【物理】2019届一轮复习人教版机械能守恒定律及应用学案 17页

第3讲　机械能守恒定律及应用 一、重力做功与重力势能的关系 ‎1.重力做功的特点 ‎(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关.‎ ‎(2)重力做功不引起物体机械能的变化.‎ ‎2.重力势能 ‎(1)表达式：Ep＝mgh.‎ ‎(2)重力势能的特点 重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关.‎ ‎3.重力做功与重力势能变化的关系 ‎(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大；‎ ‎(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量.即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp.‎ 自测1　关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)‎ A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定 B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大 C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了 D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功 答案　D 二、弹性势能 ‎1.定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能.‎ ‎2.弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加.即W＝－ΔEp.‎ 自测2　(多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是(　　)‎ A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能 B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变 C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能 D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关 答案　AB 三、机械能守恒定律 ‎1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变.‎ ‎2.表达式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.‎ ‎3.机械能守恒的条件 ‎(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力.‎ ‎(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功.‎ ‎(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零.‎ ‎(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化.‎ 自测3　(多选)如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)‎ 图1‎ A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒 B.乙图中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒 C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒 D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒 答案　CD 自测4　教材P78第3题改编(多选)如图2所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上.若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)‎ 图2‎ A.重力对物体做的功为mgh B.物体在海平面上的势能为mgh C.物体在海平面上的动能为mv02－mgh D.物体在海平面上的机械能为mv02‎ 答案　AD 命题点一　机械能守恒的判断 ‎1.只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化.如自由落体运动、抛体运动等.‎ ‎2.只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化.如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒.‎ ‎3.只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化.如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒.‎ ‎4.除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零.如物体在沿斜面向下的拉力F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒.‎ 例1　关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法中正确的是(　　)‎ A.只有重力和弹力作用时，机械能才守恒 B.当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒 C.当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒 D.炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒 答案　C 解析　机械能守恒的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A项错误.物体受其他外力作用且合外力为零时，机械能可以不守恒，如拉一物体匀速上升，合外力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B项错误.在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，故D项错误.‎ 变式1　下列关于机械能守恒的说法中正确的是(　　)‎ A.做匀速运动的物体，其机械能一定守恒 B.物体只受重力，机械能才守恒 C.做匀速圆周运动的物体，其机械能一定守恒 D.除重力做功外，其他力不做功，物体的机械能一定守恒 答案　D 命题点二　单物体的机械能守恒问题 ‎1.表达式 ‎2.一般步骤 ‎3.选用技巧 ‎(1)在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面.‎ ‎(2)在处理连接体问题时，通常应用转化观点和转移观点，都不用选取零势能面.‎ 例2　(2016·全国卷Ⅲ·24)如图3所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接.AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动.‎ 图3‎ ‎(1)求小球在B、A两点的动能之比；‎ ‎(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点.