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- 2021-05-26 发布
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专题四 力与曲线运动(二)——万有引力与航天
考点 1| 万有引力定律的应用 难度:中档 题型:选择题 五年 2 考
(2015·江苏高考 T3)过去几千年来,人类对行星的认识与研究仅限于太阳系
内,行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星
做匀速圆周运动,周期约为 4 天,轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 1
20
.该中心恒星与太
阳的质量比约为( )
A. 1
10
B.1
C.5 D.10
【解题关键】
关键语句 信息解读
“51 peg b”绕中心恒星做匀速
圆周运动,周期约为 4 天
中心恒星对“51 peg b”的万有引力提供向心力
“51 peg b”的周期为地球公转周期的 4
365
B [行星绕中心恒星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,由牛顿第二定律得 GMm
r2 =
m4π2
T2 r,则M1
M2
=
r1
r2
3·
T2
T1
2=
1
20 3×
365
4 2≈1,选项 B 正确.]
(2014·全国卷ⅡT18)假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力
加速度在两极的大小为 g0,在赤道的大小为 g;地球自转的周期为 T,引力常量为 G.地球的
密度为( )
A.3π
GT2
g0-g
g0
B.3π
GT2
g0
g0-g
C.3π
GT2 D.3π
GT2
g0
g
【解题关键】 解此题抓住两条信息:
(1)地表重力加速度两极为 g0,赤道处为 g.
(2)地球的自转周期为 T.
B [根据万有引力与重力的关系解题.物体在地球的两极时,mg0=GMm
R2 ,物体在赤道上
时,mg+m
2π
T 2R=GMm
R2 ,以上两式联立解得地球的密度ρ= 3πg0
GT2 g0-g
.故选项 B 正确,
选项 A、C、D 错误.]
1.高考考查特点
(1)本考点高考命题角度为万有引力定律的理解,万有引力与牛顿运动定律的应用.
(2)正确理解万有引力及万有引力定律,掌握天体质量(密度)的估算方法,熟悉一些天
体的运行常识是前提.
2.解题的常见误区及提醒
(1)不能正确区分万有引力和万有引力定律.万有引力普遍存在,万有引力定律的应用
有条件.
(2)对公式 F=Gm1m2
r2 ,应用时应明确“r”的意义是距离;m1 和 m2 间的作用力是一对作用
力与反作用力.
(3)天体密度估算时,易混淆天体半径和轨道半径.
●考向 1 万有引力与重力
1.若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛
一物体,它们在水平方向运动的距离之比为 2∶ 7.已知该行星质量约为地球的 7 倍,地球
的半径为 R.由此可知,该行星的半径约为( )
【导学号:25702017】
A.1
2
R B.7
2
R
C.2R D. 7
2
R
C [在行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物
体,它们经历的时间之比即为在水平方向运动的距离之比,所以t1
t2
= 2
7
.竖直方向上做自由
落体运动,重力加速度分别为 g1 和 g2,因此g1
g2
=2h/t2
1
2h/t2
2
=t2
2
t2
1
=7
4
.
设行星和地球的质量分别为 7M 和 M,行星的半径为 r,由牛顿第二定律得
G7Mm
r2 =mg1 ①
GMm
R2 =mg2 ②
①/②得 r=2R
因此 A、B、D 错,C 对.]
●考向 2 天体质量(密度)的估算
2.(高考改编)[例 2](2014·全国卷ⅡT18)中,若地球自转角速度逐渐增大,当角速度
增大到某一值ω0 时,赤道上的某质量为 m′的物体刚好要脱离地面.则地球的质量是多大?
【解析】 设地球质量为 M,地球两极有:
GMm
R2 =mg0 ①
在赤道对质量为 m′的物体刚要脱离时有:
GMm′
R2 =m′ω2
0·R ②
由①②得:M=g3
0/Gω4
0.
