【物理】2019届一轮复习人教版天体的质量和密度的估算学案 13页

知识回顾 1．牢记两个基本关系式 源^:中教 ] (1)利用 F 万＝F 向，有 GMm r2 ＝m v2 r ＝mω2r＝m 4π2 T2 r＝ma. (2)在星球表面附近有 GMm R2 ＝mg 星． 2．明确三个常见误区 (1)天体质量和密度的估算是指中心天体而非环绕天体的质量和密度的估算． (2)注意区分轨道半径 r 和中心天体的半径 R. (3)在考虑自转问题时，只有两极才有 GMm R2 ＝mg. 规律方法 估算中心天体质量和密度的两条思路 (1)利用天体表面的重力加速度和天体半径估算 由 G Mm R2＝mg 得 M＝ gR2 G ，再由 ρ＝ M V，V＝ 4 3πR3 得 ρ＝ 3g 4GπR. (2)已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由 G Mm r2＝m 4π2 T2 r 得 M＝ 4π2r3 GT2 ，再结合 ρ＝ M V，V＝ 4 3πR3 得 ρ＝ 3πr3 GT2R3 ― ― →天体表面 ρ＝ 3π GT2. 典例分析 【例 1】　假设地球可视为重量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道 的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G.地球的密度为(　　) A. 3πg0－g GT2g0 B. 3πg0 GT2g0－g[ww^w. step ] C. 3π GT2 D. 3πg0 GT2g 【答案】　B 【例 2】　宇宙中有两颗相距无限远的恒星 s1、s2，半径均为 R0.图分别是两颗恒星周围行星的公转周 期 T2 与公转半径 r3 的图象，则(　　) A．恒星 s1 的质量大于恒星 s2 的质量 B．恒星 s1 的密度小于恒星 s2 的密度 C．恒星 s1 的第一宇宙速度大于恒星 s2 的第一宇宙速度 D．距两恒星表面高度相同的行星，s1 的行星向心加速度较大 【答案】　B 专题练习 1．(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除 了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是(　　) A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径[来 源: step.co m ] 【答案】：AD 【解析】知道卫星的速度和角速度，由 v＝ωr 可求得卫星的轨道半径，根据 G Mm r2＝m v2 r ，即可求得冥王 星的质量，选项 A 正确；根据 G Mm r2＝m 2π T 2r，知道卫星的运行周期和轨道半径，可求得冥王星的质量，选项 D 正确；求冥王星的质量，不需要知道卫星的质量，选项 B、C 错误． 2．假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物 体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　)[来 源 :^中国教育出 版 ] A．1－ d R B．1＋ d R C. R－d R 2 D. R R－d 2 【答案】：A 【解析：】根据万有引力与重力相等可得，在地面处有： G m· 4 3πR3ρ R2 ＝mg， 在矿井底部有：G m· 4 3πR－d3ρ R－d2 ＝mg′，[ :中国教^育出版 ] 所以 g′ g ＝ R－d R ＝1－ d R.故选项 A 正确． 3．有一个质量为 M，半径为 R，密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为 R 2的小球体，并在空腔中心放 置一质量为 m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物 体的引力为零)(　　) A．G Mm R2　　　 B．0 C．4G Mm R2 D．G Mm 2R2 【答案】：D [ : st ep.c om] 4．(2017 年河北重点中联考)假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体．已知质量分布均匀的球壳 对壳内物体的引力为零，不考虑地球自转的影响，则距离地球球心为 r 处的重力加速度大小 g 与 r 的关系 图象可能为(　　) [中国教育出版 ] 【答案】：A [w w w. ste p ] 5．已知月球半径为 R，飞船在距月球表面高度为 R 的圆轨道上飞行，周期为 T.引力常量为 G，下列说 法正确的是(　　) 中 教 ^] A．月球第一宇宙速度为 4πR T ^step.c o m] B．月球表面重力加速度为 8π2 T2 R[ : step ] C．月球密度为 3π GT2 D．