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- 2021-05-28 发布
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电容器、电容典型例题
【例1】一个平行板电容器,使它每板电量从Q1=30×10-6C增加到Q2=36×10-6C时,两板间的电势差从U1=10V增加到U2=12V,这个电容器的电容量多大?如要使两极电势差从10V降为U2'=6V,则每板需减少多少电量.
[分析] 直接根据电容的定义即可计算.
[解] 电量的增加量和电势差的增加量分别为
△Q=Q2—Q1=36×10-6C—30×10-6C=6×10-6C,
△U=U2-U1=12V-10V=2V.
根据电容的定义,它等于每增加 1V电势差所需增加的电量,即
要求两极板间电势差降为6V,则每板应减少的电量为
△Q′=C△U′=3×10-6×(10—6)C=12×10-6C.
[说明] (1)电势差降为 6V时,每板的带电量为
Q′2=Q1-△Q′= 30×10-6C-12×10-6C=18×10-6C.
(2)由题中数据可知,电容器每板带电量与两板间电势差的比恒定,即
【例2】 一平行板电容器的电容量为C,充电后与电源断开,此时板上带电量为Q,两板间电势差为U,板间场强为E
.现保持间距不变使两板错开一半(图1),则下列各量的变化是:电容量C′=______,带电量Q′=______,电势差U′=______,板间场强E′______.
[分析] 电容器的电容量由板间介质特性及几何尺寸决定.介质与间距不变,正对面积减为原来的一半,电容量也减为原来的一半,即
切断电源后,板上电量不变,Q′=Q.
由电容定义得两板间电势差
根据电势差与场强的关系,得板间场强
[说明] 板上电量不变,错开后的正对面积变小,板上相对部分电荷的密度增加,即板间电场线变密,如图2所示,分析平行板电容器的问题中,借助电场线,可得到形象化的启发.
【例3】 如图1所示,把一个平行板电容器接在电压U=10V的电源上.现进行下列四步动作:
金属板;(3)打开S;(4)抽出金属板.则此时电容器两板间电势差为 [ ]
A.0V
B.10V
C.5V
D.20V
[分析]每一步动作造成的影响如下:
(1)合上S,电源对电容器充电,至电压为U.设电容量为C,则带电量Q1=CU.板间形成一个匀强电场,场强为
(2)插入金属板,板的两侧出现等量异号的感应电荷,上下形成
为等势体,则A板与金属板之间、金属板与B板之间的电势差均为
显然,在插入过程中,电源必须对A、B两板继续充电,板上电量增为原来的2倍,即Q2=2Q1.
(3)打开 S, A、 B两板的电量保持不变,即Q3=Q2=2Q1.
(4)抽出板,电容器的电容仍为C,而电量为2Q1,所以两板间
[答] D.
【例4】 三块相同的金属平板A、B、D自上而下水平放置,间距分别为h和d,如图所示.A、B两板中心开孔,在A板的开孔上搁有一金属容器P,与A板接触良好,其内盛有导电液体.A板通过闭合的电键S与电动势为U0的电池的正极相连,B板与电池的负极相连并接地.容器P内的液体在底部小孔O处形成质量为m,带电量为q的液滴后自由下落,穿过B板的开孔O'落在D板上,其电荷被D板吸附,液体随即蒸发,接着容器底部又形成相同的液滴自由下落,如此继续.设整个装置放在真空中.
(1)第1个液滴到达D板时的速度为多少?
(2)D板最终可达到多高的电势?
(3)设液滴的电量是A板所带电量的a倍(a=0.02),A板与 B板构成的电容器的电容为C0=5×10-12F,U0=1000V,m=0.02g,h=d=5cm.试计算D板最终的电势值.(g=10m/s2)
(4)如果电键S不是始终闭合,而只是在第一个液滴形成前闭合一下,随即打开,其他条件与(3)相同.在这种情况下,D板最终可达到电势值为多少?说明理由.
[分析] 液滴落下后,由电场力和重力共同对它做功,由此可算出它到达D板的速度.液滴落下后,D板上出现正电荷,在DB间形成一个方向向上的场强,将阻碍以后继续下落的液滴,使D板的带电量有一限度,其电势也有一个最大值.
[解] (1)设第一个液滴到达D板的速度为v1,对液滴从离开小孔O到D板的全过程由功能关系
得
(2)随着下落液滴的增多,D板带的正电荷不断积累,在DB间形成向上的电场E',通过O'后的液滴在BD间作匀减速运动,当液滴到达D板的速度恰为零时,D板的电势达最高,设为Um.由
qU0+mg(h+d)-qUm=△Ek=0.
得
(3) A板带电量Q0=C0U0,故每一液滴的电量q=αQ0=0.02C0U0,代入上式得
(4)D板最终电势等于A板电荷全部到达D板时D板的电势.由于h=d,B、D间电容量也是C0,故D板最终电势U至多为U0.
因为当 D板电势为U时, A板电势UA=U0-U,到达D板液滴的动能为
Ek=mg(h+d)+qU0-qU>mg(h+d)qU
式中qm=aC0U0,是q的最大值,即第一个液滴的电量.因
故恒有Ek>0,表示液滴一直径往下滴,直到A板上电量全部转移到D板,所以D板最终电势可达
所以小球运动到B点的速度大小为
[说明] (1)电场力做功与重力做功,都只与始、末两位置有关,与具体路径无关.(2)电势能的变化仅由电场力作功产生,重力势能的变化仅由重力作功产生,但动能的变化是由作用在物体上的所有外力的功产生的.在具体问题中,必须注意分清.
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