【答案】 g3
0/Gω4
0
3.(多选)(2016·郑州三校三联)一颗人造卫星在地球表面附近做匀速圆周运动,经过
t 时间,卫星运行的路程为 s,运动半径转过的角度为θ,引力常量为 G,则( )
A.地球的半径为 s
θ
B.地球的质量为 s2
Gθt2
C.地球的密度为 3θ2
4πGt2
D.地球表面的重力加速度为sθ
t
AC [根据题意可知,地球的半径 R= s
θ
,A 项正确;卫星的角速度ω=θ
t
,GMm
R2 =mRω2,
M= s3
Gθt2,B 项错误;地球的密度ρ= 3θ2
4πGt2,C 项正确;地球表面的重力加速度等于卫星的
向心加速度,即 a=Rω2=sθ
t2 ,D 项错误.]
天体质量(密度)的估算方法
1.利用天体表面的重力加速度 g 和天体半径 R.
由于 GMm
R2 =mg,故天体质量 M=gR2
G
,天体密度ρ=M
V
=
M
4
3
πR3
= 3g
4πGR
.
2.通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 r.
(1)由万有引力等于向心力,即 GMm
r2 =m4π2
T2 r,得出中心天体质量 M=4π2r3
GT2 ;
(2)若已知天体半径 R,则天体的平均密度ρ=M
V
=
M
4
3
πR3
=3πr3
GT2R3 ;
(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动,可认为其轨道半径 r 等于天体半径 R,
则天体密度ρ=3π
GT2 .可见,只要测出卫星环绕天体表面运动的周期 T,就可估算出中心天体
的密度.
考点 2| 天体的运行与发射 难度:中档 题型:选择题 五年 3 考
(多选)(2012·江苏高考 T8)2011 年 8 月,“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地
拉格朗日点”的轨道,我国成为世界上第三个造访该点的国家.如图 1 所示,该拉格朗日点
位于太阳和地球连线的延长线上,一飞行器处于该点,在几乎不消耗燃料的情况下与地球同
步绕太阳做圆周运动,则此飞行器的( )
图 1
A.线速度大于地球的线速度
B.向心加速度大于地球的向心加速度
C.向心力仅由太阳的引力提供
D.向心力仅由地球的引力提供
【解题关键】 解此题注意以下两点:
(1)“嫦娥二号”与地球同步绕太阳做圆周运动,二者角速度相同.
(2)“嫦娥二号”同时受太阳和地球的万有引力作用.
AB [飞行器与地球同步绕太阳做圆周运动,所以ω飞=ω地,由圆周运动线速度和角速
度的关系 v=rω得 v 飞>v 地,选项 A 正确;由公式 a=rω2 知,a 飞>a 地,选项 B 正确;飞
行器受到太阳和地球的万有引力,方向均指向圆心,其合力提供向心力,故 C、D 选项错.]
(多选)(2016·江苏高考 T7)如图 2 所示,两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀
速圆周运动,用 R、T、Ek、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时
间内扫过的面积.下列关系式正确的有( )
图 2
A.TA>TB B.EkA>EkB
C.SA=SB D.R3
A
T2
A
=R3
B
T2
B
【解题关键】
关键语句 信息解读
两质量相等的卫星 A、B 绕地球做匀速圆
周运动
两卫星的运动遵循开普勒行星运动定律
如图所示 两卫星的轨道半径大小关系为:RA>RB
AD [已知不同高度处的卫星绕地球做圆周运动,RA>RB.根据R3
T2=k 知,TA>TB,选项 A、
D 正确;由GMm
R2 =m v2
R
知,运动速率 v= GM
R
,由 RA>RB,得 vA<vB,则 EkA<EkB,选项 B 错误;
根据开普勒第二定律知,同一卫星绕地球做圆周运动,与地心连线在单位时间内扫过的面积
相等,对于不同卫星,SA 不一定等于 SB,选项 C 错误.]
