2020版高中物理 第二章 机械波 3 波的图像学案 教科版选修3-4 15页

‎3　波的图像 ‎[学习目标]　1.知道图像中横、纵坐标各表示的物理量，理解波的图像的物理意义.2.理解波的图像和振动图像的区别.3.会处理由波的双向性和周期性引起的多解问题.‎ 一、横波的图像 ‎1.波形图 若以横坐标x表示在波的传播方向上各质点的平衡位置，纵坐标y表示该时刻各个质点偏离平衡位置的位移，规定位移的方向向上为正值，向下为负值，则在xOy坐标平面上，描出该时刻各质点的位置(x，y)，用平滑曲线将各点连接起来，就得到这一时刻横波的图像.波的图像有时也称为波形图，简称波形.‎ ‎2.正弦波：波形图是正弦曲线的波，又称为正弦波.‎ ‎3.图像的物理意义 直观地表明了离波源不同距离的各振动质点在某一时刻的位置.‎ 二、波的图像与振动图像的比较 比较内容 波的图像(简谐波)‎ 振动图像(简谐运动)‎ 研究内容 表示波传播时某一(填“某一”或“各”)时刻在介质中各(填“某一”或“各”)质点的位置相对于平衡位置的位移 某一(填“某一”或“各”)质点振动的过程中，各(填“某一”或“各”)时刻相对于平衡位置的位移 图像形状 正弦(或余弦)曲线 正弦(或余弦)曲线 横坐标 表示在波的传播方向上各(填“某一”或“各”)质点的平衡位置 表示时间t 纵坐标 某一(填“某一”或“各”)时刻各(填“某一”或“各”)质点偏离平衡位置的位移 某一(填“某一”或“各”)质点各(填“某一”或“各”)时刻偏离平衡位置的位移 15‎ 横轴上相邻的两个状态总一致的点之间的距离的含义 ‎[即学即用]‎ ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)波的图像反映的是某一时刻介质中各质点的位移情况.(　√　)‎ ‎(2)从波的图像可以知道各质点振动的振幅.(　√　)‎ ‎(3)在不同时刻波的图像有可能完全相同.(　√　)‎ ‎(4)振动图像的图线实质是振动质点所经过的路径形状，波的图像的图线实质是某一时刻各个质点的连线形状.(　×　)‎ ‎2.如图1所示，一列沿x轴正方向传播的横波在某一时刻的波形图如图________所示，其上某一质点的振动图像如图________所示.由图可知波长λ＝_______m，振幅A＝_______cm，周期T＝________s，波速v＝______m/s.此时质点P运动方向向____________，加速度方向向________.‎ 图1‎ 答案　甲　乙　4　10　4　1　上　下 一、波的图像的理解和应用 ‎[导学探究]　如图2所示是一列简谐波在某一时刻的图像.‎ 图2‎ ‎(1)波的图像是什么形状的曲线？‎ ‎(2)由图像可获取哪些信息？‎ 答案　(1)余弦曲线.‎ ‎(2)可以获得以下信息：①该时刻各个质点相对平衡位置的位移.②各质点振动的振幅.③波长 15‎ ‎[知识深化]　对波的图像的理解 ‎(1)对波的图像的理解 ‎①波的图像是某一时刻介质中各个质点运动情况的“定格”.可以将波的图像比喻为某一时刻对所有质点拍摄下的“集体照”.‎ ‎②简谐波的图像是正(余)弦曲线，介质中的质点做简谐运动.‎ ‎(2)由波的图像可获取的信息 ‎①直接读出波长.若已知波速，可计算出周期、频率.或已知周期、频率可计算出波速.‎ ‎②直接读出该时刻各质点的位移，间接判断回复力、加速度情况.‎ ‎③介质中各质点的振幅.‎ ‎④已知波的传播方向，可知质点的振动方向；已知质点的振动方向，可知波的传播方向.判断方法如下：(以已知波的传播方向判断质点振动方向为例)‎ a.质点带动法 由波的形成原理可知，后振动的质点总是重复先振动的质点的运动，若已知波的传播方向来判断质点的振动方向时，可在波源一侧找与该质点距离较近的前一质点，如果前一质点在该质点下方，则该质点将向下运动，否则该质点将向上运动.