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- 2021-06-01 发布
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第2讲 电场的能的性质
知识排查
电势能、电势
1.电势能
(1)电场力做功的特点:
电场力做功与路径无关,只与初、末位置有关。
(2)电势能
①定义:电荷在电场中具有的势能,数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。
②电场力做功与电势能变化的关系:电场力做的功等于电势能的减少量,即WAB=EpA-EpB=-ΔEp。
2.电势
(1)定义:电荷在电场中某点的电势能与电荷量的比值。
(2)定义式:φ=。
(3)矢标性:电势是标量,有正、负之分,其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性:电势具有相对性,同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
3.等势面
(1)定义:电场中电势相等的点构成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大,反之越小。
电势差
1.电势差与电势的关系:UAB=φA-φB,UAB=-UBA。
2.电势差与电场力做功的关系:UAB=。
匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.电势差与电场强度的关系:匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线
方向的距离的乘积。即U=Ed,也可以写作E=。
2.公式U=Ed的适用范围:匀强电场。
小题速练
1.思考判断
(1)电场力做功与重力做功相似,均与路径无关。( )
(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零。( )
(3)电势降低的方向是电场强度的方向。( )
(4)电场线与等势面在相交处垂直。( )
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√
2.[鲁科版选修3-1·P39·T4改编]如图1所示,实线是点电荷Q周围的电场线,虚线是以Q为圆心的圆,共中A、B两点在圆上,C点在圆内。以下判断正确的是( )
图1
A.若Q为正电荷,则A点场强大于C点场强
B.若Q为负电荷,则A点场强小于C点场强
C.若Q为正电荷,则B点电势高于C点电势
D.若Q为负电荷,则B点电势低于C点电势
答案 D
3.如图2所示为某静电场等势面的分布,电荷量为1.6×10-9 C的正电荷从A经B、C到达D点,整个过程中电场力对电荷做的功为( )
图2
A.4.8×10-8 J B.-4.8×10-8 J
C.8.0×10-8 J D.-8.0×10-8 J
解析 电场力做功与路径无关,WAD=qUAD=q(φA-φD)=-4.8×10-8 J,B项正确。
答案 B
4.如图3所示,下列说法正确的是( )
图3
A.φA>φB
B.负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C.负电荷由B移动到A时电场力做正功
D.UAB>0
答案 B
电势高低与电势能大小的判断
1.电势高低常用的两种判断方法
(1)沿电场线方向电势逐渐降低。
(2)若UAB>0,则φA>φB;若UAB<0,则φA<φB。
2.电势能大小的判断方法
判断角度
判断方法
做功判断法
电场力做正功,电势能减小;电场力做负功,电势能增大
电荷电势法
正电荷在电势高的地方电势能大,负电荷在电势低的地方电势能大
公式法
由Ep=qφp,将q、φp的大小、正负号一起代入公式,Ep的正值越大,电势能越大;Ep的负值越小,电势能越大
能量守恒法
在电场中,若只有电场力做功时,电荷的动能和电势能相互转化,动能增大,电势能减小;反之,电势能增大
【例1】 (2019·河南濮阳油田检测)如图4所示,真空中等量正点电荷放置在M、N两点,在MN连线上有对称点a、c,MN连线的中垂线上有对称点b、d,则下列说法正确的是( )
图4
A.电荷+q在c点的电势能大于在a点的电势能
B.电荷+q在c点的电势能小于在a点的电势能
C.在MN连线的中垂线上,O点电势最高
D.电荷-q从d点由静止释放,在它从d点运动到b点的过程中,加速度先减小再增大
解析 根据电场线的分布情况和对称性可知,a、c两点的电势相等,则点电荷在a点的电势能一定等于在c点的电势能,故A、B错误;沿电场线方向电势降低,在MN连线的中垂线上,O点电势最高,故C正确;由对称性知O点的电场强度为零,电荷-q从d点由静止释放,在它从d点运动到b点的过程中,加速度可能先减小再增大,也可能按增大→减小→增大→减小变化,故D错误。
