【物理】2018届一轮复习人教版简谐运动及其描述单摆共振教案 6页

第 52 讲 简谐运动及其描述 单摆 共振 【教学目标】 1.知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象. 2.知道什么是单摆，知道在摆角较小的情况下单摆的运动是简谐运动，熟记单摆的周期公式. 3.理解受迫振动和共振的概念，掌握产生共振的条件． 【教学过程】 ★重难点一、简谐运动★ 1. 简谐运动的两种基本模型 模型 弹簧振子(水平) 单摆 简谐运动条件 (1)弹簧质量忽略不计 (2)无摩擦等阻力 (3)在弹性限度内 (1)摆线为不易伸长的轻细线 (2)无空气等阻力 (3)最大摆角θ<5° 回复力 弹簧的弹力提供 F 回＝F 弹＝ －kx(x 为形变量) 摆球重力沿与摆线垂直(即切线)方向的分力提 供 F 回＝－mgsin α＝－ mg l x(l 为摆长，x 是相 对平衡位置的位移) 平衡位置 F 回＝0，a＝0 弹簧处于原长 F 回＝0，a 切＝0， 小球摆动的最低点(此时 F 向心≠0，a＝a 向心≠0) 能量转化关系 弹性势能与动能的相互转 化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒 固有周期 T＝2π m k，T 与振幅无关 T＝2π l g，T 与振幅、摆球质量无关 2.简谐运动的特征 (1)动力学特征 F＝－kx，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系 数。 (2)运动学特征 简谐运动的加速度与物体偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，为变加速运动，远离平衡 位置时，x、F、a、Ep 均增大，v、Ek 均减小，靠近平衡位置时则相反。 (3)运动的周期性特征 相隔 T 或 nT 的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。 (4)对称性特征 ①相隔 T 2或 （2n＋1）T 2 (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、 加速度大小相等，方向相反。 ②如图所示，振子经过关于平衡位置 O 对称的两点 P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、 势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 ③振子由 P 到 O 所用时间等于由 O 到 P 所用时间，即 tPO＝tOP′， ④振子往复过程中通过同一段路程(如 OP 段)所用时间相等，即 tOP＝tPO。 (5)能量特征 振动的能量包括动能 Ek 和势能 Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机 械能守恒。 3.单摆及其周期公式 （1）单摆的受力特征 ①回复力：摆球重力沿切线方向的分力，F 回＝－mgsin θ＝－ mg l x＝－kx，负号表示回复力 F 回与位移 x 的方向相反。 ②向心力：细线的拉力和重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F 向＝FT－mgcos θ。 (3)两点说明 ①当摆球在最高点时，F 向＝ mv2 l ＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，F 向＝ ，F 向最大，FT＝mg+ 。 （4）周期公式 T＝2π l g的两点说明 ①l 为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。 ②g 为当地重力加速度。 4.分析简谐运动中各物理量的变化情况的技巧 (1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时，一定要以位移为桥梁，位移增大时，振动质点 的回复力、加速度、势能均增大，速度、动能均减小；反之，则产生相反的变化。另外，各 矢量均在其值为零时改变方向。 (2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时，回复力、加速度、动 能、势能可以确定，但速度可能有两个方向，由于周期性，运动时间也不确定。 (3)做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为零。 【典型例题】如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以 竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为 y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0 时刻，一小球从距物 块 h 高处自由落下；t＝0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小 g＝ 10 m/s2。以下判断正确的是 ( ) A．h＝1.7 m B．简谐运动的周期是 0.8 s C．0.6 s 内物块运动的路程为 0.2 m D．t＝0.4 s 时，物块与小球运动方向相反 【审题指导】 (1)由物块做简谐运动的表达式确定物块的振幅和振动周期。 (2)确定 0.6 s 时物块所在的位置。 (3)确定 0.6 s 时小球下落的高度与 h 的关系。 【答案】 AB 【解析】由物块做简谐运动的表达式 y＝0.1sin(2.5πt)m 知，ω＝2.5π，T＝ 2π ω ＝ 2π 2.5π s＝0.8 s，选项 B 正确；t＝0.6 s 时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝ 1 2gt2，解得 h＝1.7 m，选项 A 正 确；物块 0.6 s 内路程为 0.3 m，t＝0.4 s 时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向 相同。