【物理】2019届一轮复习人教版高中物理中的数学方法(二)学案 7页

第11讲 高中物理中的 数学方法(二)‎ 数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使物理问题显示出明显的规律性。可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程。‎ 这一讲中我们总结几种常用的数学方法。‎ ‎11.1 二次函数 知识点睛 高中物理中有关的二次函数应用主要包括以下几个方面：‎ ‎1．利用二次函数的解析式、图象，结合解析几何解决物理问题。‎ ‎2．利用二次函数求极值 二次函数：（其中、、为实常数），当时，有极值（若二次项系数，有极小值；若，有极大值）。‎ ‎3．利用判别式 利用一元二次方程的判别式可以建立含所求物理量的不等式，从而求解物理量的范围或极值。这种方法使用的不多，这里作为介绍，大家了解即可。‎ 比如，在解决追击相遇问题时，设追者甲和被追者乙最初相距，令两者在时相遇，则由可以得到关于的一元二次方程；当时，两者相撞或相遇两次；当时，两者刚好相撞或相遇；时，两者不会相遇或相撞。‎ 注意：用这种方法判断两者不相撞时相对简单；判断两者相撞时，还要对根的合理性进行检验，因为，只能保证有解，但物理上还要求。‎ 例题精讲 例题说明：例1、例2结合二次函数图象、解析式解决物理问题；例3利用二次函数求极值；例4为二次函数判别式的应用，这道题解法很多，放在这里主要是介绍一下判别式求解这种方法。‎ 【例1】 物体做自由落体运动，代表动能，代表势能，代表下落的距离，以水平地面为零势能面。下列所示图象中，能正确反映各物理量之间关系的是 【答案】 B ‎ 【例2】 一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。此队员从山沟的竖直一侧，以速度沿水平方向跳向另一侧坡面。如图所示，以沟底的点为原点建立坐标系。已知，山沟竖直一侧的高度为，坡面的抛物线方程为，探险队员的质量为。人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为。求此人落到坡面时的动能；‎ 【答案】 【例3】 木块以速度沿光滑曲面滑行，上升到顶部水平的跳板后飞出，求跳板高度多大时，木块飞行的水平距离最大，最大水平距离是多少（）‎ 【答案】 当时，‎ 【例4】 在平直道路上，甲汽车以速度匀速行驶。当甲车司机发现前方距离为处的乙汽车时，立即以大小为的加速度匀减速行驶，与此同学时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为的加速度沿甲运动的方向匀加速运动。则 A．甲、乙两车之间的距离一定不断减小 B．甲、乙两车之间的距离一定不断增大 C．若，则两车一定不会相撞 D．若，则两车一定不会相撞 【答案】 D ‎（说明：例4放在这里主要是介绍一下判别式求解这种方法）‎ ‎11.2 不等式 知识点睛 高中物理中不等式的应用主要涉及两个方面：‎ ‎1．确定物理量的范围。‎ ‎2．利用基本不等式求极值。‎ ‎⑴ 均值不等式：；‎ ‎⑵ 三角函数：，其中，，‎ 当时，有最大值 例题精讲 例题说明：例5、例6利用不等式确定物理量的范围；例7、例8、例9利用不等式求极值，其中例7是三角函数极值，例8是二元均值不等式求极值，例9是三元均值不等式求极值。‎ 【例1】 质量为的物块以速度运动，与质量为的静止物块发学生正撞，碰撞后两者的动量正好相等，两者质量之比可能为 A．2 B．3 C．4 D．5‎ 【答案】 AB 【例2】 利用电场和磁场，可以将比荷不同学的离子分开，这种方法在化 分析和原子核技术等领域有重要的应用。如图所示的矩形区域（边足够长）中存在垂直于纸面的匀强磁场，处有一狭缝。离子源产学生的离子，经静电场加速后穿过狭缝沿垂直于边且垂直于磁场的方向射入磁场，运动到边被相应的收集器收集，整个装置内部为真空。已知被加速的两种正离子的质量分别是和（），电荷量均为，加速电场的电势差为，离子进入电场时的初速度可以忽略。不计重力，也不考虑离子间的相互作用。‎ ‎⑴ 求质量为的离子进入磁场时的速率；‎ ‎⑵ 当磁感应强度的大小为时，求两种离子在边落点的间距；‎ ‎⑶ 在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定宽度。