答案 C
1.(2019·广东佛山教学质检二)在维护和检修高压供电线路时,为了不影响城市用电,电工经常要在高压线上带电作业。为了保障电工的安全,电工全身要穿上用金属丝线编织的衣服(如图5甲)。图乙中电工站在高压直流输电线的A供电线上作业,其头顶上方有B供电线,B供电线的电势高于A电线的电势。虚线表示电工周围某一截面上的等差等势线,c、d、e、f是等势线上的四个点。以下说法中正确的是( )
图5
A.在c、d、e、f四点中,c点的电场最强
B. 在c、d、e、f四点中,f点的电势最高
C. 若将某电子由c移到f,其电势能将增大
D.将某电子在d点由静止释放,它会向e点所在等势面运动
解析 等差的等势线疏密表示场强的大小,越密越大,则在c、d、e、f四点中,f点的电场最强,故A错误;由题可知在c、d、e、f四点中,c点的电势最高,故B错误,若将某电子由c移到f,电场力做负功,其电势能将增大,故C正确;将某电子在d点由静止释放,它会向c点所在等势面运动,故D错误。
答案 C
2.(2019·贵阳检测)如图6所示,一圆环上均匀分布着负电荷,x轴垂直于环面且过圆心O。下列关于x轴上的电场强度和电势的说法正确的是( )
图6
A.从O点沿x轴正方向,电场强度先增大后减小,电势一直降低
B.从O点沿x轴正方向,电场强度先增大后减小,电势先降低后升高
C.O点的电场强度为零,电势最低
D.O点的电场强度不为零,电势最高
解析 圆环上均匀分布着负电荷,根据对称性可知,圆环上各电荷在O点产生的场强相互抵消,合场强为零。圆环上各电荷在x轴产生的电场强度有水平向左的分量,根据电场的叠加原理可知,x轴上电场强度方向向左,根据顺着电场线方向电势降低可知,从O点沿x轴正方向,电势升高。O点的场强为零,无穷远处场强也为零,所以从O点沿x轴正方向,场强应先增大后减小。综上分析可知C正确,A、B、D错误。
答案 C
电势差与电场强度的关系
1.公式E=的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离,或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2.由E=可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=,如图7甲所示。
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD,且AB=CD,则UAB=UCD(或φA-φB=φC-φD),如图7乙所示。
甲 乙
图7
3.解题思路
【例2】 (多选)(2017·全国卷Ⅲ,21)一匀强电场的方向平行于xOy平面,平面内a、b、c三点的位置如图8所示,三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
图8
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点,电场力做功为9 eV
解析 如图所示,设a、c之间的d点电势与b点电势相同,则==,所以d点的坐标为(3.5 cm,6 cm),过c点作等势线bd的垂线,电场强度的方向由高电势指向低电势。由几何关系可得,cf的长度为3.6 cm,电场强度的大小E== V/cm=2.5 V/cm,故选项A正确;因为Oacb是矩形,所以有Uac=UOb ,可知坐标原点O处的电势为1 V ,故选项B正确;a点电势比b点电势低7 V,电子带负电,所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV,故选项C错误;b点电势比c点电势低9 V,电子从b点运动到c点,电场力做功为9 eV,故选项D正确。
答案 ABD
1.如图9所示,在某电场中画出了三条电场线,C点是A、B连线的中点。已知A点的电势φA=30 V,B点的电势φB=-10 V,则C点的电势( )
图9
A.φC=10 V B.φC>10 V
C.φC<10 V D.上述选项都不正确
答案 C
2.(多选)(2018·全国卷Ⅱ,21)如图10,同一平面内的a、b、c、d四点处于匀强电场中,电场方向与此平面平行,M为a、c连线的中点,N为b、d连线的中点。一电荷量为q(q>0)的粒子从a点移动到b点,其电势能减小W1;若该粒子从c点移动到d点,其电势能减小W2。下列说法正确的是( )
图10
A.此匀强电场的场强方向一定与a、b两点连线平行
B.若该粒子从M点移动到N点,则电场力做功一定为
C.若c、d之间的距离为L,则该电场的场强大小一定为
D.若W1=W2,则a、M两点之间的电势差一定等于b、N两点之间的电势差
