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- 2021-05-26 发布
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第 3 讲 带电粒子在复合场中运动的实例分析
一、带电粒子在复合场中的运动
1.叠加场与组合场
(1)叠加场:电场、磁场、重力场共存,或其中某两场共存.
(2)组合场:电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场分时间
段或分区域交替出现.
2.带电粒子在复合场中的运动分类
(1)静止或匀速直线运动
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时,将处于静止状态或做匀速直线运动.
(2)匀速圆周运动
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在
垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动.
(3)较复杂的曲线运动
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上时,粒子做
非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线.
(4)分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域,其运动情况随区域发生变化,其运动过
程由几种不同的运动阶段组成.
二、电场与磁场的组合应用实例
装置 原理图 规律
质谱仪
带电粒子由静止被加速电场加速 qU=1
2
mv2,在磁场中做匀速圆周运动 qvB=mv2
r ,
则比荷q
m= 2U
B2r2
回旋加
速器
交变电流的周期和带电粒子做圆周运动
的周期相同,带电粒子在圆周运动过程中
每次经过 D 形盒缝隙都会被加速.由 qvB
=m v2
r 得 Ekm=q2B2r2
2m
三、电场与磁场的叠加应用实例
装置 原理图 规律
速度选择器
若 qv0B=Eq,即 v0=E
B,带电粒子做匀速运动
电磁流量计
U
Dq=qvB,所以 v= U
DB,所以 Q=vS= U
DBπ(D
2)2=πUD
4B
霍尔元件
当磁场方向与电流方向垂直时,导体在与磁场、电流方
向都垂直的方向上出现电势差
命题点一 质谱仪工作原理与应用
1.作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器.
2.原理(如图 1 所示)
图 1
(1)加速电场:qU=1
2mv2;
(2)偏转磁场:qvB=mv2
r ,l=2r;
联立可得 r=1
B 2mU
q ,
m=qr2B2
2U ,q
m= 2U
B2r2.
例 1 (2017·江苏单科·15 改编)一台质谱仪的工作原理如图 2 所示.大量的带电荷量为+q、
质量为 2m 的离子飘入电压为 U0 的加速电场,其初速度几乎为 0,经加速后,通过宽为 L 的
狭缝 MN 沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中,最后打到照相底片
上.已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q,质量分别为 2m 和 m,图中虚线为经过狭缝左、
右边界 M、N 时离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用.
图 2
(1)求离子打在底片上的位置到 N 点的最小距离 x;
(2)在图中用斜线标出磁场中离子经过的区域,并求该区域最窄处的宽度 d.
答案 (1)4
B
mU0
q -L
(2)见解析图 2
B mU0
q - 4mU0
qB2 -L2
4
解析 (1)设离子在磁场中的运动半径为 r1,
在电场中加速时,有 qU0=1
2×2mv2
又 qvB=2mv2
r1
解得 r1=2
B
mU0
q
根据几何关系 x=2r1-L,
解得 x=4
B
mU0
q -L.
(2)如图,最窄处位于过两虚线交点的垂线上
d=r1- r12-(L
2
)2
解得 d=2
B
mU0
q - 4mU0
qB2 -L2
4
变式 1 (2017·如皋市第二次质检)现代质谱仪可用来分析比质子重很多倍的离子,其示意图
如图 3 所示,其中磁感应强度恒定.质子在入口处从静止开始被加速电场加速,经匀强磁场
偏转后从出口离开磁场.若某种 2 价正离子在入口处从静止开始被加速电场加速,为使它经
同一匀强磁场偏转后仍从同一出口离开磁场,需将加速电压减小到原来的 1
12倍.此离子和质
子的质量比约为( )
图 3
A.6 B.12 C.24 D.144
答案 C
解析 根据动能定理得,qU=1
2mv2 得
v= 2qU
m ①
离子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律,有 qvB=mv2
R 得 R
=mv
qB②
①②两式联立得:m=qB2R2
2U
二价正离子与质子从同一出口离开磁场则 R 相同,所以 m∝q
U,离子质量是质子质量的 24 倍,
C 正确,A、B、D 错误.
