高考物理大二轮总复习与增分策略专题七功功率与动能定理 19页

专题七 功 功率与动能定理 考纲解读 章 内容 考试要求 说明 必考 加试 机械能守 恒定律 追寻守恒量 ——能量 b 1.不要求用功的定义式计算变力的功 2.不要求用功率、力和速度的关系式解决 力与速度不在一条直线上的问题 3.不要求结合力和运动关系定量求解机车 以恒定功率启动和匀加速启动的问题 4.不要求用平均力计算变力做功和利用 F －l 图象求变力做功 5.不要求用动能定理解决物体系的问题 功 c 功率 c c 动能和动能 定理 d d 一、功 1.做功的两个要素 (1)作用在物体上的力. (2)物体在力的方向上发生的位移. 2.功的物理意义 功是能量转化的量度. 3.公式 W＝Flcos_α (1)α是力与位移方向之间的夹角，l 为物体对地的位移. (2)该公式只适用于恒力做功. 4.功的正负 (1)当 0≤α<π 2 时，W>0，力对物体做正功. (2)当π 2 <α≤π时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功. (3)当α＝π 2 时，W＝0，力对物体不做功. 二、功率 1.物理意义：描述力对物体做功的快慢. 2.公式： (1)P＝W t ，P 为时间 t 内的物体做功的快慢. (2)P＝Fv ①v 为平均速度，则 P 为平均功率. ②v 为瞬时速度，则 P 为瞬时功率. 3.对公式 P＝Fv 的几点认识： (1)公式 P＝Fv 适用于力 F 的方向与速度 v 的方向在一条直线上的情况. (2)功率是标量，只有大小，没有方向；只有正值，没有负值. (3)当力 F 和速度 v 不在同一直线上时，可以将力 F 分解或者将速度 v 分解. 4.额定功率：机械正常工作时的最大功率. 5.实际功率：机械实际工作时的功率，要求不能大于额定功率. 三、动能 1.定义：物体由于运动而具有的能. 2.公式：Ek＝1 2 mv2. 3.物理意义：动能是状态量，是标量(选填“矢量”或“标量”)，只有正值，动能与速度方 向无关. 4.单位：焦耳，1 J＝1 N·m＝1 kg·m2/s2. 5.动能的相对性：由于速度具有相对性，所以动能也具有相对性. 6.动能的变化：物体末动能与初动能之差，即ΔEk＝1 2 mv2 2－1 2 mv1 2. 四、动能定理 1.内容：在一个过程中合外力对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化. 2.表达式 (1)W＝ΔEk. (2)W＝Ek2－Ek1. (3)W＝1 2 mv2 2－1 2 mv1 2. 3.物理意义：合外力做的功是物体动能变化的量度. 4.适用条件 (1)动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动. (2)动能定理既适用于恒力做功，也适用于变力做功. (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以不同时作用. 1.如图 1 所示，两个互相垂直的力 F1 与 F2 作用在同一物体上，使物体通过一段位移的过程中， 力 F1 对物体做功 4 J，力 F2 对物体做功 3 J，则力 F1 与 F2 的合力对物体做功为( ) 图 1 A.7 J B.1 J C.5 J D.3.5 J 答案 A 解析 力 F1 与 F2 的合力做的功等于 F1 与 F2 做功的代数和，即 W 合＝W1＋W2＝(4＋3) J＝7 J. 2.(2016·嘉兴市期末测试)坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为 m，如图 2 所示在与水平面成 θ角的恒定拉力 F 作用下，沿水平地面向右移动了一段距离 l.