【物理】2019届一轮复习人教版几何图解法学案 7页

‎4几何图解法 ‎[例题1]如图所示，用一根长为L的细绳，一端固定在O点，另一端悬挂质量为m，的小球，为使细绳与竖直方向夹角为30度且绷紧，小球处于静止状态。求对小球施加最小力的为多少？方向如何？‎ 解析：小球在重力、拉力和外加力的作用下处于平衡状态，则此三力必构成一闭合的三角形。如图所示。重力大小方向都不变，绳子的拉力方向不变，由几何关系得第三个力F与绳垂直时最小，最小值 ‎[例题2]如图，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板AO与斜面间的倾角β多大时，AO所受压力最小？‎ 解析：把球重力按效果分解为、，当板转动时，分解图如图虚线所示，当,‎ ‎[例题3]有一小船位于60m宽的河边，在下游80m处河流变为瀑布，假设何水流速为5m/s，为了使小船能安全渡河，船相对于静水的速度不能小于多少？‎ 解析：‎ 图中C点是瀑布，当船恰好沿AC方向到C点，船相对静水速度中最小值是所有情况中的最小值。‎ 所以船相对静水速度是3m/s。‎ ‎[例题4]已知一个力F=100N，把它分解为两个力，其中一个分力F1与F的夹角为30°，则另一个分力F2的最小值为多少 A.100N B.503N C.50N D.75N 解析：作出平行四边形如图所示，由图可知，当、方向相互垂直时，最小，最小值为 ‎［例题5］一个大人与一个小孩分别在河的两岸，沿河岸拉着一条船前进，大人的拉力为，它的方向如图1-3-15所示，（小孩的拉力在图中未画出），要使船在河流中央平行河岸行驶，求小孩对船施加的最小拉力的大小的方向。‎ 解析：为了使船沿中央航线行驶，必须使船在垂直于中央航线方向上的合力等于零，因此，小孩拉力的垂直分量必须与大人拉力的垂直分量大小相等，即,要使小孩拉力最小，，方向垂直河岸。‎ ‎[例题6]重为G的小不球，用一根长度为L的轻绳吊起来，置于一个半径为R的光滑球面上，小球的悬点在球心的正上方距球面的最小距离为h，小球可视为质点，如图所示，则轻绳对小球的拉力和半球体对小球的支持力分别为多大？‎ 解析：解本题最简便的方法是由相似三角形的关系求解。小球受重力G，绳的拉力T及半球体的支持力N三个力的作用，如图（a）所示，由于小球受三个共点力的作用处于平衡状态，所以，G、T、N组成一个封闭三角形，如图（b）所示，由于力三角形和三角形OBA相似，所以有 T/G＝L/h+R ①‎ N/G＝R/h+R ②‎ 由①②式得 T＝LG/h+R，N＝RG/h+R ‎[例题7]如图所示，在地面附近，坐标系xoy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B。在x<0的空间内还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E。一个带正电荷的油滴经图中x轴上的M点，始终沿着与水平方向成α＝300的斜向下的直线运动，进入x>0区域。要使油滴进入x>0的区域后能在竖直平面内做匀速圆周运动，需在x>0区域内加一个匀强电场。若带电油滴做圆周运动通过x轴的N点，且MO=NO。求：‎ ‎（1）油滴运动的速度大小。‎ ‎（2）在x>0空间内所加电场的场强大小和方向。‎ ‎（3）油滴从x轴上的M点开始到达x轴上的N点所用的时间。‎ 解析：（1）因油滴沿直线运动，重力和电场力又为恒力，则与运动方向垂直的洛伦兹力的大小运动不能变化，油滴必然做匀速直线运动。则有：，‎ ‎（2）油滴进入x>0的区域后，要做匀速圆周运动，则：qE1=mg 因为mg=qEcotα,所以E1=E，电场方向竖直向上。‎ ‎（3）油滴的运动轨迹如图所示，∠OPN=600，过P作PM的垂线交x轴于O1，因∠O1PN=∠O1NP=300，ΔO1PN为等腰三角形，所以O1P＝O1N，O1为油滴做圆周运动的圆心。‎ 设O1P＝R，R=，θ=，油滴由M点到P点的时间：，油滴由P点到N点做匀速圆周运动的时间：。因为mg=qEcotα所以。所以油滴由P点到N点的时间 ‎[例题8]两光滑斜面的高度都为h，甲、乙两斜面的总长度都为L，只是乙斜面由两部分组成，如图所示，将两个相同的小球从斜面的顶端同由静止释放，不计拐角处的能量损失，问哪一个球先达斜面底端？‎ 解斩：构想一辅助圆如图所示：在AF上取一点O，使OA＝OC，以O点为圆心，以OA长为半径画圆，此圆交AD于E点。由于“物体沿着位于同一竖直圆上的过顶点的所有光滑弦下滑，到达圆周底端的时间相等”，所以有，由机械能守恒定律知：故平均速度。又因为两斜面的总长度相等，所以。根据v=st得：，故有t甲>t乙，即乙球先到达斜面底端。‎ ‎[例题9]（2000年全国））一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动。有一台发出细光束的激光器在小转台M上，到轨道的距离MN为d=10m，如图所示。转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s。光束转动方向如图中箭头所示。当光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上。如果再经过△t=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度是多少？（结果保留二位数字）‎ 解析:在△t内，光束转过角度 　　② 　　由图可知 ③ 　　由②、③两式并代入数值，得 　　④ 　　（2）光束照到小车时，小车正在远离N点，△t内光束与MN的夹角从45°变为60°，小车走过 ‎，速度为 　　⑤ 　　由图可知 ⑥ 　　由⑤、⑥两式并代入数值，得 　　⑦ [例题10](1998年上海物理)半径为R的玻璃半圆柱体，横截面如图所示，圆心为O，两条平行单色红光沿截面射向圆柱面，方向与底面垂直。