‎ b.上下坡法 如图3所示，沿波的传播方向，“上坡”的质点向下振动，如D、E、F；“下坡”的质点向上振动，如A、B、C.‎ 图3‎ c.微平移法 原理：波向前传播，波形也向前平移.‎ 方法：作出经微小时间Δt后的波形，就知道了各质点经过Δt时间到达的位置，此刻质点振动方向也就知道了.如图4所示.‎ 图4‎ 15‎ 例1　一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速为‎4m/s.某时刻波形如图5所示，下列说法正确的是(　　)‎ 图5‎ A.这列波的振幅为‎4cm B.这列波的周期为1s C.此时x＝‎4m处质点沿y轴负方向运动 D.此时x＝‎4m处质点的加速度为0‎ 答案　D 解析　由题图可知，这列波的振幅为‎2cm，A项错误；波长λ＝‎8m，故周期T＝＝s＝2s，B项错误；波向右传播，根据“上下坡法”可知，x＝‎4m处质点沿y轴正方向运动，C项错误；此时x＝‎4m处质点处于平衡位置，回复力为零，加速度为零，D项正确.‎ 二、波的图像的画法 ‎[导学探究]　请画出例1中的波经0.5s后的波形.‎ 答案　‎ ‎[知识深化]　波的图像的画法 ‎(1)特殊点法 先找出两点(平衡位置、波峰或波谷等特殊点)并确定其运动方向，然后确定经Δt时间后这两点所到达的位置，最后按正弦规律画出新的波形.‎ 该法适用于Δt＝n·(n＝1,2,3，……)的情况.‎ ‎(2)波形平移法 在已知波的传播速度的情况下，由Δx＝vΔt可得经Δt时间后波向前移动的距离Δx，把图像沿传播方向平移Δx即得到相对应的图像.‎ 15‎ 例2　某一简谐横波在t＝0时刻的波形图如图6所示.若波向右传播，画出后和前两个时刻的波的图像.‎ 图6‎ 答案　见解析图 解析　解法一　特殊点法 根据t＝0时刻波的图像及波的传播方向，可知此时刻A、B、C、D、E、F各质点在该时刻的振动方向，由各个质点的振动方向可确定出经后各个质点所在的位置，将这些点所在位置用平滑曲线连接起来，便可得到经后的波的图像.如图中的虚线(a)所示.‎ 同理，根据各个质点的振动方向可确定出前时刻各个质点的所在位置，于是便可得到前时刻的波的图像.如图中虚线(b)所示.‎ 解法二　波形平移法 由题图可知，在质点振动的一个周期内，波向前传播一个波长的距离，即传播的距离x＝‎12m，因此在内，波向前传播了‎3m.根据波的传播过程和传播的实质，若波向右传播，把波的原有图形向右移动‎3m的距离，就得到了后时刻的波形图，同理可以得到前时刻波的图像.‎ 在已知波速的情况下，由公式Δx＝vΔt可得经Δt时间后波向前移动的距离Δx，把波形平移Δx即可得Δt时间后的波形图.注意，当Δx＝kλ＋Δx0时，只需将波形沿波的传播方向平移Δx0即可得Δt时间后的波形图，这就是所谓的“去整留零平移法”.当然也可以采用“特殊点法”.‎ 15‎ 三、波的图像与振动图像的比较 ‎1.波的图像描述的是介质中的“各质点”在“某一时刻”离开平衡位置的位移；而振动图像描述的是“一个质点”在“各个时刻”离开平衡位置的位移.‎ ‎2.横、纵坐标所表示的物理量：波的图像中的横坐标x表示介质中各个振动质点的平衡位置，纵坐标y表示各个振动质点在某时刻的位移；振动图像的横坐标t表示一个振动质点振动的时间，纵坐标y表示这个质点振动时各个不同时刻的位移.‎ 例3　(多选)根据图7甲、乙两图判断下列说法正确的是(　　)‎ 图7‎ A.甲是振动图像，乙是波的图像 B.甲是波的图像，乙是振动图像 C.甲中A质点向下振动，乙中B时刻质点向下振动 D.