已知雪橇与地面间的动摩擦因 数为μ，雪橇受到的( ) 图 2 A.支持力做功为 mgl B.重力做功为 mgl C.拉力做功为 Flcos θ D.滑动摩擦力做功为－μmgl 答案 C 解析 支持力和重力与位移垂直，不做功，选项 A、B 错误；拉力和摩擦力分别做功为 WF＝Flcos θ，Wf＝－μ(mg－Fsin θ)l，选项 C 正确，D 错误. 3.一汽车在水平公路上行驶，设汽车在行驶过程中所受阻力不变.汽车的发动机始终以额定功 率输出，关于牵引力和汽车速度的下列说法中正确的是( ) A.汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大 B.汽车加速行驶时，牵引力增大，速度增大 C.汽车加速行驶时，牵引力减小，速度增大 D.当牵引力等于阻力时，汽车将停止运动 答案 C 解析 汽车的发动机输出功率恒定，即 P 一定，则由公式 P＝Fv 可得：v 增大，F 减小，但由 于合外力方向与汽车运动方向一致，因此汽车速度仍在增大，A、B 错误，C 正确；当汽车受 到的牵引力和阻力相等时，汽车速度达到最大值，而后进行匀速运动，D 错误. 4.(2016·舟山市模拟)下列关于动能的说法，正确的是( ) A.运动物体所具有的能就是动能 B.物体做匀变速运动，某一时刻速度为 v1，则物体在全过程中的动能都是 1 2 mv1 2 C.做匀速圆周运动的物体其速度改变而动能不变 D.物体在外力 F 作用下做加速运动，当力 F 逐渐减小时，其动能也逐渐减小 答案 C 解析 运动的物体除具有动能以外，还可能具有其他形式的能，A 选项错误；动能是状态量， 当速度 v 的大小变化时，动能就发生变化，B 选项错误；由于匀速圆周运动中，物体的速度 大小不变，因此物体的动能不变，C 选项正确；当物体做加速度逐渐减小的加速运动时，物 体的动能仍在变大，D 选项错误.故选 C. 5.有一质量为 m 的木块，从半径为 r 的圆弧曲面上的 a 点滑向 b 点，如图 3 所示.如果由于摩 擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( ) 图 3 A.木块所受的合外力为零 B.因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零 C.重力和摩擦力的合力做的功为零 D.重力和摩擦力的合力为零 答案 C 解析 木块做曲线运动，速度方向变化，加速度不为零，故合外力不为零，A 错；速率不变， 动能不变，由动能定理知，合外力做的功为零，而支持力始终不做功，重力做正功，所以重 力做的功与摩擦力做的功的代数和为零，但重力和摩擦力的合力不为零，C 对，B、D 错. 功、功率的分析与计算 1.功的计算方法 (1)恒力做功 其中 l 是相对地的位移 (2)变力做功 ①用动能定理：W＝1 2 mv2 2－1 2 mv1 2. ②当变力的功率 P 一定时，可用 W＝Pt 求功，如机车恒定功率启动时. ③将变力做功转化为恒力做功： 当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移) 的乘积.如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等. (3)总功的计算 ①先求物体所受的合外力，再求合外力的功； ②先求每个力做的功，再求各功的代数和. 2.功率的计算方法 平均 功率 ①利用 P ＝W t . ②利用 P ＝F v ，其中 v 为物体运动的平均速度. 瞬时 功率 利用公式 P＝Fv，其中 v 为 t 时刻的瞬时速度. 例 1 (多选)一质量为 1 kg 的质点静止于光滑水平面上，从 t＝0 时刻开始，受到水平外力 F 作用，如图 4 所示.下列判断正确的是( ) 图 4 A.0～2 s 内外力的平均功率是 4 W B.