命题点二 回旋加速器工作原理与应用
1.构造:如图 4 所示,D1、D2 是半圆形金属盒,D 形盒处于匀强磁场中,D 形盒的缝隙处
接交流电源.
图 4
2.原理:交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等,使粒子每经过一次 D 形盒缝隙,粒子
被加速一次.
3.粒子获得的最大动能:由 qvmB=mvm2
R 、Ekm=1
2mvm2 得 Ekm=q2B2R2
2m ,粒子获得的最大动
能由磁感应强度 B 和盒半径 R 决定,与加速电压无关.
4.粒子在磁场中运动的总时间:粒子在磁场中运动一个周期,被电场加速两次,每次增加动
能 qU,加速次数 n=Ekm
qU,粒子在磁场中运动的总时间 t=n
2T=Ekm
2qU·2πm
qB =πBR2
2U .
例 2 (2018·仪征中学模拟)图 5 甲是回旋加速器的示意图,其核心部分是两个 D 形金属盒,
D 形盒与高频电源相连,且置于垂直于盒面的匀强磁场中,带电粒子在电场中的动能 Ek 随时
间 t 的变化规律如图乙所示,若忽略带电粒子在电场中的加速时间,则下列判断正确的是( )
图 5
A.在 Ek-t 图中有 t4-t3φb.
4.霍尔效应的原理和分析
(1)定义:高为 h、宽为 d 的导体(自由电荷是电子或正电荷)置于匀强磁场 B 中,当电流通过
导体时,在导体的上表面 A 和下表面 A′之间产生电势差,这种现象称为霍尔效应,此电压
称为霍尔电压.
图 10
(2)电势高低的判断:如图 10,导体中的电流 I 向右时,根据左手定则可得,若自由电荷是电
子,则下表面 A′的电势高;若自由电荷为正电荷,则上表面 A 的电势高.
(3)霍尔电压的计算:导体中的自由电荷(电子)在洛伦兹力作用下偏转,A、A′间出现电势差,
当自由电荷所受静电力和洛伦兹力平衡时,A、A′间的电势差(U)就保持稳定,由 qvB=qU
h,
I=nqvS,S=hd;联立得 U= BI
nqd=kBI
d ,k= 1
nq称为霍尔系数.
例 3 (多选)如图 11 是一“滤速器”装置的示意图.a、b 为水平放置的平行金属板,一束
具有各种不同速率的电子沿水平方向经小孔 O 进入 a、b 两板之间.为了选取具有某种特定
速率的电子,可在 a、b 间加上电压,并沿垂直于纸面的方向加一匀强磁场,使所选电子仍能
沿水平直线 OO′运动,由 O′射出,不计重力作用.可能达到上述目的要求的是( )
图 11
A.使 a 板电势高于 b 板,磁场方向垂直纸面向里
B.使 a 板电势低于 b 板,磁场方向垂直纸面向里
C.使 a 板电势高于 b 板,磁场方向垂直纸面向外
D.使 a 板电势低于 b 板,磁场方向垂直纸面向外
答案 AD
解析 当 a 板电势高于 b 板时,电子受到电场力的方向竖直向上,电子受到的洛伦兹力必须
竖直向下才能使电子沿水平直线运动,根据左手定则判断磁场方向垂直纸面向里,A 正确,C
错误;同理知 B 错误,D 正确.
