高考物理人教版一轮复习测评-5-3机械能守恒定律 9页

第 3 单元机械能守恒定律 重力势能与弹性势能 [想一想] 如图 5－3－1 所示，小球质量为 m，从 A 点由静止下落，到达 C 点的速度为零。请思考以下问题： 图 5－3－1 (1)此过程中小球重力做的功是多少？小球重力势能如何变化？变化量为多大？ (2)弹簧对小球做正功还是负功？弹簧的弹性势能是增大还是减小？ 提示：(1)重力做功为 mg(h＋x)，小球重力势能减小了 mg(h＋x)。 (2)弹簧对小球做负功，弹簧的弹性势能增大。 [记一记] 1．重力势能 (1)定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。 (2)表达式：Ep＝mgh。 (3)矢标性：重力势能是标量，但有正负，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面大还是小。 (4)重力势能的特点： ①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。 (5)重力做功与重力势能变化的关系： WG＝－ΔEp。 2．弹性势能 (1)定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，而具有的势能。 (2)大小：与形变量及劲度系数有关。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。 [试一试] 1．关于重力势能，下列说法中正确的是( ) A．重力势能是地球与物体所组成的系统共有的 B．重力势能为负值，表示物体的重力势能比在参考平面上具有的重力势能少 C．卫星绕地球做椭圆运动，当由近地点向远地点运动时，其重力势能减小 D．只要物体在水平面以下，其重力势能为负值 解析：选 AB 由重力势能的系统性可知，A 正确；物体在参考平面时重力势能为零，高于参考平面时 重力势能为正，低于参考平面时，重力势能为负，其“正、负”表示大小，B 正确；卫星由近地点到远地 点的过程中，克服重力做功，重力势能增大，C 错误；参考平面的选取是任意的，水平面不一定是参考平 面，D 错。 机械能守恒定律 [想一想] 如图 5－3－2 所示，质量为 m 的小球从光滑曲面上滑下，当它到达高度为 h1 的位置 A 时，速度大小 为 v1；当它继续滑下到高度为 h2 的位置 B 时，速度大小为 v2。 图 5－3－2 (1)试根据动能定理推导小球在 A、B 两点运动时动能大小的变化与重力做功的关系。 (2)将上述表达式等号两侧带“－”号的一项移到等号另一侧，得到的表达式的物理意义是什么？ 提示：(1)由动能定理可得 mg(h1－h2)＝1 2mv22－1 2mv21 (2)上式化简可得 mgh1＋1 2mv21＝mgh2＋1 2mv22， 此式说明小球在光滑曲面上下滑过程中，只有重力做功，机械能守恒。 [记一记] 1．内容 在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。 2．机械能守恒的条件 只有重力或弹力做功。 3．对守恒条件的理解 (1)只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒。 (2)受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功。 (3)弹力做功伴随着弹性势能的变化，并且弹力做的功等于弹性势能的减少量。 4．机械能守恒的三种表达式 (1)E1＝E2(E1、E2 分别表示系统初、末状态时的总机械能)。 (2)ΔEk＝－ΔEp 或ΔEk 增＝ΔEp 减(表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量)。 (3)ΔEA＝－ΔEB 或ΔEA 增＝ΔEB 减(表示系统只有 A、B 两物体时，A 增加的机械能等于 B 减少的机械能)。 [试一试] 2．关于机械能是否守恒，下列说法正确的是( ) A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒 C．做变速运动的物体机械能可能守恒 D．合力对物体做功不为零，机械能一定不守恒 解析：选 C 做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒， A、B 错误；合力做功不为零，机械能可能守恒，D 错误，C 正确。 机械能守恒的判断 [例 1]如图 5－3－3 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( ) 图 5－3－3 A．甲图中，物体 A 将弹簧压缩的过程中，A 机械能守恒 B．乙图中，A 置于光滑水平面，物体 B 沿光滑斜面下滑，物体 B 机械能守恒 C．丙图中，不计任何阻力时 A 加速下落，B 加速上升过程中，A、B 系统机械能守恒 D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 [审题指导] (1)只有重力和弹簧弹力做功时，物体与弹簧组成的系统机械能守恒。 (2)物体 B 沿斜面下滑时，放在光滑水平面上的斜面体沿水平面是运动的。 [尝试解题] 甲图中重力和弹力做功，物体 A 和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体 A 机械能不守恒，A 错；乙图 中物体 B 除受重力外，还受弹力，弹力对 B 做负功，机械能不守恒，但从能量特点看 A、B 组成的系统机 械能守恒，B 错；丙图中绳子张力对 A 做负功，对 B 做正功，代数和为零，A、B 机械能守恒，C 对；丁 图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D 对。 [答案]CD 机械能是否守恒的几种判断方法 (1)利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，机械能不变。若一个物体动能不变、 重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减小)，其机械能一定变化。 (2)用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能 守恒。 (3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化， 则物体系统机械能守恒。 (4)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦 力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损失。 单个物体机械能守恒定律的应用 1.机械能守恒定律的表达式比较 表达角度 表达公式 表达意义 注意事项 守恒观点 Ek＋Ep＝Ek′＋Ep′ 系统的初状态机械能的总 和与末状态机械能的总和 相等 应用时应选好重力势能 的零势能面，且初末状 态必须用同一零势能面 计算势能 转化观点 ΔEk＝－ΔEp 表示系统(或物体)机械能守 恒时，系统减少(或增加)的 重力势能等于系统增加(或 减少)的动能 应用时关键在于分清重 力势能的增加量和减少 量，可不选零势能面而 直接计算初末状态的势 能差 转移观点 ΔE 增＝ΔE 减 若系统由 A、B 两部分组成， 则 A 部分物体机械能的增 加量与 B 部分物体机械能 的减少量相等 常用于解决两个或多个 物体组成的系统的机械 能守恒问题 2.应用机械能守恒定律解题的一般步骤 (1)选取研究对象 单个物体 多个物体组成的系统 系统内有弹簧 (2)分析研究对象在运动过程中的受力情况，明确各力的做功情况，判断机械能是否守恒。 (3)选取零势能面，确定研究对象在初、末状态的机械能。 (4)根据机械能守恒定律列出方程。 (5)解方程求出结果，并对结果进行必要的讨论和说明。 [例 2]如图 5－3－4 所示，斜面轨道 AB 与水平面之间的夹角θ＝53°，BD 为半径 R＝4m 的圆弧形轨道， 且 B 点与 D 点在同一水平面上，在 B 点，斜面轨道 AB 与圆弧形轨道 BD 相切，整个轨道处于竖直平面内 且处处光滑，在 A 点处有一质量 m＝1kg 的小球由静止滑下，经过 B、C 两点后从 D 点斜抛出去，最后落 在地面上的 S 点时的速度大小 vS＝8m/s，已知 A 点距地面的高度 H＝10 m，B 点距地面的高度 h＝5 m，设 以 MDN 为分界线，其左边为一阻力场区域，右边为真空区域，g 取 10 m/s2，cos53°＝0.6，求： 图 5－3－4 (1)小球经过 B 点时的速度为多大？ (2)小球经过圆弧轨道最低处 C 点时对轨道的压力多大？ (3)小球从 D 点抛出后，受到的阻力 Ff 与其瞬时速度方向始终相反，求小球从 D 点至 S 点的过程中阻 力 Ff 所做的功。 [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 B 点与 D 点在同一水平面上 小球在 B、D 两点速度大小相等 整个轨道处处光滑 在 ABCD 轨道上，只有重力对小球做功，其机械能守恒 MDN 左边为一阻力场区域 因有阻力做功，小球在 MDN 左侧区域运动时，机械能减少 第二步：找突破口 要求小球在 C 点时对轨道的压力→对小球由 A 到 C 过程应用机械能守恒定律求得小球在 C 点的速度 →应用牛顿第二定律列式求得轨道对小球的支持力→应用牛顿第三定律求得小球对轨道 C 点的压力。 [尝试解题] (1)设小球经过 B 点时的速度大小为 vB，由机械能守恒得：mg(H－h)＝1 2mv2B 解得 vB＝10m/s。 (2)设小球经过 C 点时的速度为 vC，对轨道的压力为 FN，则轨道对小球的支持力 FN′＝FN，根据牛顿 第二定律可得 FN′－mg＝mv2C R 由机械能守恒得：mgR(1－cos53°)＋1 2mv2B＝1 2mv2C 由以上两式及 FN′＝FN 解得 FN＝43N。 (3)设小球受到的阻力为 Ff，到达 S 点的速度为 vS，在此过程中阻力所做的功为 W，易知 vD＝vB，由 动能定理可得 mgh＋W＝1 2mv2S－1 2mv2D 解得 W＝－68J。 [答案](1)10m/s (2)43N (3)－68J (1)机械能守恒定律是一种“能——能转化”关系，其守恒是有条件的，因此，应用时首先要对研究对 象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。 (2)如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒观点列方程较方便；对于由两个或两个以上物体组成的 系统，用转化或转移的观点列方程较简便。 多个物体组成的系统机械能守恒定律的应用 [例 3] (2012·长春调研)如图 5－3－5 所示，左侧为一个半径为 R 的半球形的碗固定在水平桌面上， 碗口水平，O 点为球心，碗的内表面及碗口光滑。右侧是一个固定光滑斜面，斜面足够长，倾角θ＝30°。 一根不可伸长的不计质量的细绳跨在碗口及光滑斜面顶端的光滑定滑轮两端上，绳的两端分别系有可视为 质点的小球 m1 和 m2，且 m1>m2。开始时 m1 恰在右端碗口水平直径 A 处，m2 在斜面上且距离斜面顶端足 够远，此时连接两球的细绳与斜面平行且恰好伸直。当 m1 由静止释放运动到圆心 O 的正下方 B 点时细绳 突然断开，不计细绳断开瞬间的能量损失。 图 5－3－5 (1)求小球 m2 沿斜面上升的最大距离 x； (2)若已知细绳断开后小球 m1 沿碗的内侧上升的最大高度为R 2 ，求m1 m2 。 [审题指导] 解答本题时应注意以下两点： (1)两球的速度大小之间的关系。 (2)两球一起运动时，高度变化的关系。 [尝试解题] (1)设重力加速度为 g，小球 m1 到达最低点 B 时 m1、m2 的速度大小分别为 v1、v2，由运动的合成与分 解得 v1＝ 2v2① 对 m1、m2 系统由机械能守恒定律得 m1gR－m2gh＝1 2m1v21＋1 2m2v22② 由几何关系得 h＝ 2Rsin30°③ 设细绳断后 m2 沿斜面上升的距离为 x′，对 m2 由机械能守恒定律得 m2gx′sin30°＝1 2m2v22－0④ 小球 m2 沿斜面上升的最大距离 x＝ 2R＋x′⑤ 联立得 x＝( 2＋2m1－ 2m2 2m1＋m2 )R⑥ (2)对小球 m1 由机械能守恒定律得 1 2m1v21＝m1g·R 2 ⑦ 联立①②③⑦式得m1 m2 ＝2 2＋1 2 [答案](1)x＝( 2＋2m1－ 2m2 2m1＋m2 )R (2)m1 m2 ＝2 2＋1 2 多物体机械能守恒问题的分析方法 (1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp 的形式。 [典例]两个底面积都是 S 的圆桶，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为 h1 和 h2，如图 5 －3－6 所示。已知水的密度为ρ。现把连接两桶的阀门打开，不计摩擦阻力，当两桶水面第一次高度相等 时，液面的速度为多大？(连接两桶的阀门之间水的质量不计) [模型概述] 在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像 “链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变， 其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看 做质点来处理。 物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功， 物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理， 确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初 末状态物体重力势能的变化列式求解。 图 5－3－6 [解析]对于容器中的液体，运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，第一次液面高度相等时，重 力势能的减少量等于动能的增加量。 容器中水的总质量为：m＝ρS(h1＋h2)；水面相平时，相当于质量为 m′＝ρS h1－h2 2 的液体下降了h1－h2 2 ， 所以由机械能守恒定律可得：ΔEp＝ΔEk， 即ρgSh1－h2 2 ·h1－h2 2 ＝1 2ρS(h1＋h2)v2， 解得：v＝(h1－h2) g 2h1＋h2 。 [答案](h1－h2) g 2h1＋h2 [题后悟道]利用等效法计算势能变化时一定要注意等效部分的质量关系，即根据物体的相对位置关系 将物体分成若干段，在应用相关规律求解时要注意对应各部分的质量关系。即在解决涉及重力势能变化的 问题时，物体的位置变化要以重心位置变化为准。 如图 5－3－7 所示，一条长为 L 的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为 x0，已知重力加速度为 g，Lx0)。 图 5－3－7 解析：链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为 m，以平台所在位置为零势能面， 则 －m Lx0g·1 2x0sinα＝1 2mv2－m Lxg·1 2xsinα 解得 v＝ g L x2－x20sinα(x>x0) 所以当斜面上链条长为 x 时，链条的速度为 g L x2－x20sinα(x>x0)。 答案： g L x2－x20sinα(x>x0)