甲中A质点向上振动，乙中B时刻质点向下振动 答案　BD 解析　波的图像的横坐标为波的传播方向上各质点的平衡位置，振动图像的横坐标为时间，故A错，B对；题图甲中A质点被其左侧的质点带动向上振动，题图乙中B时刻后位移由零变为负值，故向下振动，所以C错，D对.‎ 两种图像的比较 ‎1.波的图像与振动图像外形上很相似，辨别它们时要看图像的横坐标是时间t还是位移x.‎ ‎2.简谐波中的所有质点都做简谐运动，它们的振幅、周期均相同.‎ ‎3.判断波的图像中质点的运动方向可根据带动法、上下坡法、微平移法；判断振动图像中质点的振动方向根据质点下一时刻的位置.‎ 四、波的多解性 ‎[导学探究]　一列周期为T的机械波某时刻的波形图如图8所示.‎ 图8‎ ‎(1)a质点需多长时间第一次运动到波峰？‎ ‎(2)与a质点运动速度始终相等的质点有几个？‎ 答案　(1)若波沿x轴正方向传播，该时刻a质点向y轴正方向运动，经T第一次运动到波峰 15‎ ‎.‎ 若波沿x轴负方向传播，该时刻a质点向y轴负方向运动，经T第一次运动到波峰.‎ ‎(2)与a质点的距离为nλ(n＝1,2,3，…)的所有质点与a质点的运动速度始终相等，在该图中只有一个.‎ ‎[知识深化]　波的多解性 ‎(1)波的周期性造成多解 ‎①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确.‎ ‎②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确.‎ ‎(2)传播方向的双向性造成多解 ‎(3)质点振动方向不确定造成多解.‎ 例4　(多选)一列横波沿直线传播，在波的传播方向上有A、B两点.在t时刻A、B两点间形成如图9甲所示波形，在t＋3s时刻A、B两点间形成如图乙所示波形，已知A、B两点平衡位置间距离a＝‎9m，则以下说法中正确的是(　　)‎ 图9‎ A.若周期为4s，波一定向右传播 B.若周期大于4s，波可能向右传播 C.若波速为‎8.5m/s，波一定向左传播 D.该波波速可能的最小值为‎0.5m/s 答案　ACD 解析　若波向右传播，3s＝(n＋)T1(n＝0,1,2，…)，‎ T1＝s≤4s，B错误；若波向左传播，3s＝(n＋)T2(n＝0,1,2，…)，T2＝s，由于n＝0,1,2，…，当T＝4s时，波向右传播，故A正确；由题图知波长λ＝‎6m，若波速为‎8.5m/s，波在3s内传播的距离为x＝vt＝8.5×‎3m＝‎25.5m＝4λ，根据波形的平移，波一定向左传播，故C正确；波在3s内传播的最小距离为向左传播‎1.5m，波速可能的最小值为vmin＝m/s＝‎0.5 m/s，故D正确.‎ 15‎ 解决波动问题应注意的问题：‎ ‎(1)质点到达最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能.‎ ‎(2)质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能.‎ ‎(3)只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能.‎ ‎(4)只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能.‎ ‎1.(波的图像)如图10所示为一列简谐横波在某时刻的波形图.已知图中质点b的起振时刻比质点a超前了0.4s，则以下说法正确的是(　　)‎ 图10‎ A.波的波速为‎10m/s B.波的频率为1.25Hz C.波沿x轴正方向传播 D.该时刻质点P正沿y轴正方向运动 答案　B 解析　由于b比a先振动，所以波沿x轴负方向传播，选项C错误；由题图可知a、b的平衡位置之间的距离为‎2m，则波速v＝＝m/s＝‎5 m/s，选项A错误；由题图可知，波长λ＝‎4m，由v＝λf得频率f＝＝Hz＝1.25Hz，选项B正确；根据“上下坡法”可知此时质点P正沿y轴负方向运动，选项D错误.