高中物理人教版必修一导学案：第二章第三节+匀变速直线运动的位移与时间的关系 6页

3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 课堂合作探究 问题导学 一、用图象表示位移 活动与探究 1 1．物体做匀速直线运动的 v－t 图象是平行于横轴 t 轴的一条直线，如图所示。矩形的 边长正好是速度 v 和时间 t，矩形的“面积”正好是 v－t，故物体的位移对应着 v－t 图象中 一块矩形的“面积”。 对于匀变速直线运动，它的位移与它的 v－t 图象，是不是也有类似的关系？试推导说 明。 2．从车站开出的汽车做匀加速直线运动，走了 12 s 时，发现还有乘客没上来，于是立 即做匀减速运动至停车．汽车从开出到停止总共历时 20 s，行进了 50 m。求汽车的最大速 度。 迁移与应用 1 某一做直线运动的物体的图象如图所示，根据图象求： （1）物体距出发点的最远距离；[来源:Z,xx,k.Com] （2）前 4 s 内物体的位移； （3）前 4 s 内物体通过的路程。 （1）v－t 图象与 t 轴所围的“面积”表示位移的大小。 （2）面积在 t 轴以上表示位移是正值，在 t 轴以下表示位移是负值。 （3）物体的总位移等于各部分位移（正负面积）的代数和。 （4）物体通过的路程为 t 轴上、下“面积”绝对值的和。 二、匀变速直线运动位移公式的应用 活动与探究 2 2011 年太平洋冰壶锦标赛在南京奥体中心完美收官。主场作战的中国队表现出色，包 揽了男、女两个项目 的金牌。如图，冰壶以速度 v 垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速 直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的 E 点时，速度恰好为零。冰壶通过前三个矩 形的时间为 t，试通过所学知识计算冰壶通过四个矩形区域所需的时间。 迁移与应用 2 以 10 m/s 的速度匀速行驶的汽车，刹车后做匀减速直线运动。若汽车刹车后第 2 s 内的 位移为 6.25 m（刹车时间超过 2 s），则刹车后 6 s 内汽车的位移是多大？ （1）公式 x＝v0t＋1 2at2 为矢量式，其中的 x、v0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的 正方向，一般选初速度 v0 的方向为正方向。若物体做匀加速直线运动，a 与 v0 同向，a 取正 值。若物体做匀减速直线运动，a 与 v0 反向，a 取负值。若位移的计算结果为正值，说明这 段时间内位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移 的方向与规定的正方向相反。 （2）公式 x＝v0t＋1 2at2 是匀变速直线运动的位移公式而不是路程公式，利用该公式计 算出的是位移而不是路程。只有在物体做单方向直线运动时，位移的大小才等于路程。[来源:Zxxk.Com] （3）因为公式是关于 t 的一元二次函数，故在 x－t 图象中图线是抛物线的一部分。 （4）当 v0＝0 时，x＝1 2at2；当 a＝0 时，x＝v0t。 三、匀变速直线运动的两个重要推论 活动与探究 3 1．试证明：做匀变速直线运动的物体在一段时间 t 内的平均速度等于这段时间的中间 时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半，即 v ＝ 2 tv ＝v0＋vt 2 。 2．试证明：在任意两个连续相等的时间间隔 T 内，位移之差是一个常量，即 Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2。 迁移与应用 3 一个做匀加速直线运动的质点，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是 24 m 和 64 m，每个时间间隔为 4 s，求质点的初速度和加速度。 （1）应用推论 v ＝ 2 tv ＝v0＋v 2 解题时应注意： ①推论 v ＝ 2 tv ＝v0＋v 2 只适用于匀变速直线运动，且该等式为矢量式。 ②该推论是求瞬时速度的常用方法。 ③v0＝0 时， 2 tv ＝v 2 ；v＝0 时， 2 tv ＝v0 2 。 （2）对一般的匀变速直线运动问题，若出现相等的时间间隔的条件，应优先考虑用公 式Δx＝aT2 求解。 （3）运动学问题的求解一般均有多种解法，一题多解可以熟练地掌握运动学规律，提 高灵活运用知识的能力。从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法，从而提高 解题能力。 当堂检测 1．一物体由静止开始做匀加速直线运动，在 t 内通过位移 x，则它从出发开始通过x 4 所 用的时间为（ ） A．t 4 B．t 2 C． t 16 D． 2 2 t 2．一辆汽车从甲地出发，沿平直公路开到乙地刚好停止，其速度图象如图所示。那么 0～t 和 t～3t 两段时间内，下列说法中正确的是（ ） A．加速度的大小之比为 2∶1 B．位移的大小之比为 2∶1 C．平均速度的大小之比为 2∶1 D．中间时刻瞬时速度的大小之比为 1∶1 3．某物体做直线运动，物体的速度—时间图象如图所示。若初速度的大小为 v0，末速 度的大小为 v1，则在时间 t1 内物体的平均速度（ ） A．等于 0 1 1 2 v v（ ） B．小于 0 1 1 2 v v（ ） C．大于 0 1 1 2 v v（ ） D．条件不足，无法比较 4．汽车以 10 m/s 的速度在公路上匀速行驶，刹车后以 2 m/s2 的加速度做匀减速直线运 动，求刹车后 8 s 内汽车通过的位移大小。 5．由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第 1 s 内通过 0.4 m 的位移，问： （1）汽车在第 1 s 末的速度为多大？ （2）汽车在第 2 s 内通过的位移为多大？ （3）汽车在第 2 s 内通过的位移与第 1 s 内通过的位移之差是多少？ 答案： 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究 1：1．答案：有类似的关系。下面利用微分思想推导：在匀变速直线运动 中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似用我 们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。 如果把每一小段时间Δt 内的运动看做匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运 动的位移之和，虽然小于匀变速直线运动在该段时间内的位移，但时间间隔分割得越小，各 匀速直线运动的位移之和与匀变速直线运动的位移之间的差值就越小，当Δt→0 时，各矩形 面积之和趋近于 v－t 图线下面的面积。可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细， 很多很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于图丙中梯形的面 积。 当时间间隔分割得足够小时，折线趋近于直线 AP，设想的运动就代表了真实的运动， 由此可以求出匀变速运动在时间 t 内的位移，它在数值上等于直线 AP 下方的梯形 OAPQ 的 面积（图丙）。这个面积等于 S＝S1＋S2＝OA·OQ＋1 2AR·RP＝v0t＋1 2at2， 即位移 x＝v0t＋1 2at2。 这就是匀变速直线运动的位移公式。 2．答案：应用图象法，作出运动全过程的 v－t 图象，如图所示。v－t 图线与 t 轴围成 的三角形的面积与位移等值，故 vm＝5 m/s。 迁移与应用 1：答案：（1）6 m （2）5 m （3）7 m 解析：由图象可以看出物体在 0～1 s 内沿正方向做匀加速直线运动，在 1～3 s 内沿正 方向做匀减速直线运动，在 3～4 s 内沿反方向做匀加速直线运动。 （1）物体在第 3 s 末离出发点最远，最远的距离等于图象中前 3 s 内三角形的面积，即 x＝1 2 ×3×4 m＝6 m。 （2）物体在前 4 s 内的位移为 t 轴上方三角形的面积与 t 轴下方三角形面积之差，即 x2 ＝1 2 ×3×4 m－1 2 ×1×2 m＝5 m。 （3）物体在前 4 s 内通过的路程为 t 轴上方三角形的面积与 t 轴下方三角形面积之和， 即 s＝1 2 ×3×4 m＋1 2 ×1×2 m＝7 m。 活动与探究 2：答案：根据匀变速直线运动的位移公式和速度公式，[来源:Zxxk.Com] 由 A 到 E 有 4l＝vt1－1 2at21，0＝v－at1 由 A 到 D 有 3l＝vt－1 2at2 联立解得 t1＝2t 或 t1＝2 3t，显然 2 3t 不符合题意，应舍去。 迁移与应用 2：答案：20 m 解析：本题考查应用匀变速直线运动规律分析刹车问题，首先应求得刹车的时间。 设从刹车到停下的时间为 t0，刹车的加速度为 a，由匀变速直线运动得[来源:学_科_网] x1＝v0t2＋1 2at22－（v0t1＋1 2at21） 代入数据解得 a＝－2.5 m/s2 负号表示加速度与初速度方向相反 由 v＝v0＋at 得 t0＝v－v0 a ＝0－10 －2.5 s＝4 s＜6 s 汽车在 4 s 内已停下，6 s 内位移即 4 s 内的位移 x＝v0t0＋1 2at20＝10×4 m＋1 2 ×（－2.5）×42 m＝20 m。 活动与探究 3：1．证明：设物体的初速度为 v0，做匀变速运动的加速度为 a，t 秒末的 速度为 vt。由 x＝v0t＋1 2at2 得，① 平均速度 v ＝x t ＝v0＋1 2at② 由速度公式 vt＝v0＋at，当 t′＝t 2 时 0 2 = + 2t tv v a ③ 由②③得 2 = tv v ④ 又 2 = + 2t t tv v a ⑤ 由③④⑤解得 0 2 2 t t v vv  ⑥ 所以 0 2 2 t t v vv v   。 2．证明：时间 T 内的位移 x1＝v0T＋1 2aT2① 在时间 2T 内的位移 x2＝v02T＋1 2a（2T）2② 则 xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③ 由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2 迁移与应用 3：答案：1 m/s 2.5 m/s2 解析：匀变速直线运动的规律可用多个公式描述，选择不同的公式，是审题的视角、观 点不同，是解题的物理思想不同。 解法 1：基本公式法 画出过程示意图，如图所示，因题目中只涉及位移与时间，故选择公式： 2 1 1 2Ax v t at  2 2 2 1 1(2 ) (2 ) ( )2 2A Ax v t a t v t at    将 x1＝24 m，x2＝64 m，t＝4 s 代入上式解得：[来源:学科网] a＝2.5 m/s2 vA＝1 m/s 解法 2：求平均速度法 连续的两段时间 t 内的平均速度分别为： v1 ＝x1 t ＝24 4 m/s＝6 m/s， v2 ＝x2 t ＝64 4 m/s＝16 m/s B 点是 AC 段的中间时刻，则 v1 ＝vA＋vB 2 ， v2 ＝vB＋vC 2 又 vB＝vA＋vC 2 ＝ v 1＋ v 2 2 ＝6＋16 2 m/s＝11 m/s 得：vA＝1 m/s，vC＝21 m/s a＝vC－vA 2t ＝21－1 2×4 m/s2＝2.5 m/s2 解法 3：用Δx＝aT2 求解 由Δx＝aT2 得 a＝Δx T2 ＝40 42 m/s2＝2.5 m/s2 再由 x1＝vAT＋1 2aT2 解得 vA＝1 m/s 【当堂检测】 1．B 2．AD 3．C 4．答案：25 m 5．答案：（1）0.8 m/s （2）1.2 m （3）0.8 m