【物理】2019届一轮复习人教版　磁场对运动电荷的作用 学案 23页

第二节　磁场对运动电荷的作用 ‎(对应学生用书第169页)‎ ‎[教材知识速填]‎ 知识点1　洛伦兹力的方向和大小 ‎1．洛伦兹力 磁场对运动电荷的作用力．‎ ‎2．洛伦兹力的方向 ‎(1)判断方法：‎ 左手定则 ‎(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于B和v决定的平面．(注意：B和v不一定垂直)．‎ ‎3．洛伦兹力的大小 ‎(1)v∥B时，洛伦兹力F＝0.‎ ‎(2)v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB.‎ ‎(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0.‎ 易错判断 ‎(1)洛伦兹力的方向、粒子运动方向、磁场方向两两相互垂直．(×)‎ ‎(2)带电粒子的速度大小相同，所受洛伦兹力不一定相同．(√)‎ ‎(3)洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力．(×)‎ 知识点2　带电粒子在匀强磁场中的运动 ‎1．洛伦兹力的特点 洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．‎ ‎2．粒子的运动性质 ‎(1)若v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．‎ ‎(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．‎ ‎3．半径和周期公式 ‎(1)洛伦兹力方向总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用．根据牛顿第二定律，其表达式为qvB＝m.‎ ‎(2)半径公式r＝，周期公式T＝.‎ 易错判断 ‎(1)粒子在只受到洛伦兹力作用时运动的动能不变．(√)‎ ‎(2)运动电荷进入磁场后(无其他力作用)可能做匀速直线运动．(√)‎ ‎(3)根据周期公式T＝得出T与v成反比．(×)‎ ‎[教材习题回访]‎ 考查点：洛伦兹力的方向 ‎1．(人教版选修3－1P98T1改编)下列各图中，运动电荷的速度方向、磁感应强度方向和电荷的受力方向之间的关系正确的是(　　)‎ ‎[答案]　B　‎ 考查点：洛伦兹力的特点 ‎2．(粤教版选修3－1P90T1)下列说法正确的是(　　)‎ A．运动电荷在磁感应强度不为零的地方，一定受到洛伦兹力的作用 B．运动电荷在某处不受洛伦兹力作用，则该处的磁感应强度一定为零 C．洛伦兹力既不能改变带电粒子的动能，也不能改变带电粒子的速度 D．洛伦兹力对带电粒子不做功 ‎ ‎[答案]　D　‎ 考查点：带电粒子在匀强磁场中的运动 ‎3．(沪科版选修3－1P127T1)(多选)电子e以垂直于匀强磁场的速度v，从a点进入长为d、宽为L的磁场区域，偏转后从b点离开磁场，如图921所示．若磁场的磁感应强度为B，那么(　　)‎ 图921‎ A．电子在磁场中的运动时间t＝ B．电子在磁场中的运动时间t＝ C．洛伦兹力对电子做的功是W＝BevL D．电子在b点的速度值也为v ‎[答案]　BD　‎ 考查点：分析带电粒子运动的周期和半径 ‎4．(鲁科版选修3－1P132T2)(多选)两个粒子，电量相等，在同一匀强磁场中受磁场力而做匀速圆周运动(　　)‎ A．若速率相等，则半径必相等 B．若动能相等，则周期必相等 C．若质量相等，则周期必相等 D．若动量大小相等，则半径必相等 ‎[答案]　CD　‎ ‎(对应学生用书第170页)‎ 对洛伦兹力的理解 ‎1．洛伦兹力的特点 ‎(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面．‎ ‎(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．‎ ‎(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．‎ ‎(4)用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意一定分正、负电荷．‎ ‎(5)洛伦兹力一定不做功．‎ ‎2．洛伦兹力与安培力的联系及区别 ‎(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．‎ ‎(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．‎ ‎[题组通关]‎ ‎1．中国宋代科学家沈括在《梦溪笔谈》中最早记载了地磁偏角：“以磁石磨针锋，则能指南，然常微偏东，不全南也．”进一步研究表明，地球周围地磁场的磁感线分布示意如图．结合上述材料，下列说法不正确的是(　　)‎ 图922‎ A．地理南、北极与地磁场的南、北极不重合 B．地球内部也存在磁场，地磁南极在地理北极附近 C．地球表面任意位置的地磁场方向都与地面平行 D．地磁场对射向地球赤道的带电宇宙射线粒子有力的作用 C　[由“常微偏东，不全南也”和题图知，地理南、北极与地磁场的南、北极不重合，地磁的南极在地理北极附近，地球是一个巨大的磁体，因此地球内部也存在磁场，故选项A、B的说法正确．从题图中磁感线的分布可以看出，在地球表面某些位置(如南极、北极附近)磁感线不与地面平行，故选项C的说法不正确．宇宙射线粒子带有电荷，在射向地球赤道时，运动方向与地磁场方向不平行，因此会受到磁场力的作用，故选项D的说法正确．]