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- 2021-05-26 发布
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数学试题 第 1 页 共 2 页
龙泉中学、荆州中学、宜昌一中 2020 年秋季学期
高三九月联考
数 学 试 题
本试卷共 2 页,共 22 题。满分 150 分,考试用时 120 分钟
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.设全集 1
2
| 0 | log 0U x x M x x
, ,则 U M C
A. ( ,1] B. (1, ) C. (0,1] D. [1, )
2.己知 a b c ,则下列各式成立的是
A.ln lnab B. ccab C. abcc D. 11cc
ba
3.已知函数
24xx
xfx
,则函数 1
1
fx
x
的定义域为
A. ,1 B. ,1 C. , 1 1,0 D. , 1 1,1
4.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流
传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙
魔方”,是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示,一与六
共宗居下,二与七为朋居上,三与八同道居左,四与九为友居右,五
与十相守居中,其中白圈数为阳数,黑点数为阴数,若从阳数和阴数
中各取一数,则其差的绝对值为 3 的概率为
A. 1
5
B. 7
25
C. 8
25
D. 2
5
5.设 p:实数 x 满足 2 1 0 0 5x a x a a 其中 ,q:实数 x 满足ln 2x ,则 p 是 q 的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6. 已知函数 2( ) ln( 1)f x x x ,若正实数 ab, 满足 (4 ) ( 1) 0f a f b ,则 11
ab 的最小值为
A. 4 B. 8 C. 9 D. 13
7.若函数 fx对 ,Rab,同时满足:(1)当 0ab时有 0f a f b;(2)当 0ab时有
0f a f b,则称 fx为 函数.下列函数中是 函数的为
① sinf x x x ,②
0, 0
1 ,0
x
fx xx
, ③ e +exxfx , ④ ()f x x x
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
8.定义:若函数 ()y f x 在区间[ , ]ab上存在 1 2 1 2,x x a x x b ,满足 1
( ) ( )' f b f afx ba
,
2
( ) ( )' f b f afx ba
,则称函数 ()y f x 是在区间[ , ]ab上的一个双中值函数.已知函数 326() 5f x x x
是区间[0, ]t 上的双中值函数,则实数 t 的取值范围是
A. 36,55
B. 26,55
C. 23,55
D. 61, 5
二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求.全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分.
9. 某地某所高中 2020 年的高考考生人数是 2016 年高考考生人数的 1.5 倍,为了更好地对比该校考生
的升学情况,统计了该校 2016 年和 2020 年的高考升学情况,得到如下柱图,则下列结论正确的是
2016 年高考数据统计 2020 年高考数据统计
A. 与 2016 年相比,2020 年一本达线人数有所增加
B. 与 2016 年相比,2020 年二本达线人数增加了 0.5 倍
C. 与 2016 年相比,2020 年艺体达线人数相同
D. 与 2016 年相比,2020 年不上线的人数有所增加
10.若 2021 2 3 2021
0 1 2 3 202112x a a x a x a x a x x R ,则
A. 0 1a B.
2021
1 3 5 2021
31
2a a a a
C.
2021
0 2 4 2020
31
2a a a a D. 3 202112
2 3 2021 12 2 2 2
aaaa
11.已知定义 ( , ) ( ) (2 ),f x f x 的奇函数,满足 若 (1) 1,f 则
A. (3) 1f B. 4 ( )fx是 的一个周期
C. (2018) (2019) (2020) 1f f f D. 的图像关于 1x 对称
12. 3 2 12 ,yzx已知正数x,y,z满足 下列结论正确的有
A. 6 2 3z y x B. 1 2 1
x y z C. (3 2 2)x y z D. 28xy z
三、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
数学试题 第 2 页 共 2 页
13. 若“ 1,2 0x x a , ”是假命题,则实数 a 的取值范围是__________.
14.已知 ()fx为偶函数,当 0x 时, ln( )() xfx x
,则曲线 ()y f x= 在点(1,0)处的切线方程是 .
15.5 人并排站成一行,甲乙两人之间恰好有一人的概率是__________.(用数字作答)
16.已知函数
012
01
2 xxx
xe
x
xf x ,则方程 2021( )= 2020fx 的实根的个数为 ;
若函数 1))(( axffy 有三个零点,则 a 的取值范围是 .
四、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)设数列{}na 的前 n 项和为 nS ,在① 234, , 4a a a 成等差数列.
② 1 2 3+,,2SSS成等差数列中任选一个,补充在下列的横线上,并解答.
在公比为 2 的等比数列{}na 中,
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 2( 1)log ,nnb n a 求数列
2
2
22
n
nn
b
的前 n 项和 .nT
(注:如选择两个条件分别解答,按第一个解答计分)
18.(本小题满分 12 分)已知定义域为 R 的函数 ( ) ( 1)xxf x a k a (0a 且 1)a 是奇函数.
(1)求实数 k 的值;
(2)若 (1) 0f ,求不等式 2( ) (4 ) 0f x tx f x 对 xR 恒成立时t 的取值范围.