‎ ‎2.(波的图像的画法)一列沿x轴正方向传播的横波在某一时刻的波形图如图11所示，已知波的传播速率是‎16m/s.‎ 图11‎ ‎(1)指出这列波中质点振动的振幅是多少；‎ ‎(2)画出再经过0.125s时的波的图像.‎ 答案　(1)‎10cm　(2)见解析图 15‎ 解析　(1)由图像可以看出，质点振动的最大位移大小是‎10cm，因此振幅是‎10cm.(2)再经0.125s波形沿x轴正方向移动的距离为Δx＝vΔt＝16×‎0.125m＝‎2m，所以再经过0.125s后的波的图像如图中的虚线所示.‎ ‎3.(振动图像与波的图像的比较)(多选)一列简横谐横波在t＝0时刻的波形图如图12(a)所示，图(b)表示该波传播的介质中某质点此后一段时间内的振动图像，则(　　)‎ 图12‎ A.若波沿x轴正方向传播，(b)图应为a点的振动图像 B.若波沿x轴正方向传播，(b)图应为b点的振动图像 C.若波沿x轴负方向传播，(b)图应为c点的振动图像 D.若波沿x轴负方向传播，(b)图应为d点的振动图像 答案　BD 解析　在题图(b)的振动图像中，t＝0时刻质点在平衡位置且向y轴正方向运动，由题图(a)可知若波沿x轴正方向传播，b点的速度方向沿y轴正方向，d点的速度方向沿y轴负方向；若波沿x轴负方向传播，b点的速度方向沿y轴负方向，d点的速度方向沿y轴正方向，B、D正确.‎ ‎4.(波的多解性)(多选)一列简谐横波沿x轴传播，a、b为x轴上的两质点，平衡位置分别为x＝0，x＝xb(xb>0).a点的振动规律如图13所示.已知波速为v＝‎10m/s，在t＝0.1s时b的位移为‎0.05m，则下列判断可能正确的是(　　)‎ 图13‎ A.波沿x轴正向传播，xb＝‎‎0.5m B.波沿x轴正向传播，xb＝‎‎1.5m C.波沿x轴负向传播，xb＝‎‎2.5m D.波沿x轴负向传播，xb＝‎‎3.5m 答案　BC 15‎ 解析　由a点振动图像可知，振动周期T＝0.2 s，所以λ＝vT＝10×‎0.2 m＝‎2 m；由题意可知在t＝0.1 s时，a在平衡位置且向上振动，b在正向最大位移处，这时如果波沿x轴正向传播，根据“上下坡法”，a、b之间的距离为(n＋)λ(n＝0,1,2,3，…)，所以xb＝(n＋)λ＝(2n＋1.5) m (n＝0,1,2,3，…)，A错，B对；这时如果波沿x轴负向传播，根据“上下坡法”，a、b之间的距离为(n＋)λ (n＝0,1,2,3，…)，所以xb＝(n＋)λ＝(2n＋0.5) m (n＝0,1,2,3，…)，C对，D错.‎ 一、选择题 考点一　波的图像的理解 ‎1.关于波的图像的物理意义，下列说法正确的是(　　)‎ A.表示某一时刻某一质点的位移 B.表示各个时刻某一质点的位移 C.表示某一时刻各个质点的位移 D.表示各个时刻各个质点的位移 答案　C 解析　波的图像表示的是介质中的各个质点在某一时刻离开各自的平衡位置的位移.‎ ‎2.(多选)关于如图1所示的波形图，下列说法中正确的是(　　)‎ 图1‎ A.此列波的振幅是‎0.1m B.x＝‎15cm处质点的位移是‎0.1m C.若质点A此刻的速度沿y轴正方向，则质点B此刻的速度也沿y轴正方向 D.质点A此刻的加速度沿y轴负方向，而质点B、C此刻的加速度沿y轴正方向 答案　ACD 解析　由题图可以直接读出振幅、各质点离开平衡位置的位移，A正确，B错误；各质点加速度的方向总是指向平衡位置，D正确；由于A、B两质点此刻处在同一“坡”上，根据“上下坡法”可以判断C正确.‎ ‎3.