，当v＝时，人在最高点时对座位产生的压力为mg，A、B均错误；人在最低点具有竖直向上的加速度，处于超重状态，故人此时对座位的压力大于mg，C错误、D正确。‎ ‎2．(2017·咸阳一模)固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道的最高点，DB为竖直线，AC为水平线，AE为水平面，如图所示。今使小球自A点正上方某处由静止释放，且从A点进入圆弧轨道运动，只要适当调节释放点的高度，总能使球通过最高点D，则小球通过D点后(　　)‎ A．一定会落到水平面AE上 B．一定会再次落到圆弧轨道上 C．可能会再次落到圆弧轨道上 D．不能确定 答案　A 解析　设小球恰好能够通过最高点D，根据mg＝m，得：vD＝，知在最高点的最小速度为。小球经过D点后做平抛运动，根据R＝gt2得：t＝。则平抛运动的水平位移为：x＝‎ ·＝R，知小球一定落在水平面AE上。故A正确，B、‎ C、D错误。‎ ‎3．如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为(　　)‎ A.mg B.mg C．3mg D．2mg 答案　A 解析　设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则有r＝Lcosθ＝L。根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝m；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcosθ＋mg＝m，联立解得F＝mg，A正确。‎ ‎4．(多选)“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为细绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型。已知绳长为l，重力加速度为g，则(　　)‎ A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态 B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大 C．当v0>时，小球一定能通过最高点P D．当v0<时，细绳始终处于绷紧状态 答案　CD 解析　小球运动到最低点Q时，由于加速度向上，故处于超重状态，A错误；小球在最低点时：FT1－mg＝m；在最高点时：FT2＋mg＝m，其中mv－mg·‎2l＝mv2，解得FT1－FT2＝6mg，故在P、Q两点绳对小球的拉力差与初速度v0无关，B错误；当v0＝时，可求得v＝，因为小球经过最高点的最小速度为，则当 v0>时小球一定能通过最高点P，C正确；当v0＝时，由mv＝mgh得小球能上升的高度h＝l，即小球不能越过与悬点等高的位置，故当v0<时，小球将在最低点位置附近来回摆动，细绳始终处于绷紧状态，D正确。‎ ‎5．如图所示，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内做圆周运动。A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D点是与圆心O同一水平线上的点。小滑块运动时，物体在地面上静止不动，则物体对地面的压力FN和地面对物体的摩擦力有关说法正确的是(　　)‎ A．小滑块在A点时，FN>Mg，摩擦力方向向左 B．小滑块在B点时，FN＝Mg，摩擦力方向向右 C．小滑块在C点时，FN＝(M＋m)g，M与地面无摩擦 D．小滑块在D点时，FN＝(M＋m)g，摩擦力方向向左 答案　B 解析　因为轨道光滑，所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。小滑块在A点时，与轨道没有水平方向的作用力，所以轨道没有运动趋势，即摩擦力为零；当小滑块的速度v＝时，对轨道A点的压力为零，物体对地面的压力FN＝Mg，当小滑块的速度v>时，对轨道A点的压力向上，物体对地面的压力FN(M＋m)g，故C错误；小滑块在D点时，地面给物体向左的摩擦力，物体对地面的压力FN＝Mg，故D错误。‎ ‎6.如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环之间的摩擦阻力)，则瞬时速度v必须满足(　　)‎ A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 答案　D 解析　要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg＝m，对小球从最低点运动到最高点的过程应用机械能守恒得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为 ，A、C错误；为了不使环在竖直方向上跳起，则在最高点球有最大速度时，对环的压力为2mg，满足3mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒得mv＝mg·2r＋mv，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为，B错误，D正确。‎ ‎7．(多选)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为 v，其Fv2图象如图乙所示。则(　　)‎ A．小球的质量为 B．当地的重力加速度大小为 C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下 D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 答案　AD 解析　由题图乙可知：当v2＝b时，杆对球的弹力恰好为零，此时只受重力，重力提供向心力，mg＝m＝m，即重力加速度g＝，故B错误；当v2＝0时，向心力为零，杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向，F弹＝mg＝a，即小球的质量m＝＝，故A正确；根据圆周运动的规律，当v2＝b时杆对球的弹力为零，当v2b时，mg＋F弹＝m，杆对球的弹力方向向下，v2＝c>b，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故C错误；当v2＝2b时，mg＋F弹＝m＝m，又g＝，F弹＝m－mg＝mg，故D正确。