19.(本小题满分 12 分)为调研高中生的作文水平,在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科
生人数之比为 1:4,且成绩分布在 的范围内,规定分数在 50 以上含 的作文获奖,按文理科用
分层抽样的方法抽取 400 人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示,其中 a,b,c 构成
以 2 为公比的等比数列.
求 a,b,c 的值;
填写下面 列联表,能否在犯错误的概率不超过
的情况下认为“获奖”与“学生的文理科”有关?
文科生 理科生 合计
获奖 6
不获奖
合计 400
从获奖的学生中任选 2 人,求至少有一个文科生的概率.
附:
2
2 ()
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d .
k
20.(本小题满分 12 分)一动圆与圆 1)1(: 22
1 yxO 外切,与圆 9)1(: 22
2 yxO 内切;
(1)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程.
(2)设过圆心 1O 的直线 1: myxl 与轨迹 L 相交于 A、B 两点,请问 2ABO ( 2O 为圆 的圆心)的
内切圆 N 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线l 的方程,若
不存在,请说明理由.
21.(本小题满分 12 分)某科技公司新开发一电子产品,该电子产品的一个系统G 有 3 个电子元件组成,
各个电子元件能否正常工作的概率均为 1
2
,且每个电子元件能否正常工作相互独立,若系统 中有超
过一半的电子元件正常工作,则 可以正常工作,否则就需要维修,且维修所需要的费用为 500 元.
(1)求系统 不需要维修的概率;
(2)该电子产品共由 3 个完全相同的系统 组成,设 Y 为电子产品需要维修的系统所需的费用,求Y
的分布列与数学期望;
(3)为提高系统 正常工作概率,在系统 内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件,每个
新元件正常工作的概率均为 p ,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作,则 可以正常工
作,问: 满足什么条件时,可以提高整个系统 的正常工作概率?
22.(本小题满分 12 分)已知函数 axxexf x )( , Ra .
(1)设 )(xf 的导函数为 )(' xf ,求 )(' xf 的最小值;
(2)设 xaxaxaxxg a )1(lnln)( ,当 ),1( x 时,若 )()( xgxf 恒成立,求a 的取值范围.
数学试题 第 3 页 共 2 页
龙泉中学、荆州中学、宜昌一中 2020 年秋季学期
高三九月联考数学参考答案
一、单项选择题:1-4 DCDB 5-8 ACDA
二、多项选择题:9.AD 10. ACD 11. BCD 12. BCD
三、填空题: 13. -1 +, 14. -1 0xy+=
15. 3
10 16.3, 11(1,1 ) (2,3] 3ee
UU (第一空 2 分,第二空 3 分)
四.解答题
17.解:(1)选①:因为 , , 成等差数列,所以 ,
所以 ,解得 ,所以 . ……………………………………………5 分
选②:因为 1 2 3+,,2SSS成等差数列,所以 2 1 3 322 +2 + 4== +SS a aS ,即 ,
所以 1 1+42 =4aa,解得 ,所以 . …………………………………………………5 分
(2)因为 ,所以 ,
所以,
2
2
2 2 2 1 12( )( 1) 1n
nn
b n n n n
………………………………………………………8 分
所以 1 1 1 1 12 1 + - +......+2 2 3 n 1nT n
121 1n
2
1
n
n
……………………10 分
18.解:(1)∵ ()fx是定义域为 R 的奇函数,
∴ 00(0) ( 1) 1 ( 1) 0f a k a k ∴ 2k . ………………………………………… 4 分
经检验: 时, () xxf x a a (0a 且 1)a 是奇函数.故 ……………………5 分
(2) ( ) ( >0 1)xxf x a a a a 且
10,1,0,01,0)1( aaaaaf 且又 , ………………………………… 7 分
而 xya 在 R 上单调递减, xya 在 R 上单调递增,
故判断 () xxf x a a 在 R 上单调递减,………………………………………………………8 分
不等式化为 2( ) ( 4)f x tx f x , 2 4x tx x ,
2 ( 1) 4 0x t x 恒成立,…………………………………………………………………10 分
2( 1) 16 0t ,解得 35t . ………………………………………………12 分
19.解: 由频率分布直方图可知, ,
因为 a,b,c 构成以 2 为公比的等比数列,所以 ,解得 ,
所以 , .故 , , . ………………3 分
获奖的人数为 人,因为参考的文科生与理科生人数之比为 1:4,
所以 400 人中文科生的数量为 ,理科生的数量为 . ……………5 分
由表可知,获奖的文科生有 6 人,所以获奖的理科生有 人,不获奖的文科生有
人.于是可以得到 列联表如下:
文科生 理科生 合计
获奖 6 14 20
不获奖 74 306 380
合计 80 320 400
25= 1.316 6.63519 ………………………………………………8 分
所以在犯错误的概率不超过 的情况下,不能认为“获奖”与“学生的文理科”有关.…………9 分
获奖的学生一共 20 人,其中女生 6 人,男生 14 人,从中任选 2 人,至少 1 名女生的概率为
1 1 2
6 14 6
2
20
99
190
C C CP C
………………………………………………………………………………12 分
20. 解:(1)设动圆圆心为 M(x,y),半径为 R.
