【物理】2019届一轮复习人教版多维探究　殊途同归(九)　电磁感应中的“杆轨”模型学案 13页

‎[多维概述]‎ ‎　杆轨模型通常有三种典型情况 ‎1．水平光滑轨道，单杆ab在恒力F作用下由静止开始运动，先做变加速直线运动，后做匀速运动。如图所示。‎ ‎(1)变加速直线运动阶段。动态分析如下：‎ ‎(2)匀速直线运动阶段。‎ 当F安＝F，a＝0‎ ‎(3)vt图象如图所示。‎ ‎2．水平光滑轨道，单杆ab在F作用下由静止开始运动，杆ab做匀加速直线运动。如图所示。‎ ‎(1)匀加速直线运动中各物理量特点如下：‎ ‎(2)vt图象如图所示。‎ ‎3.‎ 光滑水平轨道，杆ab和杆cd开始均处于静止状态，恒力F作用在ab上，两杆开始运动，杆ab先做变加速直线运动，后做匀加速 直线运动，杆cd先做变加速直线运动，后做匀加速直线运动。如图所示。‎ ‎(1)变加速直线运动阶段 ‎(2)匀加速直线运动阶段 当aab＝acd时＝0，E总、I、F安恒定不变。‎ ‎(3)vt图象如图所示 ‎[多维展示]‎ 多维角度 单杆在恒力作用下由静止开始运动 ‎[例1]　(2017·江苏如皋一模)(多选)如图所示，两根间距为L的光滑平行金属导轨与水平面夹角为α，图中虚线下方区域内存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于斜面向上。两金属棒质量均为m，电阻均为R，垂直于导轨放置。开始时金属棒ab处在距磁场上边界一定距离处，金属棒cd处在导轨的最下端，被与导轨垂直的两根小柱挡住。现将金属棒ab由静止释放，当金属棒ab刚进入磁 场便开始做匀速直线运动，不计导轨电阻。已知重力加速度为g，则(　　)‎ A．金属棒ab进入磁场时感应电流的方向为由b到a B．金属棒ab进入磁场时速度大小为 C．金属棒ab进入磁场后产生的感应电动势为 D．金属棒ab进入磁场后金属棒cd对两根小柱的压力大小为零 解析　由右手定则可知，金属棒ab进入磁场时产生的感应电流方向由b流向a，A正确；金属棒ab刚进入磁场时受到的安培力F＝BIL＝BL·＝，金属棒ab在磁场中做匀速直线运动，由平衡条件得＝mgsinα，解得v＝，B正确；金属棒ab进入磁场后产生的感应电动势E＝BLv＝，C错误；由左手定则可知，金属棒cd受到的安培力方向平行于金属导轨向下，则金属棒cd对两根小柱的压力大小不为零，D错误。‎ 答案　AB 多维角度 单杠做匀加速运动 ‎[例2]　‎ ‎(多选)如图所示，间距为L两根平行的光滑导轨竖直放置，导轨间接有电容C，处于垂直轨道平面的匀强磁场B中，质量为m电阻为R的金属杆ab接在两导轨之间并静止释放，ab下落过程中始终保持与导轨接触良好，设导轨足够长，电阻不计。(　　)‎ A．ab做自由落体运动 B．ab做匀加速运动，且加速度为a＝ C．ab做匀加速运动，若加速度为a，则回路的电流为I＝CBLa D．ab做加速度减小的变加速运动，最后匀速运动，最大速度为vm＝ 解析　金属杆ab下落过程中产生感应电动势，电容器充电，电路中有充电电流，ab棒受到向上的安培力，设瞬时加速度为a，根据牛顿第二定律得mg－BIL＝ma。又I＝＝，又U＝E＝BLv，得I＝＝CBLa，解得a＝，可见棒的加速度不变，做匀加速直线运动，故B、C正确。‎ 答案　BC 多维角度 双杆模型 ‎[例3]　如图，间距l＝0.4 m的光滑平行金属导轨电阻不计，与水平面夹角θ＝30°，正方形区域abcd内匀强磁场的磁感应强度B＝0.2 T，方向垂直于斜面。甲、乙两金属杆电阻R相同、质量均为m＝‎ ‎0.02 kg，垂直于导轨放置。起初，甲金属杆处在磁场的上边界ab上，乙在甲上方距甲也为l处。现将两金属杆同时由静止释放，并同时在甲金属杆上施加一个沿着导轨的拉力F，使甲金属杆始终以a＝5 m/s2的加速度沿导轨匀加速运动，已知乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动，取g＝10 m/s2(　　)‎ A．甲金属杆在磁场中运动的时间是0.4 s ‎ B．每根金属杆的电阻R＝0.12 Ω C．