故选项 C、D 错误。 ★重难点二、简谐运动的图象★ 1．对简谐运动图象的认识 (1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示。 (2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨 迹。 2．图象信息 (1)由图象可以得出质点做简谐运动的振幅、周期和频率。 (2)可以确定某时刻质点离开平衡位置的位移。 (3)可以确定某时刻质点回复力、加速度的方向：因回复力总是指向平衡位置，故回复力和 加速度在图象上总是指向 t 轴。 (4)确定某时刻质点速度的方向：速度的方向可以通过下一时刻位移的变化来判定，下一时 刻位移如增加，振动质点的速度方向就是远离 t 轴，下一时刻位移如减小，振动质点的速度 方向就是指向 t 轴。 (5)比较不同时刻回复力、加速度的大小。 (6)比较不同时刻质点的动能、势能的大小。 3.简谐运动图像问题的两种分析方法 方法一：图像—运动结合法 解此类题时，首先要理解 xt 图像的意义，其次要把 xt 图像与质点的实际振动过程联系起来。 图像上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图像上的一段曲线对应振动的 一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向。 方法二：直观结论法 简谐运动的图像表示振动质点的位移随时间变化的规律，即位移—时间的函数关系图像，不 是物体的运动轨迹。从振动图像上可以获取以下信息： (1)可直接读取振幅 A、周期 T(两个相邻正向最大位移之间的时间间隔或两个相邻负向最大 位移之间的时间间隔)以及质点在任意时刻相对平衡位置的位移 x。也可以知道开始计时时(t ＝0)振动质点的位置。 (2)由振动图像可以判定质点在任意时刻的回复力方向和加速度方向，二者都指向时间轴。 (3)可以判断某段时间内振动质点的位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 若某段时间内质点的振动速度指向平衡位置，则质点的速度、动能均变大，位移、回复力、 加速度、势能均变小；反之，则相反。凡是图像上与时间轴距离相等的点，振动质点具有相 同的动能和势能。 (4)可以知道质点在任意时刻的速度方向。该点的斜率为正值时速度方向为正，该点的斜率 为负值时速度方向为负。 【典型例题】如图甲所示，弹簧振子以 O 点为平衡位置，在 A、B 两点之间做简谐运动。取 向右为正方向，振子的位移 x 随时间 t 的变化如图乙所示，下列说法正确的是 A．t＝0.8 s 时，振子的速度方向向左 B．t＝0.2 s 时，振子在 O 点右侧 6 cm 处 C．t＝0.4 s 和 t＝1.2 s 时，振子的加速度完全相同 D．t＝0.4 s 到 t＝0.8 s 的时间内，振子的速度逐渐减小 【答案】 A 【解析】 从 t＝0.8 s 时起，再过一段微小时间，振子的位移为负值，因为取向右为正方向， 故 t＝0.8 s 时，速度方向向左，A 正确；由题图乙得振子的位移 x＝12sin ( 5π 4 t) cm，故 t＝ 0.2 s 时，x＝6 cm，故 B 错误；t＝0.4 s 和 t＝1.2 s 时，振子的位移方向相反，由 a＝－ kx m 知， 加速度方向相反，C 错误；t＝0.4 s 到 t＝0.8 s 的时间内，振子的位移逐渐变小，故振子逐渐 靠近平衡位置，其速度逐渐变大，故 D 错误。 ★重难点三、受迫振动和共振★ 1．自由振动、受迫振动和共振的比较 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固 有周期 T0 或固有频率 f0 由驱动力的周期或频率决 定，即 T＝T 驱或 f＝f 驱 T 驱＝T0 或 f 驱＝f0 振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最 大 常见例子 弹簧振子或单摆(θ ≤5°) 机械工作时底座发生的振 动 共振筛、声音的共鸣等 2．对共振的理解 (1)共振曲线：如图所示，横坐标为驱动力频率 f，纵坐标为振幅 A。它直观地反映了驱动力 频率对某固有频率为 f0 的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与 f0 越接近，振幅 A 越大；当 f＝f0 时，振幅 A 最大。 (2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统，其机械能不守恒，系统与外界时刻进 行能量交换。 3．受迫振动和共振的两点总结 (1)无论发生共振与否，受迫振动的频率都等于驱动力的频率，但只有发生共振现象时振幅 才能达到最大。 (2)受迫振动系统中的能量转化不再只有系统内部动能和势能的转化，还有驱动力对系统做 正功补偿系统因克服阻力而损失的机械能。 【典型例题】（多选）一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅 A 与驱动力频率 f 的关系)如图所示，则下列说法正确的是( ) A．此单摆的固有周期约为 2 s B．此单摆的摆长约为 1 m C．若摆长增大，单摆的固有频率增大 D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动 E．此单摆的振幅是 8 cm 【答案】AB 【解析】 由共振曲线知此单摆的固有频率为 0.5 Hz，固有周期为 2 s；再由 T＝2π l g得此 单摆的摆长约为 1 m；若摆长增大，则单摆的固有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰 将向左移动，A、B 正确，C、D 错误；此单摆做受迫振动，只有共振时的振幅最大为 8 cm， E 错误。