解析 由题意得(φa-φb)q=W1,(φc-φd)q=W2,只能得出a、b两点间和c、d两点间的电势关系,无法确定场强的方向,选项A错误;若c、d之间的距离为L,因无法确定场强的方向,故无法确定场强的大小,选项C错误;由于φM=、φN=、WMN=q(φM-φN),上述式子联立求解得粒子从M点移动到N点电场力做的功为WMN=,选项B正确;若W1=W2,有φa-φb=φc-φd,变形可得φa-φc=φb-φd,又φa-φM=φa-=,φb-φN=φb-=,所以φa-φM=φb-φN,选项D正确。
答案 BD
电场线、等势面和带电粒子轨迹问题
1.带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法
(1)从轨迹的弯曲方向判断受力方向(轨迹向合外力方向弯曲),从而分析电场方向或电荷的正负。
(2)结合轨迹、速度方向与电场力的方向,确定电场力做功的正负,从而确定电势能、电势和电势差的变化等。
(3)根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况。
2.求电场力做功的四种方法
(1)定义式:WAB=Flcos α=qElcos α(适用于匀强电场)。
(2)电势的变化:WAB=qUAB=q(φA-φB)。
(3)动能定理:W电+W其他=ΔEk。
(4)电势能的变化:WAB=-ΔEp=EpA-EpB。
3.电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功,则电势能与动能之和保持不变。
(2)若只有电场力和重力做功,则电势能、重力势能、动能之和保持不变。
(3)除重力、弹力外,其他各力对物体做的功等于物体机械能的增量。
(4)所有外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。
【例3】 (2018·天津理综,3)如图11所示,实线表示某电场的电场线(方向未标出),虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹,设M点和N点的电势分别为φM、φN,粒子在M和N时加速度大小分别为aM、aN,速度大小分别为vM、vN,电势能分别为EpM、EpN。下列判断正确的是( )
图11
A.vMvN。综上所述,选项D正确。
答案 D
电场中轨迹类问题的思维模板
1.(2019·湖北襄阳五中模拟)如图12所示,虚线a、b、c是电场中的一簇等势线(相邻等势线之间的电势差相等),实线为一α粒子(He核,重力不计)仅在电场力作用下通过该区域时的运动轨迹,P、Q是这条轨迹上的两点,据此可知( )
图12
A.a、b、c三条等势线中,a的电势最高
B.电子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能小
C.α粒子在P点的加速度大小比在Q点的加速度大小大
D.α粒子一定是从P点向Q点运动
解析 电荷所受电场力指向轨迹内侧,由于α粒子带正电,因此电场线指向左上方,沿电场线方向电势降低,故c等势线的电势最高,a等势线的电势最低,选项A错误;Q点电势高于P点,则电子在P点具有的电势能比在Q点具有的电势能大,选项B错误;P点所在位置的等势线较Q点密集,则电场线较Q点密集,则P点的场强较大,即α粒子在P点的加速度大小比在Q点的加速度大小大,选项C正确;根据题中信息,不能确定α粒子一定是从P点运动到Q点,选项D错误。
答案 C
2.(多选)(2018·全国卷Ⅰ,21)图13中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面,已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV,从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是( )
图13
A.平面c上的电势为零
B.该电子可能到达不了平面f
C.该电子经过平面d时,其电势能为4 eV
D.该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍
解析 电子在等势面b时的电势能为E=qφ=-2 eV,电子由a到d的过程电场力做负功,电势能增加6 eV,由于相邻两等势面之间的距离相等,故相邻两等势面之间的电势差相等,则电子由a到b、由b到c、由c到d、由d到f电势能均增加2 eV,则电子在等势面c的电势能为零,等势面c的电势为零,A正确;由以上分析可知,电子在等势面d的电势能应为2 eV,C错误;电子在等势面b的动能为8 eV,电子在等势面d的动能为4 eV,由公式Ek=mv2可知,该电子经过平面b时的速率为经过平面d时速率的倍,D错误;如果电子的速度与等势面不垂直,则电子在该匀强电场中做曲线运动,所以电子可能到达不了平面f就返回平面a,B正确。
答案 AB
电场中常考的“四类”图象问题
1.v-t图象
(1)根据v-t图象中速度变化、斜率确定电荷所受电场力的方向与大小变化。
(2)由电场力方向确定电场的方向、电势高低及电势能变化。