若狭缝过宽，可能使两束离子在边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离。设磁感应强度大小可调，边长为定值，狭缝宽度为，狭缝右边缘在处。离子可以从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于边且垂直于磁场。为保证上述两种离子能落在边上并被完全分离，求狭缝的最大宽度。‎ 【答案】 ‎⑴ ；⑵ ；⑶ ‎ ‎ ]‎ 【例3】 物体放置在水平地面上，与地面之间的动摩擦因数为，物体重为，欲使物体沿水平地面做匀速直线运动，所用的最小拉力为多大？‎ 【答案】 【例1】 已知电源电动势为，内阻不计，三个电阻的阻值均为，求当滑片滑到何处时，电路中的电流最小，并求出最小值 【答案】 滑片滑到中点时，‎ ‎ 。 。 ]‎ 【例2】 一轻绳一端固定在点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值 【答案】 时，功率有最大值。‎ ‎ ‎ ‎ ]‎ ‎11.3 微元法 ‎ ]‎ 知识点睛 ‎ ]‎ 微元法通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑的 思维方法。这个小部分可以是时间的一小部分，也可以是空间的一小部分。由于该部分很小，所以可以做一些近似，如匀速运动的近似，恒力的近似等等，那么对该小部分可以简单的写出物理方程，得到物理量之间的基本关系。在高中物理课本中微元法通常用于如下几个方面：1.通过对时间、位移的微分定义瞬时概念，如瞬时速度、瞬时加速度、瞬时功率、瞬时电流、瞬时感应电动势等；2.通过对运动轨迹的微元，处理复杂曲线运动问题，如曲化直、曲化圆；3.通过先微分再求和的方法，求解复杂的过程量，如变速运动的位移、变力做功、流动的总电荷量等。‎ ‎ 补充：教学材中的微元法总结 ]‎ ‎1．通过时间或位移微元定义概念 ‎《必修1》P16，瞬时速度的定义 ‎《必修2》P18，“做一做”向心加速度表达式的推导 ‎2．通过对运动轨迹的微元，处理复杂曲线运动问题 ‎《必修2》P21，在介绍一般曲线运动的处理方法时说“可以将这条曲线分割成很多小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分”——曲化圆的思想 ‎《必修2》P59，重力做功与路径无关的推导 ‎《选修3-1》P16，“我们可以用无数组跟静电力垂直和平行的直线来逼近曲线ANB”；此原理可迁移至安培力中的等效长度计算 ‎《选修3-1》P99，这两处同学样利用微分轨迹，得出每一小段过程中力与位移垂直，洛伦兹力不做功。‎ ‎3．通过先微分再求和的方法，求解复杂的过程量 ‎⑴ 此类问题通常可通过图象面积的方法进行处理，如：‎ ‎《必修1》P38，匀变速直线运动位移公式的推导 ‎《必修2》P64，弹力做功的计算 ‎《选修3-1》P32，“做一做”通过电流随时间变化图象面积计算电荷量 ‎⑵ 电磁感应综合问题中导体棒的运动。这类问题通常是变加速运动，首先由牛顿第二定律先列出加速度的表达式；然后从该时刻起去一段微小时间，则速度增量：，位移增量：，流动的电荷量：；最后，根据；；得出待求量。‎ ‎ ‎ 例题精讲 【例1】 如图所示，某一个力作用于半径为的转盘的边缘上，力的大小保持不变，但方向在任何时刻均保持与作用点的切线一致，则转动一周的过程中，这个力F做的总功为 A．0 B． C． D．‎ 【答案】 B 【例2】 一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同学半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的点的曲率圆定义为：通过点和曲线上紧邻点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做点的曲率圆，其半径叫做点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向以速度抛出，如图（b）所示。则在其轨迹最高点处的曲率半径是 A． B． C． D．‎ 【答案】 C 【例3】 水力采煤是利用高速水流冲击煤层而进行的，煤层受到的压强冲击即可破碎，若水流沿水平方向冲击煤层，不考虑水的反向溅射作用，则冲击煤层的水流速度至少应为（水的密度为）‎ A．‎30 m/s B．‎40 m/s C．