‎ ‎2．(2018·宝鸡模拟)如图923所示，平行长直导线ab、cd通以反向等大直流电，‎ P点是两导线所在面上ab右侧的一个点．现从P点沿平行ba方向打入一个带正电的粒子，粒子恰好可以经过ab、cd的中间线上一点O到达Q点，并且P到中线的距离比Q到中线的距离大，则下列说法正确的是(　　) ‎ 图923‎ A．ab的电流方向是由b到a的 B．粒子在P点的速度大于在Q点的速度 C．粒子在P点的角速度大于在Q的角速度 D．粒子从P向O运动过程中的半径变小 C　[正粒子要能够经过O点，则正粒子向右偏转，说明ab与中线间的磁场方向垂直纸面向外，所以ab电流方向一定由a到b，A项错误；由于洛伦兹力不做功，所以粒子的速率不变，B项错误；速率不变，根据磁场叠加，中间线上磁感应强度最小，则P点磁感应强度大于Q的磁感应强度，由r＝知rPωQ，C项正确；粒子从P到O的过程中半径变大，D项错误．]‎ ‎(2017·杭州模拟)粗糙绝缘水平面上垂直穿过两根长直导线，俯视图如图所示，两根导线中通有相同的电流，电流方向垂直纸面向里．水平面上一带电滑块(电性未知)以某一初速v沿两导线连线的中垂线入射，运动过程中滑块始终未脱离水平面．下列说法正确的是(　　) ‎ A．滑块可能做加速直线运动 B．滑块可能做匀速直线运动 C．滑块可能做曲线运动 D．滑块一定做减速运动 D　[根据安培定则，知两导线连接的垂直平分线上方的磁场方向水平向右，而下方的磁场方向水平向左，根据左手定则可知，滑块受到的洛伦兹力方向垂直于纸面向外或向里，滑块所受的支持力减小或增大，滑块所受的滑动摩擦力与速度反向，滑块一定做减速直线运动，故A、B、C错误．]‎ 带电粒子在匀强磁场中的运动 ‎1．圆心的确定 方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图924甲所示)．‎ 图924‎ 方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)．‎ ‎2．半径的确定和计算 利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：‎ 图925‎ ‎(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图925所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt.‎ ‎(2)直角三角形的应用(勾股定理)．‎ 找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形．‎ ‎3．运动时间的确定 方法一由圆心角求：t＝T，‎ 方法二由弧长求：t＝(l为弧长)．‎ ‎4．带电粒子在不同边界磁场中的运动 ‎(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图926所示)．‎ 图926‎ ‎(2)平行边界(存在临界条件，如图927所示)．‎ ‎　　　　　 (a)　　　　　　 (b)　　 (c)‎ 图927‎ ‎(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图928所示)．‎ 图928‎ ‎[多维探究]‎ 考向1　带电粒子在直线边界磁场中的运动 ‎1．(多选)如图929所示，方向垂直纸面向外的长方形匀强磁场区域abcd 的对角线ac与ab边的夹角θ＝30°，e是ab的中点，若一带正电粒子P从a点沿ac方向以初速度v射入磁场中，经时间t恰好从e点射出磁场．下列说法正确的是(　　)‎ 图929‎ A．若P的初速度增大为2v，则从b点射出磁场 B．若P的初速度增大为2v，则经时间2t射出磁场 C．若带负电粒子Q(比荷与P的相等)从a点沿ac方向射入磁场中并从d点射出磁场，则其初速度为v D．若带负电粒子Q(比荷与P的相等)从a点沿ac方向射入磁场中并从d点射出磁场，则经过的时间为t ‎【自主思考】‎ ‎(1)当粒子P从e点射出磁场时，如何确定该过程的轨迹圆心？‎ ‎[提示]　过a点作ac的垂线，再作ae的垂直平分线，两线的交点即为圆心．‎ ‎(2)对P粒子，出射磁场的位置只要在ab段上，在磁场中运动的时间一定相同吗？为什么？‎ ‎[提示]　相同．因为弦切角相同，对应的圆心角也就相同，由t＝T和T＝知t相同．‎ AC　[P分别以速度v、2v射入，在磁场中做圆周运动的半径分别为r1＝、r2＝，如图所示，根据几何关系，α＝β＝θ＝30°，速度增加为2v之后从b点射出，A正确；由周期T＝知两种情况下周期相等，t＝，速度增加为2v之后t2＝＝t，B错误；根据几何关系，γ ‎＝2(90°－θ)＝120°，Q在磁场中的运动时间t3＝＝2t，D错误；Q运动轨迹半径r3＝，r3＝，ad＝abtan θ，ab＝2r1，解得v3＝v，C正确．故选A、C.]‎ ‎(2016·全国丙卷)平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. D　[如图所示，粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝.‎ 设入射点为A，出射点为B，圆弧与ON的交点为P.由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R.由几何图形知，AP＝R，则AO＝AP＝3R，所以OB＝4R＝，故选项D正确．]‎ 考向2　带电粒子在圆形边界磁场中的运动 ‎2．(多选)(2018·南昌模拟)如图9210所示，一半径为R的圆形区域内有垂直纸面的匀强磁场，CD是该圆一条直径．