例 4 (多选)磁流体发电机又叫等离子体发电机,如图 12 所示,燃烧室在 3 000 K 的高温下
将气体全部电离为正离子与负离子,即高温等离子体.高温等离子体经喷管提速后以 1 000
m/s 的速度进入矩形发电通道.发电通道有垂直于喷射速度方向的匀强磁场,磁感应强度为 6
T,等离子体发生偏转,在两极间形成电势差,已知发电通道长 a=50 cm,宽 b=20 cm,高
d=20 cm,等离子体的电阻率 ρ=2 Ω·m,则以下判断中正确的是( )
图 12
A.发电机的电动势为 1 200 V
B.开关断开时,高温等离子体可以匀速通过发电通道
C.当外接电阻为 8 Ω 时,电流表示数为 150 A
D.当外接电阻为 4 Ω 时,发电机输出功率最大
答案 ABD
解析 由 U
dq=qvB,得电源电动势 U=vBd=1 200 V,A 正确;由电阻定律 r=ρ d
ab=4 Ω,得
发电机内阻为 4 Ω,由闭合电路欧姆定律得,当外接电阻为 8 Ω 时,电流为 100 A,故 C 错
误;当外电路总电阻 R=r 时有最大输出功率,得 D 正确.
例 5 (多选)(2017·南通市第三次调研)为了测量化工厂的污水排放量,技术人员在排污管末
端安装了流量计(流量 Q 为单位时间内流过某截面流体的体积).如图 13 所示,长方体绝缘管
道的长、宽、高分别为 a、b、c,左、右两端开口,所在空间有垂直于前后表面、磁感应强
度大小为 B 的匀强磁场,在上、下两个面的内侧固定有金属板 M、N,污水充满管道从左向
右匀速流动,测得 M、N 间电压为 U,污水流过管道时受到的阻力大小 Ff=kLv2,k 是比例
系数,L 为污水沿流速方向的长度,v 为污水的流速.则( )
图 13
A.污水的流量 Q=abU
B
B.金属板 M 的电势不一定高于金属板 N 的电势
C.电压 U 与污水中离子浓度无关
D.左、右两侧管口的压强差 Δp=kaU2
bB2c3
答案 CD
解析 根据:qvB=qU
c得:v=U
Bc,则有 Q=vS=vbc= U
Bcbc=Ub
B ,故 A 错误;根据左手定则,
正离子向上表面偏转,负离子向下表面偏转,知上表面的电势一定高于下表面的电势,即金
属板 M 的电势一定高于金属板 N 的电势,故 B 错误;最终离子在电场力和洛伦兹力作用下
平衡,有:qvB=qU
c,解得:U=vBc,与污水中离子浓度无关,故 C 正确;根据平衡条件,
则有:Δpbc=Ff=kLv2=kav2,而 v= U
Bc,解得 Δp=kaU2
bB2c3,故 D 正确.
例 6 (多选)(2017·苏锡常镇四市调研)自行车速度计利用霍尔效应传感器获知自行车的运动
速率,如图 14 甲所示,自行车前轮上安装一块磁铁,轮子每转一圈,这块磁铁就靠近传感器
一次,传感器会输出一个脉冲电压,图乙为霍尔元件的工作原理图.当磁场靠近霍尔元件时,
导体内定向运动的自由电荷在磁场力作用下偏转,最终使导体在与磁场、电流方向都垂直的
方向上出现电势差,即为霍尔电势差.下列说法正确的是( )
图 14
A.根据单位时间内的脉冲数和自行车车轮的半径即可获知车速大小
B.自行车的车速越大,霍尔电势差越高
C.图乙中霍尔元件的电流 I 是由正电荷定向运动形成的
D.如果长时间不更换传感器的电源,霍尔电势差将减小
答案 AD
解析 根据单位时间内的脉冲数可知车轮转动的转速,若再已知自行车车轮的半径,根据 v0
=2πrn 即可获知车速大小,选项 A 正确;根据霍尔原理可知 U
dq=Bqv,U=Bdv,与车轮转
速无关,选项 B 错误;题图乙中霍尔元件的电流 I 是由电子定向运动形成的,选项 C 错误;
如果长时间不更换传感器的电源,则会导致电子定向移动的速率减小,故霍尔电势差将减小,
选项 D 正确.