(多选)(2013·全国卷ⅠT20)2012 年 6 月 18 日,神舟九号飞船与天宫一号目标
飞行器在离地面 343 km 的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接.对接轨道
所处的空间存在极其稀薄的大气.下列说法正确的是( )
A.为实现对接,两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
B.如不加干预,在运行一段时间后,天宫一号的动能可能会增加
C.如不加干预,天宫一号的轨道高度将缓慢降低
D.航天员在天宫一号中处于失重状态,说明航天员不受地球引力作用
【解题关键】 解此题要注意三点:
(1)正确理解宇宙速度.
(2)阻力做功,轨道如何变化.
(3)超重、失重的实质.
BC [本题虽为天体运动问题,但题中特别指出存在稀薄大气,所以应从变轨角度入手.
第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度,天体运动的速度为环绕速度,均小于第一宇
宙速度,选项 A 错误;天体运动过程中由于大气阻力,速度减小,导致需要的向心力 Fn=mv2
r
减小,做向心运动,向心运动过程中,轨道高度降低,且万有引力做正功,势能减小,动能
增加,选项 B、C 正确;航天员在太空中受地球引力,地球引力全部提供航天员做圆周运动
的向心力,选项 D 错误.]
1.高考考查特点
(1)高考的命题角度为人造卫星的运行参数,卫星的变轨及变轨前后的速度、能量变化.
(2)解此类题的关键是掌握卫星的运动模型,离心(向心)运动的原因及万有引力做功的
特点.
2.解题常见误区及提醒
(1)对宇宙速度特别是第一宇宙速度不理解.
(2)对公式 v= GM
r
不理解,误认为阻力做功速度减小半径增大.
(3)误认为宇宙飞船处于完全失重状态时不受重力作用.
(4)分析线速度(v)、角速度(ω)、周期(T)与半径 R 的关系时,不能正确控制变量.
●考向 1 天体的运行参数
4.(2014·江苏高考 T2)已知地球的质量约为火星质量的 10 倍,地球的半径约为火星半
径的 2 倍,则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A.3.5 km/s B.5.0 km/s
C.17.7 km/s D.35.2 km/s
A [根据万有引力提供向心力解题.由 GMm
r2 =m v2
r
得,对于地球表面附近的航天器有:
GMm
r2 =mv2
1
r
,对于火星表面附近的航天器有:GM′m
r′2 =mv2
2
r′
,由题意知 M′= 1
10
M、r′=r
2
,且
v1=7.9 km/s,联立以上各式得:v2≈3.5 km/s,选项 A 正确.]
5.(2016·东北三省六校联考)如图 3 所示,某极地轨道卫星的运行轨道平面通过地球
的南北两极,已知该卫星从北纬 60°的正上方按图示方向第一次运行到南纬 60°的正上方
时所用时间为 1 h,则下列说法正确的是( )
【导学号:25702018】
图 3
A.该卫星的运行速度一定大于 7.9 km/s
B.该卫星与同步卫星的运行速度之比为 1∶2
C.该卫星与同步卫星的运行半径之比为 1∶4
D.该卫星的机械能一定大于同步卫星的机械能
C [近地卫星的环绕速度等于第一宇宙速度 7.9 km/s.根据 GMm
r2 =mv2
r
,得 v= GM
r
,
半径越大线速度越小,该卫星的半径大于地球半径,则其运动速度一定小于 7.9 km/s,A
错.该卫星从北纬 60°到南纬 60°,转过 120°用时 1 h,则其转过 360°用时 3 h,即周
期为 3 h,而同步卫星的周期为 24 h,即该卫星与同步卫星的周期之比为 1∶8.根据 GMm
r2 =
m4π2
T2 r,得r3
T2= GM
4π2,则可得半径之比为 1∶4,C 正确.再由 v= GM
r
可得该卫星与同步卫
星的运行速度之比为 2∶1,B 错.在卫星绕地球做圆周运动情况下,从高轨道到低轨道要减
少机械能,若二者质量相等则该卫星的机械能小于同步卫星的机械能,D 错.]