月球质量为 32π2R3 GT2 【答案】：D 【解析】：由题意知，飞船运行的速度为 v＝ 4πR T ，小于月球的第一宇宙速度，所以 A 错误；根据 G Mm 4R2 ＝m 4π2 T2 ·2R，又 GM＝gR2，联立解得 g＝ 32π2R T2 ，M＝ 32π2R3 GT2 ，所以 B 错误，D 正确；再根据 M＝ 32π2R3 GT2 ＝ρ 4 3πR3，解得 ρ＝ 24π GT2 ，C 错误． 6．(2017 年湖北八校三月模拟)据英国《每日邮报》报道， 家发现了一颗距离地球仅 14 光年的“另 一个地球”——沃尔夫(Wolf)1061c.沃尔夫 1061c 的质量为地球的 4 倍，围绕红矮星沃尔夫 1061 运行的周 期为 5 天，它是迄今为止在太阳系外发现的距离最近的宜居星球．设想从地球发射一颗 探测卫星围绕沃 尔夫 1061c 表面运行．已知万有引力常量为 G，天体的环绕运动可看作匀速圆周运动．则下列说法正确的是 (　　) A．从地球发射该卫星的速度应该小于第三宇宙速度 B．卫星绕行星沃尔夫 1061c 运行的周期与该卫星的密度有关 C．沃尔夫 1061c 和地球公转轨道半径的三次方之比等于 ( 5 365 )2 [来 源:中教 ] D．若已知探测卫星的周期和地球的质量，可近似求出沃尔夫 1061c 的半径 【答案】：D 7．(多选)在研究发现太阳与行星间的引力规律过程中，下列说法正确的是(　　) A．研究思路是根据行星的受力情况去探究行星的运动情况 B．引用了公式 F＝ mv2 r ，这个关系式实际上是牛顿第二定律 C．由太阳对行星的引力表达式推出行星对太阳的引力表达式，采用的论证方法是等效法 D．在开普勒第三定律 r3 T2＝k 和引力公式 F＝G Mm r2中，常数 k 和 G 与太阳和行星均无关 【答案】　BC 【解析】研究思路是根据行星的运动情况去探究行星的受力情况，A 项错误．公式 F＝ mv2 r 实际上是牛顿 第二定律的表达式．由太阳对行星的引力表达式推出行星对太阳的引力表达式，采用的论证方法是等效 法．常数 k 与太阳有关，G 与太阳和行星均无关，B、C 两项正确． 8．(多选)已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量 M(引力常量 G 为已知)(　　) A．月球绕地球运动的周期 T1 及月球到地球中心的距离 R1 B．地球绕太阳运行周期 T2 及地球到太阳中心的距离 R2 C．人造卫星在地面附近的运行速度 v3 和运行周期 T3 D．地球绕太阳运行的速度 v4 及地球到太阳中心的距离 R4 【答案】　AC s te ^p ] 9．(2017·山东泰安市质检)(多选)我国计划在 2017 年发射“嫦娥四号”，层次、更加全面的 探测月 球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知月球的半径为 R，月球表面的重力加速度为 g，引力 常量为 G，嫦娥四号离月球中心的距离为 r，绕月周期为 T.根据以上信息可求出(　　) A．“嫦娥四号”绕月运行的速度 r2g R [ : 中国教育出版 ^] B．“嫦娥四号”绕月运行的速度为 R2g r C．月球的平均密度为 3π GT2 D．月球的平均密度为 3πr3 GT2R3 【答案】　BD 【解析】月球表面任意一物体重力等于万有引力 G Mm R2＝mg，则有 GM＝R2g，“嫦娥四号”绕月运行时，万 有引力提供向心力：G Mm r2＝m v2 r ，解得 v＝ GM r ，联立解得 gR2 r ，故 A 项错误，B 项正确；“嫦娥四号”绕月 运行时，根据万有引力提供向心力，有 G Mm r2＝m 4π2 T2 r，解得 M＝ 4π2r3 GT2 ，月球的平均密度为 ρ＝ M V＝ 4π2r3 GT2 4π 3 R3 ＝ 3πr3 GT2R3，故 C 项错误，D 项正确；所以 B、D 项正确，A、C 项错误． 10.(2017·山东泰安市质检)(多选)密度均匀的球形行星对其周围物体的万有引力使物体产生的加速 度用 a 表示，物体到行星表面的距离用 h 表示．a 随 h 变化的图像如图所示．图中 a、h1、a2、h2 及万有引 力常量 G 均为已知．根据以上数据可以计算出(　　) A．该行星的半径 B．该行星的质量 C．该行星的自转周期[ :^ step.co m ] D．该行星同步卫星离行星表面的高度 【答案】　AB C 项，由题目以及相关的公式的物理量都与该行星转动的自转周期无关，所以不能求出该行星的自转周 期，C 项错误；[中 国 教^育出版 ] D 项，由于不能求出该行星的自转周期，所以也不能求出该行星同步卫星离行星表面的高度，D 项错误； 故选 A、B 两项． 中教^ ] 11．(2017·山西模拟)2016 年 8 月 16 日，我国将世界首颗量子卫星发射升空，轨道距离地面高度为 h.我国“蛟龙号”载人潜水器执行 考任务时下潜深度为 d.把地球看做质量分布均匀的球体，且质量分布均 匀的球壳对壳内物体的引力为零．