乙金属杆在磁场运动过程中回路的电流为2.5 A D．乙金属杆在磁场运动过程中安培力功率是0.1 W 解析　乙金属杆在进入磁场前a乙＝gsin30°＝5 m/s2，即甲、乙两金属杆加速度大小相等，那么当乙刚进入磁场时，甲刚好出磁场，由v2＝2al解得乙进、甲出磁场时的速度大小均为v＝2 m/s，由v＝at解得甲金属杆在磁场中运动的时间为t＝0.4 s，乙金属杆进入磁场后有mgsin30°＝BIl，又Blv＝I·2R，联立解得R＝0.064 Ω，故B错误、A正确；乙金属杆在磁场运动过程中回路的电流为I＝＝ A＝1.25 A，C错误；乙金属杆在磁场中运动过程中安培力的功率是P＝F安v＝BIlv＝0.2×1.25×0.4×2＝0.2 W，故D错误。‎ 答案　A ‎[多途归一]‎ 分析单杆和双杆模型的关键 根据杆的数目，对于“导轨＋杆”模型题目，又常分为单杆和双杆模型。‎ ‎(1)分析单杆模型要抓住三点：①杆的稳定状态一般是变速运动达到最大速度或最小速度，此时杆所受合力为零；②整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功；③电磁感应现象遵从能量守恒定律。‎ ‎(2)双杆问题可分为两种情况：一是“假双杆”，甲杆静止不动，乙杆运动，其实质是单杆问题；另一种情况两杆都在运动，要注意两杆切割磁感线产生感应电动势的方向是否一致，总的感应电动势是相加还是相减。‎ ‎(3)单杆问题、双杆问题与动量定理、动量守恒定律相结合，将是高考的一大考试趋势，同学们在复习过程中一定要加以注意！‎ ‎[类题演练]‎ ‎1.‎ ‎(2018·辽宁盘锦月考)(多选)如图中MN和PQ为竖直方向的两平行足够长的光滑金属导轨，间距为L，电阻不计。导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，两端分别接阻值为2R的电阻R1和电容为C的电容器。质量为m、电阻为R的金属杆ab始终垂直于导轨，并与其保持良好接触。杆ab 由静止开始下滑，在下滑过程中最大的速度为v，整个电路消耗的最大电功率为P，则(　　)‎ A．电容器左极板带正电 B．电容器的最大带电量为 C．杆ab的最大速度v＝ D．杆ab所受安培力的最大功率为 答案　BC 解析　根据右手定则，感应电动势的方向为：a→b；故右板带正电荷，故A错误；当线框的速度达到最大时，感应电动势最大，感应电动势的最大值为：Em＝BLvm＝BLv；路端电压的最大值为：U＝Em＝BLv；故电容器的带电量最大为：Q＝CU＝，故B正确；杆ab克服安培力的最大功率即为整个电路消耗的最大电功率P，当杆ab的速度最大时F安＝mg，所以v＝＝，故C正确、D错误。‎ ‎2．(2018·沈阳市东北育才测试)如图1所示，两根水平的平行光滑金属导轨，其末端连接等高光滑的圆弧，其轨道半径r＝0.5 m，圆弧段在图中的cd和ab之间，导轨的间距为L＝0.5 m，轨道的电阻不计。在轨道的顶端接有阻值为R＝2.0 Ω的电阻，整个装置处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝2.0 T。现有一根长度稍大于L、电阻不计，质量m＝1.0 kg的金属棒，从轨道的水平位置ef开始在拉力F作用下，从静止匀加速运动到cd的时间t0＝2.0 s，在cd的拉力为F0＝3.0 N。已知金属棒在ef和cd之间运动时的拉力随时间变化的图象如图2所示，重力加速度g＝10 m/s2。求：‎ ‎(1)求匀加速直线运动的加速度；‎ ‎(2)金属棒做匀加速运动时通过金属棒的电荷量q；‎ ‎(3)匀加速到cd后，调节拉力使金属棒接着沿圆弧做匀速圆周运动至ab处，金属棒从cd沿圆弧做匀速圆周运动至ab的过程中，拉力做的功WF。(结果保留小数点后两位)‎ 答案　(1)1.5 m/s2　(2)1.5 C　(3)5.59 J 解析　(1)设金属棒匀加速运动的加速度为a，则运动到cd的速度：v＝at0＝2a 当金属棒在cd时为研究对象，产生的感应电动势：‎ E1＝BLv 产生的电流：I＝ 金属棒所受的安培力：F＝BIL 据牛顿第二定律得：F0－F＝ma 联立以上代入数据解得：a＝1.5 m/s2，v＝2a＝3 m/s。