●考向 2 赤道物体与地球卫星的比较
6.国务院批复,自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”.1970 年 4 月 24 日我
国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约
为 440 km,远地点高度约为 2 060 km;1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在
赤道上空 35 786 km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为 a1,东方红二号
的加速度为 a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3,则 a1、a2、a3 的大小关
系为( )
A.a2>a1>a3 B.a3>a2>a1
C.a3>a1>a2 D.a1>a2>a3
D [卫星围绕地球运行时,万有引力提供向心力,对于东方红一号,在远地点时有
G Mm1
R+h1
2 =m1a1,即 a1 = GM
R+h1
2,对于东方红二号,有 G Mm2
R+h2
2=m2a2,即 a2=
GM
R+h2
2,由于 h2>h1,故 a1>a2,东方红二号卫星与地球自转的角速度相等,由于东方红二
号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径,根据 a=ω2r,故 a2>a3,
所以 a1>a2>a3,选项 D 正确,选项 A、B、C 错误.]
●考向 3 卫星变轨问题
7.(高考改编)[例 5](2013·全国卷ⅠT20)中,若“神舟九号”与“天宫一号”对接前
的轨道如图 4 所示,则以下说法正确的是( )
图 4
A.在远地点 P 处,“神舟九号”的加速度与“天宫一号”的加速度相等
B.根据题中条件可以计算出地球的质量
C.根据题中条件可以计算出地球对“天宫一号”的引力大小
D.要实现“神舟九号”与“天宫一号”在远地点 P 处对接,“神舟九号”需在靠近 P
处点火减速
A [在远地点 P 处,轨道半径相同,由GMm
r2 =ma 知 a=GM
r2 ,故两者加速度相等,A 正确;
由“天宫一号”做圆周运动,万有引力提供向心力可知GMm
r2 =m4π2
T2 r,因“天宫一号”的周
期、轨道半径及引力常量未知,不能计算出地球的质量,B 错误;由于“天宫一号”质量未
知,故不能算出万有引力,C 错误;“神九”在椭圆轨道上运动,P 为其远地点,若在 P 点
前减速,则沿向上的速度分量减少,则“神九”将不能到达 P 点,D 错误.]
8.(2016·湖南十校共同体三联)如图 5 所示是某卫星绕地飞行的三条轨道,其中轨道
1 是近地圆形轨道,轨道 2 和 3 是变轨后的椭圆轨道,它们相切于 A 点.卫星在轨道 1 上运
行时经过 A 点的速率为 v,加速度大小为 a.下列说法正确的是( )
图 5
A.卫星在轨道 2 上经过 A 点时的速率大于 v
B.卫星在轨道 2 上经过 A 点时的加速度大于 a
C.卫星在轨道 2 上运行的周期大于在轨道 3 上运行的周期
D.卫星在轨道 2 上具有的机械能大于在轨道 3 上具有的机械能
A [卫星在轨道 1 上运行经过 A 点时,只有速度增大,才
能由轨道 1 变轨到轨道 2,故卫星在轨道 2 上经过 A 点时的速率大于 v,选项 A 正确;
在同一点,卫星所受的万有引力大小相等,故卫星在轨道 2 上经过 A 点时的加速度仍等于 a,
选项 B 错误;根据开普勒第三定律,对于同一中心天体,有a3
T2=k,可知卫星在轨道 2 上运
行的周期小于在轨道 3 上运行的周期,选项 C 错误;卫星在轨道 2 上运行经过 A 点时,只有
速度增大,才能由轨道 2 变轨到轨道 3,故卫星在轨道 3 上具有的机械能大于在轨道 2 上具
有的机械能,选项 D 错误.]
1.人造卫星运动规律分析“1、2、3”
2.分析卫星变轨应注意的 3 个问题
(1)卫星变轨时半径的变化,根据万有引力和所需向心力的大小关系判断;稳定的新轨
道上的运行速度变化由 v= GM
r
判断.
(2)卫星在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,机械能越大.
(3)卫星经过不同轨道相交的同一点时加速度相等,外轨道的速度大于内轨道的速度.