第 2 s 内外力所做的功是 4 J C.第 2 s 末外力的瞬时功率最大 D.第 1 s 末与第 2 s 末外力的瞬时功率之比为 9∶4 答案 AD 解析 第 1 s 末质点的速度 v1＝F1 m t1＝3 1 ×1 m/s＝3 m/s. 第 2 s 末质点的速度 v2＝v1＋F2 m t2＝(3＋1 1 ×1) m/s＝4 m/s. 则第 2 s 内外力做功 W2＝1 2 mv 2 2 －1 2 mv 2 1 ＝3.5 J. 0～2 s 内外力的平均功率 P＝ 1 2 mv 2 2 t ＝0.5×1×42 2 W＝4 W. 选项 A 正确，选项 B 错误； 第 1 s 末外力的瞬时功率 P1＝F1v1＝3×3 W＝9 W， 第 2 s 末外力的瞬时功率 P2＝F2v2＝1×4 W＝4 W，故 P1∶P2＝9∶4.选项 C 错误，选项 D 正确. 求解功率时应注意的“三个”问题 (1)首先要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率； (2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功 的平均功率； (3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率. 变式题组 1.(2015·浙江 10 月选考·12)快艇在运动中受到的阻力与速度平方成正比(即 Ff＝kv2).若油 箱中有 20 L 燃油，当快艇以 10 m/s 匀速行驶时，还能行驶 40 km，假设快艇发动机的效率 保持不变，则快艇以 20 m/s 匀速行驶时，还能行驶( ) A.80 km B.40 km C.10 km D.5 km 答案 C 解析 20 L 燃油可用于克服阻力做功一定，即 Ffs＝kv2s 一定，s 与 v2 成反比，当速度增加 为原来的 2 倍时，路程应为原来的1 4 ，C 对. 2.质量为 m 的物体静止在粗糙的水平地面上.现用一水平拉力使物体从静止开始运动，其运动 的 v－t 图象如图 5 所示.下列关于物体运动过程，分析正确的是( ) 图 5 A.0～t1 时间内拉力逐渐减小 B.0～t1 时间内拉力对物体做负功 C.在 t1～t2 时间内拉力的功率为零 D.在 t1～t2 时间内合外力做功为 1 2 mv2 答案 A 解析 由运动的 v－t 图象可知，物体运动的加速度越来越小，水平拉力越来越小，所以 0～ t1 时间内拉力逐渐减小，选项 A 正确；由于拉力与运动方向相同，所以 0～t1 时间内拉力对物 体做正功，选项 B 错误；由 P＝Fv 可知，在 t1～t2 时间内拉力等于摩擦力，速度不为零，所 以拉力的功率不为零，选项 C 错误；由于在 t1～t2 时间内物体速度不变，合外力做功为零， 选项 D 错误. 3.一个质量为 m 的小球做自由落体运动，那么，在前 t 秒内重力对它做功的平均功率 P 及在 t 秒末重力做功的瞬时功率 P 分别为(t 秒末小球未着地)( ) A. P ＝mg2t2，P＝1 2 mg2t2 B. P ＝mg2t2，P＝mg2t2 C. P ＝1 2 mg2t，P＝mg2t D. P ＝mg2t，P＝2mg2t 答案 C 解析 前 t 秒内重力做功的平均功率 P ＝W t ＝ mg·1 2 gt2 t ＝1 2 mg2t t 秒末重力做功的瞬时功率 P＝Fv＝mg·gt＝mg2t. 故 C 正确. 动能定理的理解和应用 1.应用动能定理解题的步骤 2.注意事项 (1)动能定理往往用于单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学研究方法要 简便. (2)动能定理表达式是一个标量式，不能某个方向上应用动能定理. (3)当物体的运动包含多个不同过程时，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中 间的速度时，也可以全过程应用动能定理求解. (4)应用动能定理时，必须明确各力做功的正、负.