【物理】2019届一轮复习人教版万有引力定律的应用学案 8页

‎06 天体质量和密度的计算 重难点1 对平抛运动的理解 ‎1．天体质量的计算 ‎（1）重力加速度法 若已知天体（如地球）的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得，解得天体的质量为，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。‎ ‎（2）环绕法 借助环绕中心天体做圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：‎ 万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明 r为行星（或卫星）的轨道半径，v、ω、T为行星（或卫星）的线速度、角速度和周期 ‎ ‎ ‎ ‎2．天体密度的计算 若天体的半径为R，则天体的密度，将代入上式可得。‎ 特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则。‎ ‎【典例精析】（多选）下列几组数据中能算出地球质量的是（引力常量G是已知的）‎ A．已知地球绕太阳运动的周期T和地球中心离太阳中心的距离r B．已知月球绕地球运动的周期T和地球的半径r x/ w C．已知月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r D．已知月球绕地球运动的周期T和轨道半径r ‎【典例分析】解决本题的关键在于掌握万有引力提供向心力以及向心力公式，便能注意分析得出。‎ ‎【参考答案】CD ‎【精准解析】已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，选项A错误；已知月球绕地球运动的周期和地球的半径，而不知道月球绕地球运动的轨道半径，不能求出地球的质量，选项B错误；已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由可以求出地球的质量，选项C正确；由可求得地球质量为，选项D正确。‎ ‎【易错提醒】求解天体质量和密度时的两种常见错误 ‎（1）根据轨道半径r和运行周期T，求得是中心天体的质量，而不是行星（或卫星）的质量。‎ ‎（2）混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。‎ ‎1．近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的 探索（如发现了冰），为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为（ 为某个常量）‎ A．ρ＝ T B． C．ρ＝ T2 D．‎ ‎【答案】D ‎2．（多选）若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。已知月球半径为R，万有引力常量为G。则下列说法正确的是 A．月球表面的重力加速度 B．月球的质量 C．月球的自转周期 D．月球的平均密度 ‎【答案】AB ‎3．设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题根据行星所受的万有引力提供其做圆周运动的向心力列方程求解。对行星有：，故，选项A正确，选项B、C、D均错误。‎ 重难点2 天体运动的分析与计算 ‎1．基本思路 一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立牛顿第二定律方程，式中a是向心加速度。‎ ‎2．常用关系 ‎（1） ，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。‎ ‎（2） ，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换。‎ ‎【典例精析】有的天文 家倾向于把太阳系外较小的天体叫做“矮行星”，而另外一些人把它们叫做“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：‎ ‎（1）它们与太阳间的万有引力之比。‎ ‎（2）它们的公转周期之比。‎ ‎【典例分析】熟记万有引力定律的公式及向心力公式是解决这类问题的关键。‎ ‎【参考答案】（1） （2） ‎ ‎【精准解析】（1）设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比。‎ ‎（2）两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有，‎ 所以，天体绕太阳运动的周期，则两天体绕太阳的公转周期之比。‎ ‎【规律总结】天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系 ＝越高越慢 ‎1．如图所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则 A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】对人造卫星，根据万有引力提供向心力，可得。 所以对于a、b两 颗人造卫星有，选项A正确，选项B、C、D均错误。‎ ‎2．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么 A．地球公转的周期大于火星公转的周期 B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 ‎【答案】D ‎3．人造卫星绕地球运动只受地球的引力，做匀速圆周运动，其轨道半径为r，线速度为v，周期为T。为使其周期变为8T，可采用的方法有 A．保持轨道半径不变，使线速度减小为 B．逐渐减小卫星质量，使轨道半径逐渐增大为4r C．逐渐增大卫星质量，使轨道半径逐渐增大为8r D．保持线速度不变，将轨道半径增加到8r ‎【答案】B ‎【解析】根据得，公转线速度，公转周期，从中可以看出：线速度、周期与半径具有一一对应关系，与卫星的质量无关，使轨道半径逐渐增大为4r，能使其周期变为8T，速率同时减小为，选项B正确，选项A、C、D均错误。‎ 重难点3 宇宙双星问题 如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。双星具有以下特点：‎ ‎（1）由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同。‎ ‎（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等。由和L＝r1＋r2，可得，，则。 ， ‎ ‎【典例精析】宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和m2。‎ ‎（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比。‎ ‎（2）试写出它们角速度的表达式。‎ ‎【典例分析】解决双星问题的关键在于明确一下两点：（1）万有引力提供双星做匀速圆周运动的向心力；（2）双星绕其连线上的某一点做匀速圆周运动，具有相同的角速度和周期。‎ ‎【参考答案】（1）见解析 （2） ‎ ‎【精准解析】双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如图所示。‎ ‎（1）分别对m1、m2应用牛顿第二定律列方程，‎ 对m1有，对m2有，联立解得，‎ 由线速度与角速度的关系v＝ωr，得。‎ ‎（2）由得，由得，又L＝r1＋r2，‎ 联立以上三式得。‎ ‎ ‎ ‎1．远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是 A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2‎ B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2‎ C．m1做圆周运动的半径为 D．m2做圆周运动的半径为 ‎【答案】C ‎2．我们银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，如图所示。由天文观察测得其运动周期为T，S1到O点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S1的质量为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双星之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，对S2有，解得，选项A正确，选项B、C、D均错误。‎