‎ 答案　(1)5∶1　(2)能，理由见解析 解析　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得 EkA＝mg· ①‎ 设小球在B点的动能为EkB，同理有 EkB＝mg· ②‎ 由①②式得＝5 ③‎ ‎(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足 FN≥0 ④‎ 设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有 FN＋mg＝m ⑤‎ 由④⑤式得mg≤m ⑥‎ vC≥ ⑦‎ 对全程应用机械能守恒定律得mg·＝mvC′2 ⑧‎ 由⑦⑧式可知，vC＝vC′，即小球恰好可以沿轨道运动到C点.‎ 变式2　如图4甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出小滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，取g＝10 m/s2.求：‎ 图4‎ ‎(1)滑块的质量和圆轨道的半径；‎ ‎(2)是否存在某个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB 上与圆心等高的点？若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由.‎ 答案　(1)0.1 kg　0.2 m　(2)存在　0.6 m 解析　(1)设小滑块的质量为m，圆轨道的半径为R 根据机械能守恒定律得 mg(H－2R)＝mvD2，F＋mg＝ 得：F＝－mg 取点(0.50 m,0)和(1.00 m,5.0 N)代入上式得：‎ m＝0.1 kg，R＝0.2 m ‎(2)假设小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点(如图所示)‎ 由几何关系可得OE＝ 设小滑块经过最高点D时的速度为vD′‎ 由题意可知，小滑块从D运动到E，水平方向的位移为OE，竖直方向上的位移为R，‎ 则OE＝vD′t，R＝gt2‎ 解得vD′＝2 m/s 而小滑块过D点的临界速度vD0＝＝ m/s 由于vD′＞vD0，所以存在一个H值，使得小滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点 mg(H－2R)＝mvD′2‎ 解得H＝0.6 m.‎ 命题点三　连接体的机械能守恒问题 ‎1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒.‎ ‎2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.‎ ‎3.列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式.‎ 例3　如图5所示，左侧竖直墙面上固定半径为R＝0.3 m的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心O等高处固定一光滑直杆.质量为ma＝100 g的小球a套在半圆环上，质量为mb＝36 g的滑块b套在直杆上，二者之间用长为l＝0.4 m的轻杆通过两铰链连接.现将a从圆环的最高处由静止释放，使a沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b均视为质点，‎ 重力加速度g＝10 m/s2.求：‎ 图5‎ ‎(1)小球a滑到与圆心O等高的P点时的向心力大小；‎ ‎(2)小球a从P点下滑至杆与圆环相切的Q点的过程中，杆对滑块b做的功.‎ 答案　(1)2 N　(2)0.194 4 J 解析　(1)当a滑到与O同高度的P点时，a的速度v沿圆环切向向下，b的速度为零，‎ 由机械能守恒可得：magR＝mav2‎ 解得v＝ 对小球a受力分析，由牛顿第二定律可得：F＝＝2mag＝2 N ‎(2)杆与圆环相切时，如图所示，此时a的速度沿杆方向，‎ 设此时b的速度为vb，则知va＝vbcos θ 由几何关系可得：cos θ＝＝0.8‎ 球a下降的高度h＝Rcos θ a、b及杆组成的系统机械能守恒：magh＝mava2＋mbvb2－mav2‎ 对滑块b，由动能定理得：W＝mbvb2＝0.194 4 J 变式3　(多选)(2015·新课标全国Ⅱ·21)如图6所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上.a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动.不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则(　　)‎ 图6‎ A.a落地前，轻杆对b一直做正功 B.a落地时速度大小为 C.a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D.a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 答案　BD 解析　滑块b的初速度为零，末速度也为零，所以轻杆对b先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块a、b及轻杆组成的系统为研究对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，b的速度为零，则mgh＝mva2＋0，即va＝，选项B正确；a、b的先后受力分析如图甲、乙所示.‎ 由a的受力情况可知，a下落过程中，其加速度大小先小于g后大于g，选项C错误；当a落地前b的加速度为零(即轻杆对b的作用力为零)时，b的机械能最大，a的机械能最小，这时b受重力、支持力，且FNb＝mg，由牛顿第三定律可知，b对地面的压力大小为mg，选项D正确.‎ 变式4　半径为R的光滑圆环竖直放置，环上套有两个质量分别为m和m的小球A和B.A、B之间用一长为R的轻杆相连，如图7所示.开始时，A、B都静止，且A在圆环的最高点，现将A、B释放，试求：(重力加速度为g)‎ 图7‎ ‎(1)B球到达最低点时的速度大小；‎ ‎(2)B球到达最低点的过程中，杆对A球做的功；‎ ‎(3)B球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置.‎ 答案　(1)　(2)0　(3)高于O点R处 解析　(1)释放后B到达最低点的过程中A、B和杆组成的系统机械能守恒，mAgR＋mBgR＝mAvA2＋mBvB2，又OA与OB相互垂直，AB杆长l＝R，故OA、OB与杆间夹角均为45°，可得vA＝vB，解得vB＝.‎ ‎(2)对小球A应用动能定理可得 W杆A＋mAgR＝mAvA2‎ 又vA＝vB 解得杆对A球做功W杆A＝0.‎ ‎(3)设B球到达右侧最高点时，OB与竖直方向之间的夹角为θ，取圆环的圆心O所在水平面为零势能面，由系统机械能守恒可得 mAgR＝mBgRcos θ－mAgRsin θ 代入数据可得θ＝30°.‎ 所以B球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心O的高度hB＝Rcos θ＝R.‎ 命题点四　含弹簧类机械能守恒问题 ‎1.由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒.‎ ‎2.在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大.‎ ‎3.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放).‎ 例4　(2016·全国卷Ⅱ·25)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接.AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图8所示.物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.