例 7 (多选)(2018·丹阳中学模拟)电磁泵在目前的生产、科技中得到了广泛应用.如图 15 所
示,泵体是一个长方体,ab 边长为 L1,两侧端面是边长为 L2 的正方形;流经泵体内的液体
密度为 ρ、在泵头通入导电剂后液体的电导率为 σ(电阻率的倒数),泵体所在处有方向垂直前
表面向外的磁场 B,把泵体的上下两表面接在电压为 U(内阻不计)的电源上,则( )
图 15
A.泵体上表面应接电源正极
B.通过泵体的电流 I=UL1
σ
C.增大磁感应强度可获得更大的抽液高度
D.增大液体的电阻率可获得更大的抽液高度
答案 AC
解析 当泵体上表面接电源的正极时,电流从上向下流过泵体,这时受到的磁场力水平向左,
拉动液体,故 A 正确;根据电阻定律,泵体内液体的电阻:R=ρL
S=1
σ· L2
L1L2= 1
σ·L1;因此流过
泵体的电流 I=U
R=UL1·σ,故 B 错误;增大磁感应强度 B,受到的磁场力变大,因此可获得
更大的抽液高度,故 C 正确;若增大液体的电阻率,则电流减小,受到的磁场力减小,使抽
液高度减小,故 D 错误.
1.(多选)(2018·田家炳中学模拟)如图 16 所示是质谱仪的工作原理示意图.带电粒子经电场加
速后进入速度选择器,速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 B 和 E,
平板 S 上有可让粒子通过的狭缝 P(只有在正交电磁场中做直线运动的粒子才能通过 P 狭缝)
和记录粒子位置的胶片 A1A2,平板 S 下方有磁感应强度为 B0 的匀强磁场,根据图示粒子的运
动,下列说法正确的有( )
图 16
A.图示轨迹运动的粒子一定是同种粒子
B.图示轨迹运动的粒子一定是带正电的粒子
C.图示 B0 磁场中圆轨道上运动的粒子速度大小一定相等
D.粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝 P,粒子的比荷越小
答案 BC
2.(多选)(2017·南京市、盐城市一模)如图 17 所示,虚线所围的区域内存在电场强度为 E 的匀
强电场和磁感应强度为 B 的匀强磁场.从左方水平射入的电子,穿过该区域时未发生偏
转.则下列分析中可能正确的是( )
图 17
A.E 竖直向上,B 垂直纸面向外,电子做匀速直线通过区域
B.E 竖直向上,B 垂直纸面向里,电子做匀速直线通过区域
C.E 和 B 都是沿水平方向,电子做匀减速直线运动通过区域
D.E 和 B 都是沿水平方向,电子做匀加速直线运动通过区域
答案 ACD
解析 若 E 竖直向上,B 垂直于纸面向外,则电场力竖直向下,而磁场力由左手定则可得方
向竖直向上,所以当两力大小相等时,电子穿过此区域不会发生偏转,并且做匀速直线运动,
故 A 正确,B 错误;若 E 和 B 都沿水平方向,则电子所受电场力方向与运动方向在一条直线
上,而由于电子运动方向与 B 方向在一条直线上,所以不受磁场力,因此穿过此区域不会发
生偏转,如果电场方向与运动方向相同,则电子受力与运动方向相反,则电子匀减速通过,
故 C 正确;若电场线与运动方向相反,则电子受力与运动方向相同,做匀加速运动,故 D 正
确.
3.(多选)(2017·如皋市第二次质检)回旋加速器是加速带电粒子的装置,其核心部分是分别与高
频交流电极相连接的两个 D 形金属盒,两盒间的狭缝中形成的周期性变化的电场,使粒子在
通过狭缝时都能得到加速,两 D 形金属盒处于垂直于盒底的匀强磁场中,如图 18 所示,要
增大带电粒子射出时的动能,则下列说法中正确的是( )
图 18
A.减小狭缝间的距离
B.增大磁场的磁感应强度
C.增大 D 形金属盒的半径
D.增大匀强电场间的加速电压
答案 BC
解析 由 qvB=mv2
R,解得 v=qBR
m .则动能 Ek=1
2mv2=q2B2R2
2m ,知最大动能与加速的电压无关,
与狭缝间的距离无关,与磁感应强度大小和 D 形盒的半径有关,增大磁感应强度和 D 形盒的
半径,可以增加粒子的最大动能,故 B、C 正确,A、D 错误.