2.φ-x图象
(1)描述电势随位移变化的规律。
(2)根据电势的高低可以判断电场强度的方向。
(3)根据E=,图象φ-x的斜率为电场强度。
3.E-x图象
(1)描述电场强度随位移变化的规律。
(2)场强E正负表示场强的方向。
(3)图线与x轴围成的“面积”表示电势差。
4.Ep-x图象
(1)描述电势能随位移变化的规律。
(2)根据电势能的变化可以判断电场力做功的正、负。
(3)根据W=ΔEp=Fx,图象Ep-x的斜率为电场力。
【例4】 (多选)(2017·全国卷Ⅰ,20)在一静止点电荷的电场中,任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图14所示。电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed。点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标(ra,φa)标出,其余类推。现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点,在相邻两点间移动的过程中,电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd。下列选项正确的是( )
图14
A.Ea∶Eb=4∶1 B.Ec∶Ed=2∶1
C.Wab∶Wbc=3∶1 D.Wbc∶Wcd=1∶3
解析 由图可知,a、b、c、d到点电荷的距离分别为1 m、2 m、3 m、6 m,根据点电荷的场强公式E=k可知,==,==,故A正确,B错误;电场力做功W=qU,a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3 V、1 V、1 V,所以=,=,故C正确,D错误。
答案 AC
解答图象题要注意以下三方面
(1)分析图象找出带电粒子或带电体的运动规律是解题的突破点。
(2)注意分析图象特点,找出图象的斜率、截距等,明确其意义,如Ep-x的斜率表示带电粒子受到的电场力,根据斜率的变化规律可以分析出物体受力情况、加速度情况等。
(3)分析图象时注意与动能定理、功能关系、能量守恒定律或牛顿运动定律相结合,找出图象的数学表达式或物理量的变化规律。
1.一带负电粒子在电场中仅受静电力作用沿x轴正方向做直线运动的v-t图象如图15所示,起始点O为坐标原点,下列关于电势φ、粒子的动能Ek、电场强度E、粒子加速度a与位移x的关系图象中可能合理的是( )
图15
解析 由v-t图象可知速度减小,且加速度逐渐减小,电场力做负功,动能逐渐减小,而电场强度E==,所以沿+x方向场强逐渐减小,则电势不是均匀减小,所以A、B、D错误,C可能合理。
答案 C
2.(多选)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动,其电势能Ep随位移x的变化关系如图16所示,则下列说法正确的是( )
图16
A.粒子从x1处运动到x2处的过程中电场力做正功
B.x1、x2处电场强度方向沿x轴正方向
C.x1处的电场强度大小大于x2处的电场强度大小
D.x1处的电势比x2处的电势低
解析 由于粒子从x1运动到x2,电势能减小,因此电场力做正功,粒子所受电场力的方向沿x轴正方向,电场强度方向沿x轴负方向,选项A正确,B错误;由ΔEp=qEΔx,即qE=,由于x1处的图线斜率的绝对值小于x2处图线斜率的绝对值,因此x1处的电场强度大小小于x2处的电场强度大小,选项C错误;沿着电场线方向电势降低,故x1处的电势比x2处的电势低,选项D正确。
答案 AD
3.真空中相距为3a的两个点电荷A和B,分别固定于x轴上x1=0和x2=3a的两点,在二者连线上各点场强随x变化的关系如图17所示,以下说法正确的是( )
图17
A.二者一定是异种电荷 B.x=a处的电势一定为零
C.x=2a处的电势一定大于零 D.A、B的电荷量之比为1∶4
解析 两点电荷连线中某点,电场强度E=0,说明两点电荷在该点产生的场强等大反向,故两点电荷一定为同种电荷,A项错误;由场强公式可知,k=k,故QA∶QB=1∶4,D项正确;若两点电荷均为正点电荷,则连线上各点电势均大于零,B项错误;若两点电荷均为负点电荷,则连线上各点电势均小于零,C项错误。
答案 D
课时作业
(时间:40分钟)
基础巩固练
1.(2019·河北石家庄模拟)如图1所示,实线为某电场的电场线,虚线表示该电场的等势面,A、B、C是电场中的三点,下列说法正确的是( )
图1
A.三点中,B点的电场强度最大
B.三点中,A点的电势最高
C.将一带负电的检验电荷从A移动到B,电势能增大
D.将一带正电的检验电荷从A移动到B和从A移动到C,电势能的变化相同
答案 D
2.(多选)某电场在直角坐标系中的电场线分布情况如图2所示,O、M、N为电场中的三个点,则由图可得( )
图2
A.M点的场强小于N点的场强