热点模型解读| 人造卫星运行轨道模型
考题 模型展示 模型解读
2016·全国
乙卷·T17
单星环绕模型
(1)卫星在万有引力作用下绕同一个中心天
体做匀速圆周运动
(2)轨道半径和距离相等
2015·安徽
高考 T24
多星环绕模型
(1)两颗或多颗卫星在他们的相互之间的万
有引力作用下绕某一共同圆心做匀速圆周运
动
(2)轨道半径和距离不同
2016·北京
高考 T18
卫星变轨模型
(1)由于速度的变化造成 F 引≠F 向而出现卫星
离心或向心运动
(2)同一点不同轨道速度不同,但加速度相同
[典例] (2016·山西四校联考)2014 年 3 月 8 日凌晨马航客机失联后,西安卫星测控
中心紧急调动海洋、风云、高分、遥感 4 个型号近 10 颗卫星,为地面搜救提供技术支持.特
别是“高分一号”突破了空间分辨率、多光谱与大覆盖面积相结合的大量关键技术.如图 6
为“高分一号”与北斗导航系统中的两颗卫星在空中某一面内运动的示意图.北斗导航系统
中两颗卫星“G1”和“G3”以及“高分一号”均可认为绕地心O 做匀速圆周运动.卫星“G1”
和“G3”的轨道半径均为 r,某时刻两颗卫星分别位于轨道上的 A、B 两位置,“高分一号”
在 C 位置.若卫星均顺时针运行,地球表面处的重力加速度为 g,地球半径为 R,不计卫星
间的相互作用力.则以下说法正确的是( )
图 6
A.卫星“G1”和“G3”的加速度大小相等,均为 R2
r
g
B.卫星“G1”由位置 A 运动到位置 B 所需的时间为2πr
3R
r
g
C.如果调动“高分一号”卫星到达卫星“G3”所在的轨道,必须对其减速
D.“高分一号”是低轨道卫星,其所在高度处有稀薄气体,运行一段时间后,高度会
降低,速度增大,机械能会减小
【解题指导】 由 GMm
R2 =mg,GMm
r2 =mg′,得 g′=R2
r2g,A 错;卫星“G1”由位置 A 运动
到位置 B 所需时间为 t=T
6
=πr
3R
r
g
,B 错;若想使“高分一号”到达卫星“G3”所在轨道,
必须对其加速,C 错;稀薄气体对“高分一号”有阻力,做负功,所以“高分一号”机械能
减小,在引力作用下,高度降低,速度增大,D 正确.
【答案】 D
[拓展应用] (多选)如图 7 是“嫦娥三号”飞行轨道示意图.假设“嫦娥三号”运行经
过 P 点第一次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道Ⅰ上运动,
再次经过 P 点时第二次通过近月制动使“嫦娥三号”在距离月面近地点为 Q、高度为 15 km,
远地点为 P、高度为 100 km 的椭圆轨道Ⅱ上运动,下列说法正确的是( )
图 7
A.“嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道Ⅰ上运动时速度大小可能变化
B.“嫦娥三号”在距离月面高度 100 km 的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道
Ⅱ上运动的周期
C.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过 Q 点时的加速度一定大于经过 P 点时的加速
度
D.“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过 Q 点时的速率可能小于经过 P 点时的速率
BC [“嫦娥三号”在距离月面高度为 100 km 的圆轨道上的运动是匀速圆周运动,速度
大小不变,选项 A 错误;由于圆轨道的轨道半径大于椭圆轨道半长轴,根据开普勒第三定律,
“嫦娥三号”在距离月面高度 100 km 的圆轨道Ⅰ上运动的周期一定大于在椭圆轨道Ⅱ上运
动的周期,选项 B 正确;由于在 Q 点“嫦娥三号”所受万有引力大,所以“嫦娥三号”在椭
圆轨道Ⅱ上运动经过 Q 点时的加速度一定大于经过 P 点时的加速度,选项 C 正确;根据开普
勒第二定律“嫦娥三号”在椭圆轨道Ⅱ上运动经过 Q 点时的速率一定大于经过 P 点时的速
率,选项 D 错误.]
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