(多选)周期为2.0s的简谐横波沿x轴传播，该波在某时刻的图像如图2所示，此时质点P沿y轴负方向运动，则该波(　　)‎ 15‎ 图2‎ A.波长为‎40m B.频率为0.5Hz C.沿x轴负方向传播，波速v＝‎20m/s D.沿x轴正方向传播，波速v＝‎10m/s 答案　BD 解析　已知质点P的运动方向为沿y轴负方向，可知波沿x轴正方向传播；由波的图像可知λ＝‎20m，又T＝2.0s，频率f＝＝0.5Hz，B正确；波速v＝＝‎10m/s，D正确.‎ ‎4.(多选)一列简谐横波在t＝0时的波形图如图3所示.介质中x＝‎2m处的质点P沿y轴方向做简谐运动的表达式为y＝10sin (5πt) cm.关于这列简谐波，下列说法正确的是(　　)‎ 图3‎ A.周期为4s B.振幅为‎20cm C.传播方向沿x轴正向 D.传播速度为‎10m/s 答案　CD 解析　由简谐运动的表达式可知ω＝5π rad/s，则周期为T＝＝0.4 s.由波的图像得，振幅A＝‎10 cm，波长λ＝‎4 m，故波速为v＝＝‎10 m/s.P点在t＝0时振动方向沿y轴正方向，故波沿x轴正方向传播，故选C、D.‎ 考点二　振动图像与波的图像的比较 ‎5.(多选)关于振动图像和波的图像，下列说法正确的是(　　)‎ A.波的图像反映的是很多质点在同一时刻的位移 B.通过波的图像可以找出任一质点在任一时刻的位移 C.它们的横坐标都表示时间 D.它们的纵坐标都表示质点的位移 答案　AD 解析　波的图像反映的是沿波的传播方向上各个质点在某一时刻的位移，A项对，B项错；波的图像的横坐标表示的是在波的传播方向上各振动质点的平衡位置，C 15‎ 项错；波的图像和振动图像的纵坐标都表示质点的位移，D项对.‎ ‎6.一列简谐横波沿x轴负方向传播，图4甲是t＝1s时的波形图，图乙是波中某振动质点位移随时间变化的振动图像(两图用同一时间起点)，则图乙可能是图甲中哪个质点的振动图像(　　)‎ 图4‎ A.x＝0处的质点 B.x＝‎1m处的质点 C.x＝‎2m处的质点 D.x＝‎3m处的质点 答案　A ‎7.(多选)图5(a)为一列简谐横波在t＝2s时的波形图，图(b)为介质中平衡位置在x＝‎1.5m处的质点的振动图像，P是平衡位置为x＝‎2m处的质点.下列说法正确的是(　　)‎ 图5‎ A.波速为‎0.5m/s B.波的传播方向向右 C.0～2s时间内，P运动的路程为‎8cm D.0～2s时间内，P向y轴正方向运动 E.当t＝7s时，P恰好回到平衡位置 答案　ACE 解析　v＝＝ m/s＝‎0.5 m/s，A正确；x＝‎1.5 m处的质点在t＝2 s时正在向下振动，根据“上坡下”可判断波向左传播，B错误；0～2 s是半个周期，P质点运动的路程为2×‎4 cm＝‎8 cm，C正确；0～2 s时间内，P质点由正向最大位移处运动至负向最大位移处，D错误；7 s是此时刻再经过5 s，即1T，这时P质点刚好回到平衡位置，E正确.‎ ‎8.(多选)图6甲为一列简谐横波在t＝0.10s时刻的波形图，P是平衡位置在x＝‎1.0m处的质点，Q是平衡位置在x＝‎4.0m处的质点；图乙为质点Q的振动图像.下列说法正确的是(　　)‎ 15‎ 图6‎ A.在t＝0.10s时，质点Q向y轴正方向运动 B.在t＝0.25s时，质点P的加速度方向与y轴正方向相同 C.从t＝0.10s到t＝0.25s，该波沿x轴负方向传播了‎6m D.从t＝0.10s到t＝0.25s，质点P通过的路程为‎30cm E.质点Q简谐运动的表达式为y＝0.10sin10πtm 答案　BCE 解析　由题图甲得λ＝‎8m，由题图乙得T＝0.2s，所以v＝＝‎40m/s.