由题意,得 RMORMO 3||,1|| 21 , 4|||| 21 MOMO ………………………2 分
由椭圆定义知 M 在以 1O , 2O 为焦点的椭圆上,且 a=2,c=1,
314222 cab . ∴动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为 134
22
yx …………………4 分
(2)如图,设 2ABO 内切圆 N 的半径为 r,与直线 l 的切点为 C,则三角形 2ABO 的面积
rBOAOABS ABO |)||||(|2
1
222
rBOBOAOAO |)]||(||)||[(|
2
1
2121 rar 42
当
2ABOS 最大时,r 也最大, 2ABO 内切圆的面积也最大,……………………………………5 分
设 ),( 11 yxA 、 )0,0)(,( 2122 yyyxB ,
则 21221121 ||||2
1||||2
1
2
yyyOOyOOS ABO , ………………………………………6 分
由
134
1
22 yx
myx
,得 096)43( 22 myym ,
,43
9,43
6- 221221
myym
myy ………………………………8 分
43
112
2
2
2
m
mS ABO ,令 12 mt ,则 t≥1,且 m2=t2-1,
有 4)1(3
12
22 t
tS ABO
ttt
t
13
12
13
12
2
,………………………10 分
令
tttf 13)( ,则 2
13)(' ttf ,
数学试题 第 4 页 共 2 页
当 t≥1 时, 0)(' tf ,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 4)1()( ftf , 34
12
2
ABOS ,
即当 t=1,m=0 时,4r 有最大值 3,得
4
3
max r ,这时所求内切圆的面积为 16
9
∴存在直线 2,1: ABOxl 的内切圆 M 的面积最大值为 16
9 . ……………………………………12 分
21.解:(1)系统 G 不需要维修的概率为
2 2 3 3
33
1 1 1 1( ) ( )2 2 2 2CC
. …………………………2 分
(2)设 X 为维修的系统 G 的个数,则 1~ (3, )2XB ,且 500YX ,
所以 3
3
11( 500 ) ( ) ( ) ( ) , 0,1,2,322
k k kP Y k P X k C k .………………………………4 分
所以Y 的分布列为
Y 0 500 1000 1500
P 1
8
3
8
所以Y 的期望为 1( ) 500 3 7502EY 元………………………………………………6 分
(3)当系统G 有 5 个电子元件时,
若前 3 个电子元件中有 1 个正常工作,同时新增的两个必须都正常工作,
则概率为 1 2 2 2
3
1 1 3()2 2 8C p p ;……………………………………………………………7 分
若前 3 个电子元件中有两个正常工作,同时新增的两个至少有 1 个正常工作,
则概率为 2 2 1 2 2 2 2
3 2 3
1 1 1 1 3( ) (1 ) ( ) (2 )2 2 2 2 8C C p p C p p p ; ……………8 分
若前 3 个电子元件中 3 个都正常工作,则不管新增两个元件能否正常工作,
系统 均能正常工作,则概率为 33
3
11()28C .……………………………………………10 分
所以新增两个元件后系统 能正常工作的概率为 223 3 1 3 1(2 )8 8 8 4 8p p p p ,
于是由 3 1 1 3(2 1)4 8 2 8pp 知,当 2 1 0p 时,即 1 12 p<<时,
可以提高整个系统 的正常工作概率. ……………………………………………………12 分
22. 解:(1) aexxf x )1()(' '' ( ) ( 2) xf x x e
所以 '( ) - ,-2 , -2,+fx 在 上单调递减 在 上单调递增
所以 '
2
1( ) '( 2)f x f a e 的最小值为 …………………………………………………………4 分
(Ⅱ)当 ),1( x 时,若 )()( xgxf 成立,
即 xaxaxxxe ax lnln 对 ),1( x 恒成立,
亦即 xaexaxxe xx ln)ln( ln 对 ),1( x 恒成立.………………………………………6 分
1 ( ) ( ln )a f x f a x即 时
2
11 '( ) 1- 0efx 由( )知a=1时 的最小值为 ,所以 ()fx在 R 上单调递增.…………………8 分
xax ln 在 ),1( 上恒成立.
令 xaxxm ln)( ,则
x
ax
x
axm 1)(' .
① 1a 时, 0)(' xm 在 ),1( 上恒成立, 01)1()( mxm ,此时满足已知条件,…9 分
②当 1a 时,由 0)(' xm ,解得 ax .
当 ),1( ax 时, 0)(' xm ,此时 )(xm 在 ),1( a 上单调递减;
当 ),( ax 时, 0)(' xm ,此时 )(xm 在 ),( a 上单调递增.
)(xm 的最小值 0ln)( aaaam ,解得 ea 1 . ……………………………………11 分
综上, a 的取值范围是 ],( e …………………………………………………………………12 分
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