‎ ‎8．(2017·山西孝义一模)如图质量为‎20 kg的小孩坐在秋千板上，小孩离拴绳子的横梁‎2 m。如果秋千板摆到最低点时，速度为‎3 m/s ‎，问小孩对秋千板的压力是多大？如果绳子最大承受力为1200 N，则小孩通过最低点时的最大速度是多少？(忽略秋千板的质量，g取‎10 m/s2)‎ 答案　290 N　‎10 m/s 解析　小孩通过圆周运动最低点时，合外力提供向心力，则有FN－mg＝m，解得FN＝290 N。根据牛顿第三定律可知，小孩对秋千板的压力是290 N。‎ 当绳子的拉力达到最大承受力1200 N时，小孩的速度最大，则有F－mg＝m，解得vm＝‎10 m/s。‎ ‎9．(2015·天津高考)未来的星际航行中，宇航员长期处于零重力状态，为缓解这种状态带来的不适，有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”，如图所示，当旋转舱绕其轴线匀速旋转时，宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上，可以受到与他站在地球表面时相同大小的支持力。为达到上述目的，下列说法正确的是(　　)‎ A．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大 B．旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小 C．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大 D．宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小 答案　B 解析　旋转舱对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mg＝mω2r，解得ω＝，即旋转舱的半径越大，角速度越 小，而且与宇航员的质量无关，B正确。‎ ‎10. (2017·安徽蚌埠三模)(多选)如图所示，一托盘托着一个物体m一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，A、C分别是轨迹圆的最低点和最高点，B与轨迹圆心等高。下列说法正确的是(　　)‎ A．物体m在B处受到的摩擦力最大 B．物体m在C处受到的支持力最小 C．从A向B运动过程中，物体m受到的摩擦力和支持力均增大 D．从B向C运动过程中，物体m受到的摩擦力和支持力均减小 答案　ABD 解析　物体m在运动过程中受重力、支持力、静摩擦力，三个力的合力提供向心力。因为做匀速圆周运动，所以受到的合力大小不变，方向时刻指向圆心，合力沿水平方向的分力等于物体m所受的摩擦力，合力沿竖直方向的分力等于重力和支持力的合力，从A到B再到C的过程中，设向心力与水平方向的夹角为θ，摩擦力f＝‎ Fncosθ，运动过程中θ先减小后增大，故摩擦力先增大后减小，在B处最大，A正确；从A向B运动过程中，重力和支持力的合力F＝Fnsinθ，故两者的合力减小，即N－mg减小，重力不变，所以支持力减小，从B向C运动过程中，重力和支持力的合力F＝Fnsinθ，增大，即mg－N 增大，重力不变，所以支持力减小，物体m在C处受到的支持力最小，B、D正确，C错误。‎ ‎11．(2017·陕西西安一中模拟)(多选)如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为T，小球在最高点的速度大小为v，其Tv2图象如图乙所示，则(　　)‎ A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为 C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为＋a D．只要v2≥b，小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为‎6a 答案　BD 解析　在最高点重力和绳子的拉力的合力充当向心力，所以有T＋mg＝m，即T＝v2－mg，故斜率k＝，纵截距y＝－mg，根据几何知识可得k＝，y＝－a，联立解得g＝，R＝，A错误，B正确；当v2＝c时，代入T＝v2－mg，解得T＝－a，C错误；只要v2≥b，绳子的拉力大于0，根据牛顿第二定律得最高点T1＋mg＝m，最低点T2－mg＝m，从最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律得mv＝mv＋mg·2R，联立解得T2－T1＝6mg＝‎6a，即小球在最低点和最高点时绳的拉力差均为‎6a，D正确。‎ ‎12．(2017·昆明七校调研)如图所示，一长l＝‎0.45 m的轻绳一端固定在O点，另一端连接一质量m＝‎0.10 kg的小球，悬点O距离水平地面的高度H＝‎0.90 m。开始时小球处于A点，此时轻绳拉直处于水平方向上，让小球从静止释放，当小球运动到B点时，轻绳碰到悬点O正下方一个固定的钉子P时立刻断裂。不计轻绳断裂的能量损失，取重力加速度g＝‎10 m/s2。‎ ‎(1)轻绳断裂后小球从B点抛出并落在水平地面的C点，求C点与B点之间的水平距离；‎ ‎(2)若＝‎0.30 m，轻绳碰到钉子P时绳中拉力达到所能承受的最大拉力而断裂，求轻绳能承受的最大拉力。‎ 答案　(1)‎0.90 m　(2)7 N 解析　(1)设小球运动到B点时的速度大小为vB，由机械能守恒定律得mv＝mgl 解得小球运动到B点时的速度大小 vB＝＝‎3.0 m/s 小球从B点做平抛运动，由运动学规律得 x＝vBt y＝H－l＝gt2‎ 解得C点与B点之间的水平距离 x＝vB＝‎0.90 m。‎ ‎(2)若轻绳碰到钉子时，轻绳拉力恰好达到最大值Fm，由牛顿运动定律得 Fm－mg＝ r＝l－ 由以上各式解得Fm＝7 N。‎