当一个力做负功时，可设物体克服该力做 功为 W，将该力做功表示为－W，也可以直接用字母 W 表示该力做功，使其字母本身含有负号. 例 2 (2015·浙江 10 月选考·20)如图 6 所示是公路上的“避险车道”，车道表面是粗糙 的碎石，其作用是供下坡的汽车在刹车失灵的情况下避险.质量 m＝2.0×103 kg 的汽车沿下 坡行驶，当驾驶员发现刹车失灵的同时发动机失去动力，此时速度表示数 v1＝36 km/h，汽车 继续沿下坡匀加速直行 l＝350 m、下降高度 h＝50 m 时到达“避险车道”，此时速度表示数 v2＝72 km/h.(g＝10 m/s2) 图 6 (1)求从发现刹车失灵至到达“避险车道”这一过程汽车动能的变化量； (2)求汽车在下坡过程中所受的阻力； (3)若“避险车道”与水平面间的夹角为 17°，汽车在“避险车道”受到的阻力是在下坡公 路上的 3 倍，求汽车在“避险车道”上运动的最大位移(sin 17°≈0.3). 答案 (1)3.0×105 J (2)2.0×103 N (3)33.3 m 解析 (1)由ΔEk＝1 2 mv 2 2 －1 2 mv 2 1 得ΔEk＝3.0×105 J (2)由动能定理 mgh－Ffl＝1 2 mv 2 2 －1 2 mv 2 1 得 Ff＝ 1 2 mv 2 1 －1 2 mv 2 2 ＋mgh l ＝2.0×103 N (3)设汽车在“避险车道”上运动的最大位移是 x，由动能定理 －(mgsin 17°＋3Ff)x＝0－1 2 mv 2 2 得 x＝ 1 2 mv 2 2 mgsin 17°＋3Ff ≈33.3 m 动能定理的应用技巧 1.应用动能定理解题，关键是对研究对象进行准确的受力分析及运动过程分析，并画出物体 运动过程的草图，借助草图理解物理过程和各量关系. 2.明确研究对象的已知量和未知量，若求过程的初、末速度，首先确定各力做功及总功，然 后列出方程；若求某力或某力的功，首先确定过程的初、末速度，然后列方程求解. 变式题组 4.(多选)如图 7 所示，电梯质量为 M，在它的水平地板上放置一质量为 m 的物体.电梯在钢索 的拉力作用下竖直向上加速运动，当电梯的速度由 v1 增加到 v2 时，上升高度为 H，则在这个 过程中，下列说法或表达式正确的是( ) 图 7 A.对物体，动能定理的表达式为 WN＝1 2 mv 2 2 ，其中 WN 为支持力的功 B.对物体，动能定理的表达式为 W 合＝0，其中 W 合为合力的功 C.对物体，动能定理的表达式为 WN－mgH＝1 2 mv 2 2 －1 2 mv 2 1 ，其中 WN 为支持力的功 D.对电梯，其所受合力做功为 1 2 Mv 2 2 －1 2 Mv 2 1 答案 CD 解析 电梯上升的过程中，对物体做功的有重力 mg、支持力 FN，这两个力的总功才等于物体 动能的增量ΔEk＝1 2 mv 2 2 －1 2 mv 2 1 ，故 A、B 均错误，C 正确；对电梯，无论有几个力对它做功， 由动能定理可知，其合力的功一定等于其动能的增量，故 D 正确. 5.(2016·温州市调研)如图 8 所示，一个弹簧左端固定于墙上，右端连接物块，物块质量为 m，它与水平桌面间的动摩擦因数为μ.起初用手按住物块，弹簧的伸长量为 x，然后放手， 当弹簧的长度回到原长时，物块的速度为 v0，则此过程中弹力所做的功为( ) 图 8 A.1 2 mv 2 0 ＋μmgx B.1 2 mv 2 0 －μmgx C.1 2 mv 2 0 D.μmgx－1 2 mv 2 0 答案 A 解析 当弹簧恢复到原长时，物块对地的位移为 x，根据动能定理有：W 弹＋(－μmgx)＝1 2 mv 2 0 －0，得 W 弹＝1 2 mv 2 0 ＋μmgx，选项 A 正确. 6.