若地球半径为 R，“蛟龙号”所在处与“量子卫星”所处的加速度之比为 (　　) A. （R－d）2 （R＋h）2 B. R－d R＋h C. （R－d）（R＋h）2 R3 D. （R－d）（R＋h） R2 【答案】　C 【解析】令地球的密度为 ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有 g＝ GM R2， 由于地球的质量为：M＝ 4 3πR3ρ，所以重力加速度的表达式可写成：g＝ 4 3πGρR. 根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为 d 的地球内部，受到地球的万 有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故重力加速度 g′＝ 4 3πGρ(R－d)．所以有 g′ g ＝ R－d R . 根据万有引力提供向心力 GMm （R＋h）2＝ma，量子卫星的加速度 a＝ GM （R＋h）2， 所以 a g＝ R2 （R＋h）2， 所以 g′ a ＝ （R－d）（R＋h）2 R3 ，故 C 项正确，A、B、D 项错误． 12．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原地．若他在某星球表面 以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为 R 星∶R 地＝1∶4，地球表面重力加速度为 g，设该星球表面附近的重力加速度为 g′，空气阻力不计．则(　　) A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2 C．M 星∶M 地＝1∶20 D．M 星∶M 地＝1∶80[来 源 ^:中教 ] 【答案】　D [来 源 : step.co m] 13．(2017·宝鸡一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹 簧秤测得质量为 M 的砝码所受重力为 F，在赤道测得该砝码所受重力为 F′.他还发现探测器绕该星球表面 做匀速圆周运动的周期为 T.假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为(　　) A．T F′ F B．T F F′ C．T F－F′ F D．T F F－F′ 【答案】　D[中国教 ^ 育出 版 ] 【解析】设星球及探测器质量分别为 m、m′ 在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为 M 的砝码所受重力为 F，则有 GMm R2 ＝F， 在赤道测得该砝码所受重力为 F′，则有 GMm R2 －F′＝M 4π2 T自2 R，[www . s t ep.^c om] 探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为 T，则有 G mm′ R2 ＝m′R 4π2 T2 ； 联立两式解得 T 自＝T F F－F′.故 D 项正确，A、B、C 三项错误． 14．(2017·湖南省二模)一宇航员到达半径为 R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的 轻绳拴一质量为 m 的小球，上端固定在 O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕 O 点在竖 直面内做圆周运动，测得绳的拉力 F 大小随时间 t 的变化规律如图乙所示．F1＝7F2，设 R、m、引力常量 G 以及 F1 为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是(　　) A．该星球表面的重力加速度为 7F1 7m B．卫星绕该星球的第一宇宙速度为 Gm R [中国 教育 出版 ] C．星球的密度为 3F1 28πGmR D．小球过最高点的最小速度为 0[来 源:中国教育 出版 ^ ] 【答案　】C F1＝7F2，所以该星球表面的重力加速度为 F1 7m，故 A 项错误．根据万有引力提供向心力，得 GMm R2 ＝m v2 R ， 卫星绕该星球的第一宇宙速度为 v＝ GM R ，故 B 项错误．在星球表面，万有引力近似等于重力 GMm R2 ＝mg ⑤ 由④⑤解得 M＝ F1R2 7Gm，星球的密度 ρ＝ M 4 3πR3 ＝ 3F1 28πGmR，C 项正确； 小球在最高点受重力和绳子拉力，根据牛顿运动定律，得 F2＋mg＝m v22 R ≥mg 所以小球在最高点的最小速度 v2≥ gR，故 D 项错误． 15．(2017·广西模拟)为了方便研究物体与地球间的万有引力问题，通常将地球视为质量分布均匀的 球体．