一质量为m、电荷量为q 的带电粒子(不计重力)，自A点沿平行于CD的方向以初速度v0垂直射入磁场中，恰好从D点飞出磁场，A点到CD的距离为.则(　　)‎ 图9210‎ A．磁感应强度为 B．磁感应强度为 C．粒子在磁场中的飞行时间为 D．粒子在磁场中的飞行时间为 AC　[粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出运动轨迹，如图所示：‎ A点到CD的距离为R/2，则：∠OAQ＝60°，∠OAD＝∠ODA＝15°，∠DAQ＝75°，则∠AQD＝30°，∠AQO＝15°，粒子的轨道半径：r＝＝＝(2＋)R，粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qv0B＝m，解得：B＝，故A正确，B错误；粒子在磁场中转过的圆心角：α＝∠AQD＝30°，粒子在磁场中做圆周运动的周期：T＝＝，粒子在磁场中的运动时间：t＝T＝，故C正确，D错误．故选A、C.]‎ ‎3．(2017·全国Ⅱ卷)如图9211所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场．若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上．不计重力及带电粒子之间的相互作用．则v2∶v1为(　　)‎ 图9211‎ A.∶2 B.∶1‎ C.∶1 D．3∶ ‎[题眼点拨]　①“出射点分布在六分之一圆周上”，说明对应圆心角为60°的弦为该圆周运动轨迹的直径；②“出射点分布在三分之一圆周上”，说明对应圆心角为120°的弦为该圆周运动轨迹的直径．‎ C　[相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动．‎ 粒子以v1入射，一端为入射点P，对应圆心角为60°(对应六分之一圆周)的弦PP′必为垂直该弦入射粒子运动轨迹的直径2r1，如图甲所示，设圆形区域的半径为R，由几何关系知r1＝R.其他不同方向以v1入射的粒子的出射点在PP′对应的圆弧内．‎ 同理可知，粒子以v2入射及出射情况，如图乙所示．由几何关系知r2＝＝R，‎ 可得r2∶r1＝∶1.‎ 因为m、q、B均相同，由公式r＝可得v∝r，‎ 所以v2∶v1＝∶1.故选C.]‎ 如图所示，半径为R的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大量质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，在纸面内沿各个方向以速率v从P点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于PQ圆弧上且Q点为最远点，已知PQ圆弧长等于磁场边界周长的，不计粒子重力和粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为(　　)‎ A.　　　　　　 B. C. D. D　[从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为Q，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，相应的弧长为圆周长的，设磁场圆心为O，∠POQ＝90°，则粒子轨迹半径r＝R，又因为r＝，所以B＝，D正确．]‎ ‎[反思总结]　带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法 带电粒子在磁场中运动的多解问题 ‎[母题]　如图9212所示，在无限长的竖直边界AC和DE间，上、下部分分别充满方向垂直于ADEC平面向外的匀强磁场，上部分区域的磁感应强度大小为B0，OF为上、下磁场的水平分界线．质量为m、带电荷量为＋q的粒子从AC边界上与O点相距为a的P点垂直于AC边界射入上方磁场区域，经OF上的Q点第一次进入下方磁场区域，Q与O点的距离为‎3a.不考虑粒子重力．‎ 图9212‎ ‎(1)求粒子射入时的速度大小；‎ ‎(2)要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度应满足的条件；‎ ‎(3)若下方区域的磁感应强度B＝3B0，粒子最终垂直DE边界飞出，求边界DE与AC间距离的可能值．‎ ‎【自主思考】‎ ‎(1)粒子不从AC边界飞出的几何临界条件是什么？‎ ‎[提示]　运动轨迹与AC相切．‎ ‎(2)要使粒子最终垂直DE边界飞出，粒子在磁场中应做怎样的偏转？‎ ‎[提示]　粒子经上下磁场偏转速度方向再次与射入磁场时的方向一致，然后再结合周期性求出DE与AC间距离的可能值．‎ ‎[解析](1)设粒子在OF上方做圆周运动的半径为R，运动轨迹如图甲所示 图甲 由几何关系可知：(R－a)2＋(‎3a)2＝R2解得R＝‎‎5a 由牛顿第二定律可知：qvB0＝m 解得：v＝.‎ ‎(2)当粒子恰好不从AC边界飞出时，运动轨迹与AC相切，如图乙所示，设粒子在OF下方做圆周运动的半径为r1，由几何关系得：‎ 图乙 r1＋r1cos θ＝‎‎3a 由(1)知cos θ＝ 所以r1＝ 根据qvB1＝m 解得：B1＝ 故当B1＞时，粒子不会从AC边界飞出．‎ ‎(3)如图丙所示，当B＝3B0时，根据 图丙 qvB＝m 得粒子在OF下方的运动半径为r＝a 设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P1，则 P与P1的连线一定与OF平行，根据几何关系知：＝‎‎4a 所以若粒子最终垂直DE边界飞出，‎ 边界DE与AC间的距离为L＝n＝4na(n＝1,2,3，…)．