一架质量 m＝2.0×103 kg 的喷气式飞机在恒定牵引力作用下由静止开始滑跑，当位移为 x ＝5.0×102 m 时，速度达到起飞速度 v＝60 m/s.在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量 的 k 倍(k＝0.02)，重力加速度 g＝10 m/s2. (1)求刚起飞时飞机的动能； (2)求此过程中飞机受到的牵引力； (3)当飞机在空中以 v1＝300 m/s 速度水平匀速飞行时，发动机的输出功率 P＝1.5×106 W.求 此时飞机受到的阻力. 答案 (1)3.6×106 J (2)7.6×103 N (3)5.0×103 N 解析 (1)设刚起飞时飞机的动能为 Ek，则 Ek＝1 2 mv2 得 Ek＝3.6×106 J (2)设飞机受到的恒定牵引力为 F，由动能定理有 (F－kmg)x＝1 2 mv2－0 得 F＝7.6×103 N (3)设此时飞机受到的阻力为 Ff，则 Ff＝P v1 得 Ff＝5.0×103 N 用动能定理解决多过程问题 1.由于多过程问题的受力情况、运动情况比较复杂，从动力学的角度分析多过程问题往往比 较复杂，但是，用动能定理分析问题，是从总体上把握其运动状态的变化，并不需要从细节 上了解.因此，动能定理的优越性就明显地表现出来了，分析力的作用是看力做的功，也只需 把所有的力做的功累加起来即可. 2.运用动能定理解决问题时，有两种思路：一种是全过程列式，另一种是分段列式. 3.全过程列式时，涉及重力、弹簧弹力、大小恒定的阻力或摩擦力做功时，要注意运用它们 的功能特点： (1)重力的功取决于物体的初、末位置，与路径无关； (2)大小恒定的阻力或摩擦力的功等于力的大小与路程的乘积. (3)弹簧弹力做功与路径无关. 例 3 (2015·浙江考试说明题型示例主观题·5)如图 9 所示，在竖直平面内固定一半径为 2 m、圆心角为 120°的光滑圆弧轨道 BEC，其中点 E 是最低点.在 B、C 两端平滑、对称地连接 AB、CD 两段粗糙直轨道，直轨道上端 A、D 与最低点 E 之间的高度差均为 2.5 m.现将质量为 0.01 kg 的小物块由 A 点静止释放，物块与直轨道间的动摩擦因数均为 0.25.g＝10 m/s2，求： 图 9 (1)小物块从静止释放到第一次过 E 点时重力做的功； (2)小物块第一次通过 E 点时的动能大小； (3)小物块在 E 点时受到支持力的最小值. 答案 (1)0.25 J (2)0.23 J (3)0.2 N 解析 (1)从 A 到 E 的过程，重力做功为： W1＝mgh＝0.01×10×2.5 J＝0.25 J. (2)AB 间的距离 s＝h－R 1－cos 60° sin 60° ＝ 3 m 从 A 至 E 的过程中，根据动能定理，有： W1－μmgcos 60°·s＝EkE 解得：EkE＝0.25 J－0.012 5 3 J≈0.23 J. (3)最终，小物块在圆弧轨道间来回滑动，根据机械能守恒定律，有： mg(R－Rcos 60°)＝1 2 mv 2 E ① 在 E 点，重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有： FN－mg＝mv 2 E R ② 联立①②解得： FN＝mg＋mv 2 E R ＝2mg＝2×0.01×10 N＝0.2 N. 应用动能定理求解多过程问题的基本思路 1.弄清物体的运动由哪些过程组成. 2.分析每个过程中物体的受力情况. 3.各个力做功有何特点，对动能的变化有无影响. 4.从总体上把握全过程，表达出总功，找出初、末状态的动能. 5.对所研究的全过程运用动能定理列方程. 变式题组 7.在赛车场上，为了安全起见，车道外围都固定上废旧轮胎作为围栏，当车碰撞围栏时起缓 冲器作用.