已知地球的质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，不考虑空气阻力的影响． (1)求北极点的重力加速度的大小； (2)若“天宫二号”绕地球运动的轨道可视为圆周，其轨道距地面的高度为 h，求“天宫二号”绕地球 运行的周期和速率； (3)若已知地球质量 M＝6.0×1024 kg，地球半径 R＝6 400 km，其自转周期 T＝24 h，引力常量 G＝ 6.67×10－11 N·m2/kg2.在赤道处地面有一质量为 m 的物体 A，用 W0 表示物体 A 在赤道处地面上所受的重力， F0 表示其在赤道处地面上所受的万有引力．请求出 F0－W0 F0 的值(结果保留 1 位有效数字)，并以此为依据说明 在处理万有引力和重力的关系时，为什么经常可以忽略地球自转的影响． 【答案】　(1) GM R2　 (2)2π （R＋h）3 GM 　 GM R＋h (3)见解析 【解析】(1)设北极点的重力加速度为 g0，则有 m0g0＝G Mm0 R2 解得 g0＝ GM R2 (3)物体 A 在赤道处地面上所受的万有引力 F0＝G Mm R2 对于物体 A 在赤道处地面上随地球运动的过程，设其所受地面的支持力为 N，根据牛顿第二定律，有 F0 －N＝m 4π2 T2 R 中国教育^出 版 ] 物体 A 此时所受重力的大小为：W0＝N＝G Mm R2－m 4π2 T2 R 所以 F0－W0 F0 ＝ m 4π2 T2 R G Mm R2 代入数据，解得 F0－W0 F0 ＝3×10－3. 这一计算结果说明，由于地球自转对地球赤道外地面上静止的物体所受重力与所受地球引力大小差别 的影响很小，所以通常情况下可以忽略地球自转造成的地球引力与重力大小的区别． 16．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上 P 点沿水平方向以初速度 v0 抛出一个 小球，测得小球经时间 t 落到斜坡上另一点 Q，斜面的倾角为 α，已知该星球半径为 R，万有引力常量为 G，求： (1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的密度； (3)该星球的第一宇宙速度 v； (4)人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的最小周期 T. 中国教育 出版 ^ ] 【答案】　(1) 2v0tanα t 　(2) 3v0tanα 2πRtG (3) 2v0Rtanα t 　(4)2πR t 2v0Rtanα 　【解析】(1)由平抛运动的知识得 tanα＝ 1 2gt2 v0t ，则 g＝ 2v0tanα t ； 17．(2017 年广东珠海模拟)某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验，结果为探测器在靠近火星表 面轨道做圆周运动的周期是 T，探测器着陆过程中，第一次接触火星表面后，以 v0 的初速度竖直反弹上升， 经 t 时间再次返回火星表面，设这一过程只受火星的重力作用，且重力近似不变．已知引力常量为 G，试求： (1)火星的密度； (2)火星的半径． 【答案】ρ＝ M V＝ 4π2R3 GT2 4 3πR3 ＝ 3π GT2. ；R＝ v0T2 2π2t. (2)探测器在火星表面的万有引力近似等于重力，有 G mM R2＝mg′，③ 根据题意有探测器在火星表面反弹后做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动落回抛出点的时间 t＝ 2v0 g′得 火星表面的重力加速度 g′＝ 2v0 t ，④[来 源:中教 ] 将②④代入③得 R＝ v0T2 2π2t.[来 源: 中国教 育出版 ] 18．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．已知地球表面两极处 的重力加速度大小为 g0，在赤道处的重力加速度大小为 g，地球自转的周期为 T，引力常量为 G.假设地球可 视为质量均匀分布的球体．求：[来 源:中国教 ^育出版 ] (1)质量为 m 的物体在地球北极所受地球对它的万有引力的大小； (2)地球的半径； (3)地球的密度． 【解析】：(1)质量为 m 的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，即 F＝mg0. (2)设地球的质量为 M，半径为 R，在赤道处随地球做圆周运动物体的质量为 m.物体在赤道处随地球自 转做圆周运动的周期等于地球自转的周期，轨道半径等于地球半径．根据万有引力定律和牛顿第二定律有 GMm R2 －mg＝m 4π2 T2 R；在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力即 GMm R2 ＝mg0，解得 R＝ g0－gT2 4π2 . 中国^ 教育 出版 ] (3)因为 G Mm R2＝mg0，所以 M＝ g0R2 G .又因地球的体积 V＝ 4 3πR3，所以 ρ＝ M V＝ 3πg0 GT2g0－g.[中国^ 教育 出版 ]