‎ 图8‎ ‎(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；‎ ‎(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围.‎ 答案　(1)　2l　(2)m≤MμMg·4l ⑩‎ 要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.‎ 由机械能守恒定律有MvB′2≤Mgl ⑪‎ Ep＝MvB′2＋μMg·4l ⑫‎ 联立①⑩⑪⑫式得m≤M0，解得H>2R，故选B. ‎ ‎5.(2018·江西景德镇模拟)如图4所示，将一质量为m的小球从A点以初速度v斜向上抛出，小球先后经过B、C两点.已知B、C之间的竖直高度和C、A之间的竖直高度都为h，重力加速度为g，取A点所在的平面为参考平面，不考虑空气阻力，则(　　)‎ 图4‎ A.小球在B点的机械能是C点机械能的两倍 B.小球在B点的动能是C点动能的两倍 C.小球在B点的动能为mv2＋2mgh D.小球在C点的动能为mv2－mgh 答案　D ‎6.如图5所示，在下列不同情形中将光滑小球以相同速率v射出，忽略空气阻力，结果只有一种情形小球不能到达天花板，则该情形是(　　)‎ 图5‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案　B ‎7.如图6所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝0.1 m.两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取10 m/s2.则下列说法中正确的是(　　)‎ 图6‎ A.整个下滑过程中A球机械能守恒 B.整个下滑过程中B球机械能守恒 C.整个下滑过程中A球机械能的增加量为 J D.整个下滑过程中B球机械能的增加量为 J 答案　D 解析　在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A球沿斜面滑行时，杆的弹力对A、B球做功，所以A、B球各自机械能不守恒，故A、B错误；根据系统机械能守恒得：mAg(h＋Lsin θ)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，解得：v＝ m/s，系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为mBv2－mBgh＝ J，故D正确；A球的机械能减少量为 J，C错误.‎ ‎8.(多选)(2017·河北衡水中学二调)如图7所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处.现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是(　　)‎ 图7‎ A.环到达B处时，重物上升的高度h＝ B.环到达B处时，环与重物的速度大小相等 C.环从A到B，环减少的机械能等于重物增加的机械能 D.环能下降的最大高度为d 答案　CD 解析　根据几何关系，环从A下滑至B点时，重物上升的高度h＝d－d，故A错误；将环在B点的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有：v环cos 45°＝v重物，故B错误；环下滑过程中无摩擦力对系统做功，系统机械能守恒，即环减小的机械能等于重物增加的机械能，故C正确；环下滑到最大高度为H时环和重物的 速度均为0，此时重物上升的最大高度为－d，根据机械能守恒有mgH＝2mg(－d)，解得：H＝d，故D正确.‎ ‎9.(2015·天津理综·5)如图8所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态.现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)‎ 图8‎ A.圆环的机械能守恒 B.弹簧弹性势能变化了mgL C.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D.圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 答案　B 解析　圆环在下落过程中弹簧的弹性势能增加，由能量守恒定律可知圆环的机械能减少，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，故A、D错误；圆环下滑到最大距离时速度为零，但是加速度不为零，即合外力不为零，故C错误；圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒定律知弹簧弹性势能增加了mgL，故B正确.‎ ‎10.如图9所示，半径为R的光滑半圆轨道ABC与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道DC相切于C，圆轨道的直径AC与斜面垂直.质量为m的小球从A点左上方距A点高为h的P点以某一速度水平抛出，刚好与半圆轨道的A点相切进入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D处.已知当地的重力加速度为g，取R＝h，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力.求：‎ 图9‎ ‎(1)小球被抛出时的速度v0；‎ ‎(2)小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小；‎ ‎(3)小球从C到D过程中克服摩擦力做的功W.‎ 答案　(1)　(2)5.6mg　(3)mgh 解析　(1)小球到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，如图所示.设竖直方向的速度为vy，则有vy＝ 由几何关系得v0＝ 得v0＝.‎ ‎(2)A、B间竖直高度H＝R(1＋cos θ)‎ 设小球到达B点时的速度为v，则从抛出点到B过程中由机械能守恒定律有 mv02＋mg(H＋h)＝mv2‎ 在B点，由牛顿第二定律有FN－mg＝m 解得FN＝5.6mg 由牛顿第三定律知，小球在B点对轨道的压力大小是5.6mg.‎ ‎(3)小球沿斜面上滑过程中克服摩擦力做的功等于小球做平抛运动的初动能，有 W＝mv02＝mgh.‎ ‎11.如图10所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧静止放于光滑斜面上，其一端固定，另一端恰好与水平线AB平齐；长为L的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球，将细绳拉至水平，此时小球在位置C.现由静止释放小球，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断，D点与AB相距h；之后小球在运动过程中恰好与弹簧接触并沿斜面方向压缩弹簧，弹簧的最大压缩量为x.不计空气阻力，试求：‎ 图10‎ ‎(1)细绳所能承受的最大拉力F；‎ ‎(2)斜面倾角θ的正切值；‎ ‎(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep.‎ 答案　(1)3mg　(2)　(3)mg(x＋h＋L)‎ 解析　(1)小球由C运动到D的过程中机械能守恒，‎ mgL＝mv12‎ 解得：v1＝ 在D点由牛顿第二定律得：F－mg＝m 解得：F＝3mg 由牛顿第三定律知，细绳所能承受的最大拉力为3mg ‎(2)小球由D运动到A的过程做平抛运动，则：vy2＝2gh 解得：vy＝，tan θ＝＝ ‎(3)小球到达A点时，有：vA2＝vy2＋v12＝2g(h＋L)‎ 小球在压缩弹簧的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，则：Ep＝mgxsin θ＋mvA2‎ 解得：Ep＝mg(x＋h＋L).‎