4.(多选)如图 19 为一利用海流发电的原理图,用绝缘材料制成一个横截面为矩形的管道,
在管道的上、下两个内表面装有两块电阻不计的金属板 M、N,板长为 a,宽为 b,板间的距
离为 d,将管道沿海流方向固定在海水中,在管道中加一个与前后表面垂直的匀强磁场,磁
感应强度为 B,将电阻为 R 的航标灯与两金属板连接(图中未画出),海流方向如图,海流速
率为 v,下列说法正确的是( )
图 19
A.M 板电势高于 N 板的电势
B.发电机的电动势为 Bdv
C.发电机的电动势为 Bav
D.管道内海水受到的安培力方向向左
答案 ABD
解析 海水中的正离子受到的洛伦兹力向上,所以正离子向上偏转,即 M 板带正电;负离子
受到的洛伦兹力向下,所以负离子向下偏转,N 板带负电,可知 M 板的电势高于 N 板的电势,
故 A 正确;MN 两极板间形成电场,当离子所受的洛伦兹力和电场力平衡时,两板间的电压
稳定,即 qU
d=Bqv,解得 U=Bdv,两极板间的电压等于电源的电动势,即发电机的电动势
为 Bdv,故 B 正确,C 错误;根据左手定则,管道内海水电流方向向上,所受安培力方向向
左,故 D 正确.
5.(多选)(2017·扬州市 5 月考前调研)如图 20 所示,一绝缘容器内部为长方体空腔,容器内
盛有 NaCl 的水溶液,容器上下端装有铂电极 A 和 C,置于与容器表面垂直的匀强磁场中,
开关 K 闭合前容器两侧 P、Q 两管中液面等高,闭合开关后( )
图 20
A.M 处钠离子浓度大于 N 处钠离子浓度
B.M 处氯离子浓度小于 N 处氯离子浓度
C.M 处电势高于 N 处电势
D.P 管中液面高于 Q 管中液面
答案 AD
解析 依据正离子的定向移动方向与电流方向相同,而负离子移动方向与电流方向相反,根
据左手定则可知,钠离子、氯离子均向 M 处偏转,因此电势相等,故 A 正确,B、C 错误;
当开关闭合时,液体中有从 A 到 C 方向的电流,根据左手定则可知,液体将受到向 M 的安
培力作用,在液面内部将产生压强,因此 P 端的液面将比 Q 端的高,故 D 正确.
1.在如图 1 所示的平行板器件中,电场强度 E 和磁感应强度 B 相互垂直.一带电粒子(重力
不计)从左端以速度 v 沿虚线射入后做直线运动,则该粒子( )
图 1
A.一定带正电
B.速度 v=E
B
C.若速度 v>E
B,粒子一定不能从板间射出
D.若此粒子从右端沿虚线方向进入,仍做直线运动
答案 B
解析 粒子带正电和负电均可,选项 A 错误;由洛伦兹力等于电场力,qvB=qE,解得速度 v
=E
B,选项 B 正确;若速度 v>E
B,粒子可能从板间射出,选项 C 错误;若此粒子从右端沿虚
线方向进入,所受电场力和洛伦兹力方向相同,不能做直线运动,选项 D 错误.