由题图乙知，在t＝0.10s时，质点Q通过平衡位置向y轴负方向运动，A错误；由“上下坡法”判得波沿x轴负方向传播，根据特殊点法，画出t＝0.25s时的波形图，标出P、Q点，如图所示，此时P点在x轴下方，其加速度沿y轴正方向，B正确；Δt＝0.25s－0.10s＝0.15s，Δx＝v·Δt＝‎6m，C正确；P点起始位置不在平衡位置或最大位移处，故D错误；由题图乙知A＝‎0.1m，ω＝＝10πrad/s，所以Q点简谐振动的表达式为：y＝0.10sin10πt (m)，E正确.‎ 考点三　波的多解性 ‎9.(多选)一列简谐横波在t＝0时刻的波形如图7中的实线所示，t＝0.02s时刻的波形如图中虚线所示.若该波的周期T大于0.02s，则该波的传播速度可能是(　　)‎ 图7‎ A‎.7m/s B‎.3 m/sC‎.1m/s D‎.5 m/s 答案　BC 解析　由于T>0.02s，若波向右传播，则波传播的距离x1＝‎0.02m，则波速v1＝＝m/s＝‎1 m/s；若波向左传播，则波传播的距离x2＝‎0.06m，则波速v2＝＝m/s＝‎3 m/s，故正确的选项为B、C.‎ 15‎ ‎10.(多选)一列简谐横波沿直线由A向B传播，A、B相距‎0.45m，如图8所示是A处质点的振动图像.当A处质点运动到波峰位置时，B处质点刚好到达平衡位置且向y轴正方向运动，这列波的波速可能是(　　)‎ 图8‎ A.‎4.5‎m‎/s B.‎3.0 m/s C.‎1.5 m/s D.‎0.5 m/s 答案　AD 解析　由题图可知周期为0.4s.由题意可知质点A、B间最简单波形如图所示，A、B间距和波长的关系为x＝(n＋)λ，再由公式v＝得v＝m/s(n＝0,1,2，…)，当n＝0时，v＝‎ ‎4.5 m‎/s，当n＝2时，v＝‎0.5m/s，选项A、D正确.‎ 二、非选择题 ‎11.(波的图像的理解)如图9所示为一列沿－x方向传播的简谐横波在t＝0时刻的波形图.M、N两点的坐标分别为(－2,0)和(－7,0)，已知t＝0.5s时，M点第二次出现波峰.‎ 图9‎ ‎(1)这列波的传播速度多大？‎ ‎(2)从t＝0时刻起，经过多长时间N点第一次出现波峰？‎ ‎(3)当N点第一次出现波峰时，M点通过的路程为多少？‎ 答案　(1)‎20m/s　(2)0.55s　(3)‎‎0.4m 解析　(1)根据图像可知，该波波长λ＝‎4m，M点与最近波峰的水平距离为‎6m，距离下一个波峰的水平距离为‎10m，所以波速为v＝＝m/s＝‎20 m/s.‎ ‎(2)N点与最近波峰的水平距离为s′＝‎11m，当最近的波峰传到N点时N点第一次出现波峰，历时为t1＝＝s＝0.55s.‎ ‎(3)该波中各质点振动的周期为T＝＝0.2s，波传到M点用时t′＝s＝0.15s，则N 15‎ 点第一次出现波峰时质点M振动了t2＝t1－t′＝0.4s＝2T，则当N点第一次出现波峰时，M点通过的路程为s″＝‎40cm＝‎0.4m.‎ ‎12.(振动图像与波的图像的比较)如图10所示，甲为某一列波在t＝1.0s时的图像，乙为参与该波动的P质点的振动图像.‎ 图10‎ ‎(1)求该波波速v；‎ ‎(2)画出再经过3.5s时的波形图；‎ ‎(3)求再经过3.5s时P质点的路程s和位移.‎ 答案　见解析 解析　(1)由题图甲得波长λ＝‎4 m，由题图乙得周期T＝1.0 s，波速v＝＝‎4 m/s.‎ ‎(2)由P质点的振动图像知波沿x轴向左传播，经过3.5 s传播的距离：Δx＝vΔt＝4×‎3.5 m＝‎14 m＝(3＋)λ，只需将波形向x轴负向平移λ＝‎2 m即可，如图所示.‎ ‎(3)因为n＝＝3.5，所以路程s＝4An＝4×0.2×‎3.5 m＝‎2.8 m.‎ 由波的重复性可知，经历时间为周期的整数倍时，位移不变，所以只需考虑从题图所示时刻到P质点经时的位移即可，所以再经过3.5 s时质点P的位移仍为零.‎ 15‎