‎ ‎[答案](1)　(2)磁感应强度大于　(3)见解析 ‎(1)上题第(1)问中，如何求出带电粒子从P到Q的时间，这个时间是多少？‎ 提示：先求出圆弧对应的圆心角α，再由公式t＝T求出时间．‎ 根据几何关系知sin α＝.故α＝37°‎ P到Q的时间tPQ＝·＝.‎ ‎(2)再求出上题第(2)问中，带电粒子刚好不从AC边界飞出在OF下方所用的时间．‎ 提示：在OF下方圆弧对应的圆心角α′＝360°－2×37°＝286°.‎ 故所用时间t′＝T′＝·＝.‎ ‎[母题迁移]‎ 迁移1　磁场方向不确定形成多解 ‎1．(多选)(2018·商丘模拟)一质量为m，电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[题眼点拨]　①“磁场方向垂直于它的运动平面”可知B 的方向有两种可能；②“负电荷的角速度出现可能”的原因是电场力和洛伦兹力的方向是同向还是反向．‎ AC　[依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝m，得v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有2Bqv＝m，v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝，应选A、C.]‎ 迁移2　带电粒子速度不确定形成多解 ‎2．(多选)如图9213所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是(　　) ‎ 图9213‎ A．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场 B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场 C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场 D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场 AC　[如图所示，作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由从O 点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.可知，从ad边射出磁场经历的时间一定小于t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0.]‎ 迁移3　带电粒子电性不确定形成多解 ‎3. 如图9214所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m，电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入．要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少．‎ 图9214‎ ‎[解析]　题目中只给出粒子“电荷量为q”，未说明是带哪种电荷．若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，轨道半径：R＝ 又d＝R－ 解得v＝(2＋).‎ 若q为负电荷，轨迹如图所示的下方与NN′相切的圆弧，则有：R′＝ d＝R′＋，‎ 解得v′＝(2－).‎ ‎[答案]　(2＋)(q为正电荷)或(2－)(q为负电荷)‎ ‎[反思总结]　常见多解情况分析 ‎1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同而形成多解．‎ ‎2．磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，其偏转方向不同而形成多解．‎ ‎3．运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具有周期性而形成多解．‎ ‎4．临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径不同而形成多解．‎ 带电粒子在有界磁场中的临界极值问题 ‎1．两种思路：一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后分析、讨论处于临界条件时的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值．‎ ‎2．两种方法：一是物理方法，包括(1)利用临界条件求极值；(2)利用边界条件求极值；(3)利用矢量图求极值．二是数学方法，包括(1)用三角函数求极值；(2)用二次方程的判别式求极值；(3)用不等式的性质求极值；(4)图象法等．‎ ‎3．从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．‎ ‎[母题]　如图9215甲所示，在以O为圆心，内、外半径分别为R1和R2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面向外的匀强磁场，内外圆间的电势差U为常量，R1＝R0，R2＝3R0.一电荷量为＋q，质量为m的粒子从内圆上的A点进入该区域，不计重力．