光线1的入射点A为圆柱面的顶点，光线2的入射点为B，∠AOB=60°。已知该玻璃对红光的，折射率n＝3‎ ‎ ‎ ‎(1)求两条光线经柱面和底面折射后的交点与O点的距离d。‎ ‎(2)若入射的是单色蓝光，则距离d将比上面求得的结果大还是小?‎ 解析：如图所示，(1)光线1直接入射到O点且沿原方向射出，光线2的入射角i=60°，由n=sini/sinr得r=30°‎ 在△OBC中，由正弦定理可得sinr/OC=sin∠OCB/OB,∴OC=OB.sinr/sin∠OCB=，由几何知识知道，光线在底面的入射角为i2=30°，其折射角i2为：‎ sinr2=n/sini2=,∴r2=60°，两条折射光线的交点P到圆心O的距离为：‎ ‎ d=OC·ctgr2=×=。‎ ‎(2)由于蓝经的折射率大于红光的折射率，因此光线2经半圆柱体后偏折更大，此时d将比上面结果要小。‎ ‎[例题11]如图所示，虚线MN是垂直纸面的平面与纸面的交线，在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B的匀强磁场，方向垂直纸面向外。O 是MN上的一点，从O点可以向磁场区域发射电量为+q、质量为m、速率为v的粒子。粒子射入磁场时的方向可在纸面的各个方向.已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇，P到O的距离为L，不计重力及粒子间的相互作用。‎ ‎（1）求所考查的粒子在磁场中的轨道半径 ‎（2）求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔 解析：由于不计重力和粒子间的相互作用，且粒子速度方向和匀强磁场方向互相垂直，故粒子只受和粒子速度垂直的洛伦兹力作用，在纸面所在平面内做匀速圆周运动。由洛伦兹力充当向心力，可求出粒子做圆周运动的半径。‎ 又因两粒子都是从O点射出，且同时经过P点，故OP应是两粒子运动轨迹圆的公共弦，其径迹应如图所示。由于两粒子从O点射出后至P点的轨迹对应的圆心角不同，可知其运动至P点经历的时间不同，利用几何知识找出其轨迹对应的圆心角大小关系，即可应用粒子运动时间和周期的关系求出其从O点射出的时间差。 ‎（1）设粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由牛顿第二定律，有qvB=m得R=‎ ‎（2）如图所示，以OP为弦可画两个半径相同的圆，分别表示在P点相遇的两个粒子的轨道.圆心分别为O1、O2，OP弦所对圆心角为。先射入的粒子由O→P的时间 t1=‎ 后射入的粒子由O→P的时间t2=‎ 式中T为圆周运动周期，T=‎ 两粒子射入的时间间隔Δt=t1-t2=‎ 因Rsin  得α＝2arcsin 由上两式可解得Δt=‎ ‎（根据arcsin=－arccos可将上面结果化为Δt=）‎ 点评：以上例题给出了关于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的两类典型问题的处理方法：凡是涉及和粒子轨道半径有关的问题，应首先应用几何知识求出粒子轨道半径，凡是涉及粒子运动时间的相关问题，应根据粒子运动轨迹对应的圆心角与圆周角的关系找出粒子运动时间和周期的关系，从而使问题得到解决。‎ ‎[例题12]如图所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为。在圆铜之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B，在两极间加上电压，使两圆铜之间的区域内有沿半径向外的电场。一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中。）‎ 解析：带电粒子从S出发，在两筒之间的电场力作用下加速，沿径向穿出a而进入磁场区，在洛化兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝b。只要穿过了b，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经b 重新进入磁场区。然后，粒子将以同样方式经过c、d，再经过a回到S点。 　　设粒子射入磁场区的速度为v，根据能量守恒，有 　　① 　　设粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的半径为R，由洛仑兹力公式和牛顿定律得 　　② 　　由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到b必经过圆周，所以半径R必定等于筒的外半径，即 　　③ 　　由以上各式解得 　　④ [例题8]电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电 子束经过电压为U的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B应为多少？‎ 解析：. 电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R。以v表示电子进入磁场时的速度，m、e分别表示电子的质量和电量，则 eU＝mv2 ①‎ eVB＝ ②‎ 又有tg＝ ③‎ 由以上各式解得 B＝ ④‎