B.M点的电势低于N点的电势
C.将一负电荷由O点移到M点电势能增加
D.将一正电荷从O点分别移到M点和N点,电场力做功相同
解析 电场线的疏密表示场强的大小,M点的场强大于N点的场强,选项A错误;x轴、y轴处处与场强垂直,则x轴、y轴为等势线,沿着电场线的方向电势逐渐降低,M点的电势低于N点的电势,选项B正确;将一负电荷由O点移到M点电场力做负功,电势能增加,选项C正确;将一正电荷由O点移到M点电场力做正功,将一正电荷由O点移到N点电场力不做功,选项D错误。
答案 BC
3.(多选)(2016·全国卷Ⅰ)如图3所示,一带负电荷的油滴在匀强电场中运动,其轨迹在竖直面(纸面)内,且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知( )
图3
A.Q点的电势比P点高
B.油滴在Q点的动能比它在P点的大
C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
解析 由于油滴受到的电场力和重力都是恒力,所以合外力为恒力,加速度恒定不变,所以选项D错误;由于油滴轨迹相对于过P
的竖直线对称且合外力总是指向轨迹弯曲内侧,所以油滴所受合外力沿竖直向上的方向,因此电场力竖直向上,且qE>mg,则电场方向竖直向下,所以Q点的电势比P点的高,选项A正确;当油滴从P点运动到Q点时,电场力做正功,电势能减小,选项C错误;当油滴从P点运动到Q点的过程中,合外力做正功,动能增加,所以Q点动能大于P点的动能,选项B正确。
答案 AB
4.(2019·福建福州质检)电场中某三条等势线如图4中实线a、b、c所示。一电子仅在电场力作用下沿直线从P运动到Q,已知电势φa>φb>φc,这一过程电子运动的v-t图象可能是下图中的( )
图4
解析 结合φa>φb>φc,由题图等势线的特点可确定此电场为非匀强电场,且Q点处电场强度小于P点处电场强度,电子仅在电场力作用下沿直线从P运动到Q,做加速度越来越小的加速运动,选项A正确。
答案 A
5.(多选)(2019·河北唐山模拟)如图5所示,匀强电场中的A、B、C、D点构成一位于纸面内的平行四边形,电场强度的方向与纸面平行,已知A、B两点的电势分别为φA=12 V,φB=6 V,则C、D两点的电势可能分别为 ( )
图5
A.9 V、18 V B.9 V、15 V
C.0 V、6 V D.6 V、0 V
解析 由于AB∥CD,且AB=CD,则UAB=UDC,即φA-φB=φD-φC=6 V,所以B、C正确,A、D错误。
答案 BC
6.(多选) (2019·海南澄迈检测)在x轴上的O、M两点分别固定着电荷量为q1、q2的正负点电荷,在两电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图6所示,其中A、N两点的电势均为零,ND段中C点的电势最高。下列说法正确的是( )
图6
A.|q1|>|q2|
B.A、N两点的电场强度均为零
C.C点的电场强度为零
D.将一正电荷从N移到D点的过程中,电场力先做正功后做负功
解析 φ-x图象的斜率等于电场强度E,C点场强为零,A、N处场强不为零;可知q1、q2正负点电荷在C处的分场强等大反向,由E=,r1>r2,故|q1|>|q2|;由于沿着电场线方向,电势降落,可知NC段场强沿x轴负向,CD段场强沿x轴正向。正电荷从N移到D点的过程中,电场力先做负功后做正功。综上分析,A、C正确。
答案 AC
7.(多选)静电场在x轴上的场强E随x的变化关系如图7所示,x轴正向为场强正方向,带正电的点电荷沿x轴运动,则点电荷( )
图7
A.在x2和x4处电势能相等
B.由x1运动到x3的过程中电势能增大
C.由x1运动到x4的过程中电场力先增大后减小
D.由x1运动到x4的过程中电场力先减小后增大
解析 由题图可知,x1到x4场强先变大,再变小,则点电荷受到的电场力先增大后减小,C正确,D错误;由x1到x3及由x2到x4过程中,电场力做负功,电势能增大,知A错误,B正确。
答案 BC
8.(多选)(2017·天津理综,7)如图8所示,在点电荷Q产生的电场中,实线MN是一条方向未标出的电场线,虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB,电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是( )
图8
A.电子一定从A向B运动
B.若aA>aB,则Q靠近M端且为正电荷
C.无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpAaB,说明电子在A点受到的电场力较大,A点的电场强度较大,根据点电荷的电场分布可知,靠近M端为场源电荷的位置,应为正电荷,故选项B正确;无论Q为正电荷还是负电荷,一定有电势φA>φB,电子电势能Ep=-eφ,电势能是标量,所以一定有EpA