2.(多选)如图 2 所示,a、b 是一对平行金属板,分别接到直流电源的两极上,使 a、b 两板间
产生匀强电场 E,右边有一块挡板,正中间开有一小孔 d,在较大空间范围内存在着匀强磁
场,磁感应强度大小为 B,方向垂直纸面向里.从两板左侧中点 c 处射入一束正离子(不计重
力),这些正离子都沿直线运动到右侧,从 d 孔射出后分成三束,则下列判断正确的是( )
图 2
A.这三束正离子的速度一定不相同
B.这三束正离子的比荷一定不相同
C.a、b 两板间的匀强电场方向一定由 a 指向 b
D.若这三束离子改为带负电而其他条件不变,则仍能从 d 孔射出
答案 BCD
解析 因为三束正离子在两极板间都是沿直线运动的,电场力等于洛伦兹力,可以判断三束
正离子的速度一定相同,且电场方向一定由 a 指向 b,A 错误,C 正确;在右侧磁场中三束
正离子运动轨迹半径不同,可知这三束正离子的比荷一定不相同,B 项正确;若将这三束离
子改为带负电,而其他条件不变的情况下分析受力可知,三束离子在两板间仍做匀速直线运
动,仍能从 d 孔射出,D 项正确.
3.(2018·盐城中学月考)导体导电是导体中的自由电荷定向移动的结果,这些可以移动的电荷
又叫载流子,例如金属导体中的载流子就是自由电子.现代广泛应用的半导体材料可以分成
两大类,一类是 N 型半导体,它的载流子为电子;另一类为 P 型半导体,它的载流子是“空
穴”,相当于带正电的粒子.如果把某种材料制成的长方体放在匀强磁场中,磁场方向如图 3
所示,且与前后侧面垂直.长方体中通过水平向右的电流,测得长方体的上、下表面 M、N
的电势分别为 UM、UN,则该这种材料( )
图 3
A.如果是 P 型半导体,有 UM>UN
B.如果是 N 型半导体,有 UMmE0
qB02 (3)L=
(2n-1)πmE0
qB02 (n=1,2,3…)
解析 (1)带电粒子能沿中轴线运动,过程中受力平衡,则 qv0B0=qE0,解得 v0=E0
B0
(2)设磁感应强度增为 B,对速度为 v1 的匀速直线分运动有 qv1B=qE0,解得 v1=E0
B 2rm 即 d>mE0
qB02
(3)要提高速度选择器的速度分辩率,就要使不能沿中轴线运动的粒子偏离中轴线有最大的距
离,圆周分运动完成半周期的奇数倍,则 L=v0(2n-1)T
2(n=1,2,3…)
圆周运动的周期 T=2πm
qB0
故应满足的条件 L=
(2n-1)πmE0
qB02 (n=1,2,3…)
11.(2016·江苏单科·15)回旋加速器的工作原理如图 11 甲所示,置于真空中的 D 形金属盒半
径为 R,两盒间狭缝的间距为 d,磁感应强度为 B 的匀强磁场与盒面垂直,被加速粒子的质
量为 m,电荷量为+q,加在狭缝间的交变电压如图乙所示,电压值的大小为 U0.周期 T=
2πm
qB .一束该种粒子在 t=0~T
2时间内从 A 处均匀地飘入狭缝,其初速度视为零.现考虑粒子
在狭缝中的运动时间,假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动,不考虑粒子间的相
互作用.求:
图 11
(1)出射粒子的动能 Em;
(2)粒子从飘入狭缝至动能达到 Em 所需的总时间 t0;
(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过 99%能射出,d 应满足的条件.
答案 (1)q2B2R2
2m (2)πBR2+2BRd
2U0 -πm
qB (3)d< πmU0
100qB2R
解析 (1)粒子运动半径为 R 时
qvB=mv2
R,且 Em=1
2mv2,解得 Em=q2B2R2
2m
(2)粒子被加速 n 次达到动能 Em,则 Em=nqU0
粒子在狭缝间做匀加速运动,设 n 次经过狭缝的总时间为 Δt,加速度 a=qU0
md
匀加速直线运动 nd=1
2a·Δt2
由 t0=(n-1)·T
2+Δt,解得 t0=πBR2+2BRd
2U0 -πm
qB
(3)只有在 0~(T
2-Δt)时间内飘入的粒子才能每次均被加速,则所占的比例为 η=
T
2-Δt
T
2
由 η>99%,解得 d< πmU0
100qB2R.