‎ ‎(2)电荷量q＝t，＝＝，＝ 联立得q＝＝1.5 C。‎ ‎(3)设任意时刻，v与磁场正方向的夹角为α，则垂直磁场方向的速度v⊥＝vsinα E2＝BLv⊥＝BLvsinα为正弦式交流电 有效值E有＝，Q＝·t＝ 能量转化及守恒WF＝mgr＋Q 代入数据WF≈5.59 J。‎ ‎3．(2017·北京顺义一模)如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B＝1.0 T的匀强磁场中，两根足够长的平行光滑金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L＝0.4 m。一质量为m＝0.2 kg、电阻R0＝0.5 Ω的导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。若轨道左端P点接一电动势为E＝1.5 V、内阻为r＝0.1 Ω的电源和一阻值R＝0.3 Ω的电阻。轨道左端M点接一单刀双掷开关K，轨道的电阻不计。求：‎ ‎(1)单刀双掷开关K与1闭合瞬间导体棒受到的磁场力F；‎ ‎(2)单刀双掷开关K与1闭合后导体棒运动稳定时的最大速度vm；‎ ‎(3)导体棒运动稳定后，单刀双掷开关K与1断开，然后与2闭合，求此后在电阻R上产生的电势QR和导体棒前冲的距离x。‎ 答案　(1)1 N　(2)3.75 m/s　(3)0.525 J　3.75 m 解析　(1)单刀双掷开关K与1闭合瞬间，电路中的电流I＝＝2.5 A 导体棒受到的磁场力F＝BIL＝1 N。‎ ‎(2)单刀双掷开关K与1闭合后导体棒运动稳定时产生的感应电动势E感＝BLvm＝E＝1.5 V 解得vm＝3.75 m/s。‎ ‎(3)单刀双掷开关K与2闭合后，导体棒在向左的安培力作用下最后停止，设电路中产生的总电热为Q，由能量守恒可得Q＝mv≈1.4 J，在电阻R上产生的电热QR＝Q＝0.525 J 在此过程中由动量定理可得－安·Δt＝0－mvm 又安＝BL，＝，＝，ΔΦ＝B·ΔS＝BLx 整理可得＝mvm，代入数据解得x＝3.75 m。‎ ‎4．(2017·浙江杭州四校联考)如图所示，电阻不计的两光滑金属导轨相距L，放在水平绝缘桌面上，半径为R的圆弧部分处在竖直平面内，水平直导轨部分处在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中，末端与桌面边缘平齐。两金属棒ab、cd垂直于两导轨且与导轨接触良好，棒ab质量为2m、电阻为r，棒cd的质量为m、电阻为r，重力加速度为g。开始时棒cd静止在水平直导轨上，棒ab从圆弧顶端无初速度释放，进入水平直导轨后与棒cd始终没有接触并一直向右运动，最后两棒都离开导轨落到地面上。棒ab与棒cd落地点到桌面边缘的水平距离之比为1∶3。求：‎ ‎(1)棒ab和棒cd离开导轨时的速度大小；‎ ‎(2)棒cd在水平导轨上的最大加速度；‎ ‎(3)两棒在导轨上运动过程中产生的焦耳热。‎ 答案　(1)　　(2) ‎(3)mgR 解析　(1)设ab棒进入水平导轨的速度为v1，ab棒从圆弧导轨滑下，由机械能守恒定律得 ‎2mgR＝×2mv　①‎ 离开导轨时，设ab棒的速度为v1′，cd棒的速度为v2′，ab棒与cd棒在水平导轨上运动，由动量守恒得 ‎2mv1＝2mv1′＋mv2′　②‎ 两棒离开导轨做平抛运动的时间相等，由水平位移x＝vt可知：v1′∶v2′＝x1∶x2＝1∶3　③‎ 联立①②③解得v1′＝，v2′＝。‎ ‎(2)ab棒刚进入水平导轨时，cd棒受到的安培力最大，它的加速度最大，回路的感应电动势为 E＝BLv1　④‎ I＝　⑤‎ cd棒受到的安培力为：Fcd＝BIL　⑥‎ cd棒有最大加速度为a＝　⑦‎ 联立①④⑤⑥⑦解得：a＝。‎ ‎(3)根据能量守恒，两棒在轨道上运动过程产生的焦耳热为：‎ Q＝×2mv－　⑧‎ 联立①⑧并代入v1′和v2′‎ 解得Q＝mgR。‎