‎ 图9215‎ ‎(1)已知粒子从外圆上以速度v1射出，求粒子在A点的初速度v0的大小；‎ ‎(2)若撤去电场，如图乙，已知粒子从OA延长线与外圆的交点C以速度v2射出，方向与OA延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间；‎ ‎(3)在图乙中，若粒子从A点进入磁场，速度大小为v3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？‎ ‎【自主思考】‎ ‎(1)粒子在内、外圆之间运动的过程中有哪些力对粒子做功？‎ ‎[提示]　只有电场力做功．‎ ‎(2)粒子从A点射入从C点射出时怎样确定其圆心？‎ ‎[提示]　过A、C两点作速度的垂线，其交点即为粒子做圆弧运动的圆心．‎ ‎(3)粒子速度方向不确定，从外圆射出的几何临界条件是什么？‎ ‎[提示]　其轨迹与C点相切和与C点在同一直径上的另一对称点相切两种情况．‎ ‎[解析](1)根据动能定理，qU＝mv－mv，‎ 所以v0＝.‎ ‎(2)如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，‎ 由几何知识可知R2＋R2＝(R2－R1)2，‎ 解得R＝R0，根据洛伦兹力公式qv2B＝m，‎ 解得B＝＝.‎ 又＝，2πR＝v2T，‎ 解得t＝＝＝＝.‎ ‎(3)考虑临界情况，如图所示．‎ qv3B′1＝m 解得B′1＝ qv3B′2＝m 解得B′2＝，综合得：B′<.‎ ‎[答案](1)　(2)　　(3) ‎[反思总结]　临界问题的四个重要结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.‎ (2)当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.‎ (3)当速率v变化时，圆心角越大，运动时间越长.‎ (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长). ‎ ‎[母题迁移]‎ 迁移1　方形磁场中的临界极值问题 ‎1．(多选)如图9216所示，在正方形abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．a处有比荷相等的甲、乙两种粒子，甲粒子以速度v1沿ab方向垂直射入磁场，经时间t1从d点射出磁场，乙粒子沿与ab成30°角的方向以速度v2垂直射入磁场，经时间t2垂直cd射出磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用力，则下列说法中正确的是(　　)‎ 图9216‎ A．v1∶v2＝1∶2 B．v1∶v2＝∶4‎ C．t1∶t2＝2∶1 D．t1∶t2＝3∶1‎ BD　[甲、乙两粒子的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中的运行周期为T＝，因为甲、乙两种粒子的比荷相等，故T甲＝T乙．设正方形的边长为L，则由图知甲粒子运行半径为r1＝，运行时间为t1＝，乙粒子运行半径为r2＝，运行时间为t2＝，而r＝，所以v1∶v2＝r1∶r2＝∶4，选项A错误，B正确；t1∶t2＝3∶1，选项C错误，D正确．]‎ 迁移2　三角形磁场中的临界极值问题 ‎2.如图9217所示，△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形，比荷为的电子以速度v0从A点沿AB边入射，欲使电子经过BC边，磁感应强度B的取值为(　　)‎ 图9217‎ A．B>　　　　　 B．B< C．B> D．B< ‎【自主思考】‎ 电子经过BC边的几何临界条件是什么？‎ ‎[提示]　其轨迹在C点与BC边相切．‎ D　[由题意，如图所示，电子正好经过C点，此时圆周运动的半径R＝＝，要想电子从BC边经过，电子做圆周运动的半径要大于 ‎，由带电粒子在磁场中运动的公式r＝有<，即B<，选D.]‎ 迁移3　其他有界磁场中的临界极值问题 ‎3．(2016·四川高考)如图9218所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场．一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb，当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力．则(　　) ‎ 图9218‎ A．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝2∶1‎ B．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝1∶2‎ C．vb∶vc＝2∶1，tb∶tc＝2∶1‎ D．vb∶vc＝1∶2，tb∶tc＝1∶2‎ A　[如图所示，设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度大小为vb时，其圆心在a点，轨道半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝π，当带电粒子的速率为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨道半径r2＝‎2l，‎ 转过的圆心角θ2＝，根据qvB＝m，得v＝，故＝＝.由于T＝得T＝，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又t＝T，所以＝＝.故选项A正确，选项B、C、D错误．]‎