在一次模拟实验中用弹簧来代替废旧轮胎，实际情景如图 10 所示，水平放置的轻 弹簧左侧固定于墙上，处于自然状态，开始赛车在 A 处且处于静止状态，距弹簧自由端的距 离为 L1＝1 m.当赛车启动时，产生水平向左的恒为 F＝24 N 的牵引力使赛车向左匀加速前进， 当赛车接触弹簧的瞬间立即关闭发动机，赛车继续压缩弹簧，最后被弹回到 B 处停下.已知赛 车的质量为 m＝2 kg，A、B 之间的距离为 L2＝3 m，赛车被弹回的过程中离开弹簧时的速度大 小为 v＝4 m/s，水平向右.g 取 10 m/s2.求： 图 10 (1)赛车和地面间的动摩擦因数； (2)弹簧被压缩的最大距离. 答案 (1)0.2 (2)0.5 m 解析 (1)从赛车离开弹簧到 B 点静止，由动能定理得 －μmg(L1＋L2)＝0－1 2 mv2 解得μ＝0.2. (2)设弹簧被压缩的最大距离为 L，从赛车加速到离开弹簧，由动能定理得 FL1－μmg(L1＋2L)＝1 2 mv2 解得 L＝0.5 m. 8.(2016·台州市调研)如图 11 甲所示，长为 4 m 的水平轨道 AB 与半径为 R＝0.6 m 的竖直半 圆弧轨道 BC 在 B 处相连接，有一质量为 1 kg 的滑块(大小不计)，从 A 处由静止开始受水平 向右的力 F 作用，F 的大小随位移变化的关系如图乙所示，滑块与 AB 间的动摩擦因数为μ＝ 0.25，g 取 10 m/s2，求： 图 11 (1)滑块到达 B 处时的速度大小； (2)滑块在水平轨道 AB 上运动前 2 m 所用的时间； (3)若到达 B 点时撤去力 F，滑块沿半圆弧轨道内侧上滑，并恰好能到达最高点 C，则滑块在 半圆弧轨道上克服摩擦力所做的功是多少？ 答案 (1)2 10 m/s (2)2 2 35 s (3)5 J 解析 (1)对滑块从 A 到 B 的过程，由动能定理得 F1x1－F3x3－μmgx＝1 2 mv 2 B 得 vB＝2 10 m/s. (2)在前 2 m 内，有 F1－μmg＝ma， 且 x1＝1 2 at 2 1 ， 解得 t1＝2 2 35 s. (3)当滑块恰好能到达最高点 C 时，有 mg＝mv 2 C R 对滑块从 B 到 C 的过程，由动能定理得 Wf－mg×2R＝1 2 mv 2 C －1 2 mv 2 B 代入数值得 Wf＝－5 J， 即克服摩擦力做的功为 5 J. 1.如图所示，下列过程中人对物体做了功的是( ) A.小华用力推石头，但没有推动 B.小明举起杠铃后，在空中停留 3 秒的过程中 C.小红提着书包，随电梯一起匀速上升的过程中 D.小陈将冰壶推出后，冰壶在水平冰面上滑行了 5 米的过程中 答案 C 解析 力做功的公式 W＝Flcos α.石头没有运动，在力的方向上没有位移，故没有做功，选 项 A 错误；杠铃在空中停留时，没有发生位移，人没有对杠铃做功，选项 B 错误；在上升过 程中，人对包有力的作用，符合做功的条件，故人对书包做功，选项 C 正确；冰壶被推出后， 人对冰壶没有施加作用力，故不做功，选项 D 错误. 2.关于摩擦力对物体做功，以下说法中正确的是( ) A.滑动摩擦力总是做负功 B.滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功 C.静摩擦力对物体一定做负功 D.静摩擦力对物体总是做正功 答案 B 解析 无论静摩擦力还是滑动摩擦力，既可以做正功，也可以做负功，还可以不做功. 3.如图 1 所示，同一物体分别沿斜面 AD 和 BD 自顶点由静止开始下滑，该物体与斜面间的动 摩擦因数相同.在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为 WA 和 WB，则( ) 图 1 A.WA>WB B.WA＝WB C.WA