‎45 m/s D． 60 m/s 【答案】 D ‎ 【例4】 如图所示，宽度为足够长的水平导轨，其右端连接的定值电阻阻值为，导轨处于方向竖直向下，磁感应强度为的匀强磁场中。今有一质量为的金属杆由处以初速度水平进入导轨，求金属杆在导轨上滑行的最大距离。‎ 【答案】 【例1】 如图，在匀强磁场中固定放置一根串接一电阻的直角形金属导轨（在纸面内），磁场方向垂直纸面朝里，另有两根金属导轨、分别平行于、放置。保持导轨之间接触良好，金属导轨的电阻不计。现经历以下四个过程：①以速率移动，使它与的距离增大一倍；②再以速率移动，使它与的距离减小一半；③然后再以速率移动，使它回到原处；④最后以速率移动，使它也回到原处。设上述四个过程中通过电阻的电量的大小依次为、、和，则 A. B.‎ C. D.‎ 【答案】 A 【例2】 小球以初速度竖直上抛，受到空气阻力，运动到最高点的时间为，求小球运动到最高点的高度 【答案】 【例3】 如图所示，水平面上足够长的平行金属导轨相距，串联一个电容为的电容器，整个装置处于垂直于导轨平面竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度为，电容器开始时带电量为，现将一个质量为的金属棒垂直放置在导轨上，金属棒与导轨接触良好且无摩擦，求合上后，金属棒运动的最终速度及电容器最终的电量。‎ 【答案】 ‎；‎ ‎ | | | | | ]‎ 【例4】 如图所示，顶角的金属导轨固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为的匀强磁场中。一根与垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度沿导轨向右滑动，导体棒的质量为，导轨与导体棒单位长度的电阻均为。导体棒与导轨接触点为 和，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。时，导体棒位于顶角处。求： ‎ ‎⑴ 时刻流过导体棒的电流强度和电流方向 ‎⑵ 导体棒作匀速直线运动时水平外力的表达式 ‎⑶ 导体棒在时间内产学生的焦耳热 ‎⑷ 若在时刻将外力撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标 【答案】 ‎⑴ ；电流方向在棒上由向。‎ ‎⑵ + + ]‎ ‎⑶ ‎ ‎⑷ ‎ ‎11.4 数列 知识点睛 凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复。随着物理过程的重复，某些物理量逐步发学生着前后有联系的变化。该类问题求解的基本思路为：‎ ‎⑴ 逐个分析开始的几个物理过程 ‎⑵ 利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式（这是解题的关键）‎ ‎⑶ 最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解 无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用 等差：（为公差）‎ 等比：（为公比）‎ 例题精讲 例题说明：涉及数列的问题一般计算量比较大，对数 功底要求较高，所以这里这放了两道例题，说明这种方法，老师可以根据 学生的实际情况进行调整。‎ ‎ 。 。 ]‎ 【例1】 如图所示，光滑的水平面上停着一个木球和载人小车，木球质量为，人和车的总质量为，，人以速度将球推向正前方的固定挡板，木球被挡板按原速率弹回，若人接住球后再以原速率将球推向挡板，问人推球多少次后才能不再接到球？‎ 【答案】 次 【例2】 一倾角为的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度，斜面底端有一垂直于斜面的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量为的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数为。当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加速度。在小物块与挡板的前次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少？‎ 【答案】